基于留數定理的VSC鎖相環頻率估計算法研究

劉大雷

(國網冀北電力有限公司承德供電公司, 河北, 承德 067000)

0 引言

柔性直流輸電系統中,電壓源型換流器(VSC)因其換相成功率高,無需配置無功補償器等優勢而得到了廣泛應用[1-2],而鎖相環對VSC的交流側電壓和功率控制具有非常重要的作用。鎖相環輸出的角頻率和鎖相角可以輸入控制系統中,使電壓電流等變量從abc坐標系下轉換至同步旋轉dq坐標系下,從而將交流量轉換為直流量,便于對控制系統進行設計。

然而,當VSC與弱交流電網連接時,鎖相環的暫態特性和穩定性會發生惡化,容易造成VSC運行失穩,進而造成系統震蕩甚至發生故障[3-5]。文獻[6]設計了一種改進的三相同步鎖相環結構(SRF-PLL),縮短了電壓跌落和相位跳變的響應時間,但無法在故障狀況下穩定運行;文獻[7]設計了一種雙同步坐標系解耦鎖相環(DDSRF-PLL),實現了故障狀態下的電壓正負序分量分離,使VSC在故障狀況下可以穩定運行,但控制結構較為復雜,不利實現;文獻[8]研究了鎖相環對多端VSC系統穩定性的影響和控制參數選擇方法,但依然不適用于故障情況。為了提高鎖相環的暫態特性和穩定性,本文提出了一種基于留數定理的VSC鎖相環頻率估計算法。該算法首先通過將交流電壓信號由abc坐標系變換至αβ坐標系下,將αβ坐標系下的交流電壓向量由時域轉換至復變域,之后結合留數定理通過求解其閉合路徑積分得到了鎖相環頻率估計方法,簡化了路徑積分的公式,減輕了控制器負擔,并依據該算法設計了估計器的控制結構,實現了三相交流平衡和不平衡情況下的交流電網頻率的快速追蹤和精確估計,具有可靠的穩定性。

1 交流電壓αβ坐標變換過程

圖1是VSC交流側的等效電路模型,us為交流系統等效電壓源電壓,Zs為交流系統等效阻抗,upcc為公共耦合點(PCC)處電壓向量,upcc=[upcca,upccb,upccc],upcca、upccb、upccc分別為a、b、c三相相電壓,Udc為直流側極間電壓。為了將upcc由三相abc坐標系向同步旋轉dq坐標系進行變換,首先要利用克拉克變換[9]將upcc變換至αβ坐標系下,如式(1)所示。

圖1 VSC交流側的等效電路模型

[uα,uβ]T=C[upcca,upccb,upccc]T

(1)

其中,C為等幅值變換的克拉克變換矩陣,其表達式如式(2)所示。

(2)

結合式(1),可以將αβ坐標系下的交流電壓投影至復平面上,以表示αβ坐標系下的交流電壓向量的運動軌跡,如式(3)所示。

z=uα+juβ

(3)

其中,j為虛數單位,z為復變量,uα和uβ分別為α和β軸電壓分量。

假設交流電網處于三相平衡狀態下,則abc坐標系下交流電壓向量可表示為

(4)

其中U為交流相電壓幅值,ω為交流電網角頻率,t為時間。將式(4)代入式(1)可得到交流電壓的αβ分量:

(5)

式(5)表示復平面上半徑為U,以角頻率ω逆時針旋轉的交流電壓向量。其穩態向量軌跡如圖2所示。

圖2 三相平衡時交流電壓αβ分量向量軌跡

圖2中,Ts為采樣周期,N為交流電壓一個工頻周期內總采樣點數,k表示第k個采樣時刻。交流電壓每經過N個采樣周期,電壓經過1個工頻周期,即z[kTs]=z[(k+N)Ts]。

在單相接地故障情況下,以C相為例,abc坐標系下的交流電壓表達式為

(6)

將式(6)代入式(1)可得

(7)

圖3 三相不平衡時交流電壓αβ分量向量軌跡

2 基于留數定理的頻率估計算法

本節采用留數定理對復平面上交流電壓αβ分量向量的角頻率進行估計。留數定理可以用來計算復變函數f(z)沿著包含有若干奇點的閉合路徑C的積分[10],復變函數f(z)可以根據頻率和相角估計器預期的干擾和噪聲抑制特性進行設計。

假設復變函數f(z)為解析函數,閉合路徑C包含n個奇點,分別為z1,z2,…,zp,…,zn。則復變函數f(z)沿閉合路徑C的積分可由式(8)得到。

(8)

其中,Res[f(z),z=zp]表示f(z)在奇點z=zp處的留數。考慮一般情況,假設f(z)僅在z=zp處具有m階奇點,則f(z)可表示為

(9)

其中,φ(z)為在z=zp的非零解析函數。式(9)的復變函數的留數可表示為

(10)

其中,φ(m-1)表示φ(z)的m-1階導數。需要注意的是,如果閉合路徑C內沒有奇點,則f(z)的留數為零。因此,解析函數f(z)沿閉合路徑C一圈的積分為零,如式(11)所示。

∮Cf(z)dz=0

(11)

(12)

