重復(fù)控制在三相不平衡負(fù)載中的應(yīng)用

葉宗彬， 陸 超， 代金貴， 鄧先明， 于東升

（1.中國礦業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇徐州 221116；2.國網(wǎng)山東省電力公司泰安供電公司，山東泰安 271000）

0 引 言

逆變器輸出電壓中除了基波分量，還含有一定的諧波。諧波主要來自PWM 調(diào)制產(chǎn)生的諧波、死區(qū)產(chǎn)生的諧波、逆變器帶非線性負(fù)載所產(chǎn)的諧波。PWM調(diào)制產(chǎn)生的諧波主要分布在開關(guān)頻率附近，可通過合理設(shè)置LC 低通濾波器的截止頻率將其濾除。針對死區(qū)、不平衡負(fù)載、非線性負(fù)載等非線性因素產(chǎn)生的諧波，可采用比例諧振控制器。為抑制不同頻率的諧波，需要一定數(shù)量的諧振控制器，導(dǎo)致控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，增加了微控制器的計算負(fù)擔(dān)，降低了工程應(yīng)用價值。

為抑制各次諧波，可采用重復(fù)控制器。重復(fù)控制器在不同諧波頻率處均具有很大的控制增益，可同時抑制各次諧波［1-3］。重復(fù)控制器結(jié)構(gòu)簡單，穩(wěn)態(tài)時逆變器輸出電壓中諧波含量小，微控制器的計算負(fù)擔(dān)小，所以在逆變器控制中得到了廣泛應(yīng)用。

1 重復(fù)控制器原理

重復(fù)控制的基本思想來自控制理論中的內(nèi)模原理［4-5］。內(nèi)模原理指出，對于一個閉環(huán)反饋系統(tǒng)，若系統(tǒng)的輸出能跟蹤外部輸入的參考信號（即穩(wěn)態(tài)時誤差趨于零）且具有抵消擾動的能力，則控制環(huán)路內(nèi)部必須包含有外部輸入信號（含參考信號和擾動信號）的數(shù)學(xué)模型。外部輸入信號的數(shù)學(xué)模型就是“內(nèi)模”，內(nèi)模原理本質(zhì)是把外部輸入信號的數(shù)學(xué)模型植入控制器，以構(gòu)成高精密的反饋控制系統(tǒng)。

當(dāng)參考信號為正弦信號時，根據(jù)內(nèi)模原理，可在控制器中植入一個與參考信號同頻率的正弦信號模型。但逆變器輸出電壓中不僅含有基波，還含有許多諧波分量。諧波分量的頻率都為基波頻率的整數(shù)倍，且在每一個工頻周期內(nèi)都以完全相同的波形重復(fù)出現(xiàn)。因此，可采用如下形式的內(nèi)模（在s域的表現(xiàn)形式）：

式中，T為逆變器輸出電壓基波周期。已有學(xué)者證明［6］，式（1）可以寫為：

式中，ωT為基波角頻率。從式（2）可見，該內(nèi)模包含了直流分量、基波分量和各諧波分量，理論上可實現(xiàn)對基波參考信號的無靜差跟蹤以及對諧波的抑制。

e-Ts為延遲環(huán)節(jié)，難以用模擬器件實現(xiàn)。隨著逆變器控制數(shù)字化的發(fā)展，在微控制器中通過編程實現(xiàn)該延遲環(huán)節(jié)很容易。實際應(yīng)用中的重復(fù)控制都是以數(shù)字化的方式實現(xiàn)的。通過z變換，可得該內(nèi)模在離散域的表達(dá)形式

式中：N為每個基波周期內(nèi)的采樣次數(shù)（N＝T／Ts，Ts為采樣周期）；z-N為延遲N個采樣周期，意味著用微控制器實現(xiàn)該延遲環(huán)節(jié)需要留出N個存儲單元。

重復(fù)控制結(jié)構(gòu)如圖1 所示，是具有一個工頻周期延遲的正反饋環(huán)節(jié)［7-8］。其中，e（z）為參考信號與反饋信號的差值；y（z）為重復(fù)控制器的輸出。當(dāng)反饋信號與參考信號不相等時，輸入信號e（z）不為零，重復(fù)控制器的輸出會對輸入信