綜上,可以對基于留數定理的頻率估計的控制器結構進行設計,如圖4所示。

圖4 基于留數定理的頻率估計控制器結構

顯然,圖4中式(11)的求解不能在時域控制器中實現,因此,需要對式(11)進行有理化近似。假設交流電壓一個工頻周期內具有足夠多的采樣點,則式(11)可以采用前向歐拉法[11]近似為

(13)

其中,Δz(k)=z(k)-z(k-1)。在控制器的實際運行中,受噪聲和測量誤差影響,z(k)在復平面上的軌跡并不為完美的圓形或橢圓形,其分量可分解為

z(k)=p(k)+q(k)

(14)

其中,p(k)為交流電壓基頻向量,q(k)為噪聲向量。結合式(14),Δz(k)可以表示為

z(k)=p(k)-p(k-1)+q(k)-q(k-1)

(15)

在采樣周期Ts足夠小的情況下,可以認為基頻向量p(k)≈p(k-1),但噪聲向量q(k)在每個采樣點的分布是隨機的,并不相同。則式(15)可簡化為

z(k)=q(k)-q(k-1)

(16)

復變函數f(z)的選擇應滿足使式(13)在Ns個采樣周期內的和為零,同時要盡可能簡化控制器的計算負擔。這里以選擇f(z)=z為例,代入式(13)可得

(17)

需要注意的是,噪聲分量q(k)滿足高斯分布,在采樣數量足夠多的情況下,其一個工頻周期內的積分近似值為0,因此式(17)不包含q(k)分量。

綜上,整個算法的流程圖如圖5所示。

圖5 基于留數定理的頻率估計算法流程圖

3 仿真結果和分析

以一個單端VSC系統為例,在MATLAB/SIMULINK仿真軟件中搭建了如圖1所示的VSC電路及其控制系統,控制系統采用雙閉環PI控制,其控制框圖如圖6所示,其中鎖相環部分分別使用了本文提出的頻率估計算法和傳統 SRF-PLL算法[6],輸出的鎖相角為同步dq變換提供了相位基準。電路和控制系統參數參考了文獻[12],如表1所示。

表1 電路和控制參數

圖6 單端VSC控制系統框圖

首先對交流電壓三相平衡情況下的VSC的頻率響應進行測試。令t=0 s時VSC的有功輸出的參考值在P*=100 MW,無功輸出的參考值在Q*=0 MVar,t=0.1 s時交流電網頻率由50 Hz階躍至52 Hz,VSC的暫態響應波形對比情況如圖7所示。

(a) 頻率估計值波形

(b) 鎖相角估計值波形圖7 交流頻率階躍下VSC暫態響應波形

由圖7(a)和圖7(b)可見,在交流側頻率發生擾動后,應用了基于留數定理的頻率估計算法相較于傳統SRF-PLL算法表現出了良好的頻率估計能力和頻率追蹤速度,超調量幾乎為零且收斂速度明顯快于傳統SRF-PLL算法,相應的鎖相角估計值也迅速過渡到了新的斜率,沒有出現明顯延遲,而傳統SRF-PLL算法的鎖相角估計值在暫態響應階段出現了明顯的延遲,收斂速度明顯下降。

下一步對交流電壓三相不平衡情況下的VSC的頻率響應進行測試。令t=0 s時VSC的有功輸出的參考值在P*=100 MW,無功輸出的參考值在Q*=0 MVar,t=0.1 s時PCC處C相單相接地,接地電阻為100 Ω,故障持續時間0.1 s,t=0.2 s時故障清除,其頻率的暫態響應波形對比情況如圖8所示。

圖8 交流側單相故障情況下VSC頻率估計值波形

由圖8可見,在交流側單相故障情況下,基于留數定理的頻率估計算法受電壓跌落影響,頻率估計值發生了瞬時跌落,但極短的時間內頻率估計值就恢復至額定值,且一直穩定維持至故障清除時刻。故障清除后,電壓瞬間抬升,頻率估計值發生了瞬時升高,之后短時間內又恢復至穩定值。而傳統SRF-PLL算法下故障狀態下頻率估計值發生了振蕩波動,且在交流不對稱情況下無法保持穩定,影響VSC在故障情況下的正常運行。可見在故障情況下新型頻率估計算法表現出了良好的穩定性和暫態特性,故障期間的頻率估計值依然保持了良好的精確度,保證了VSC的穩定運行。

4 總結

本文提出了一種基于留數定理的鎖相環頻率估計算法,首先介紹了交流電壓αβ坐標變換的一般過程,并推廣至三相不平衡條件下,之后結合留數定理,將交流電壓αβ分量由時域轉換為復變域,通過求解其閉合路徑積分得到了鎖相環頻率估計值,簡化了路徑積分的公式,并設計了估計器的控制結構。最后以一個單端VSC為例,分別測試了該頻率估計算法和傳統SRF-PLL算法在交流側頻率波動和單相接地故障下的暫態響應特性,仿真結果表明該算法具有良好的頻率估計能力和頻率追蹤速率,在頻率波動和交流三相不平衡狀態下,VSC仍可以保持穩定運行,可以實現頻率和鎖相角的精確估計,且故障前后均具有良好的暫態恢復特性。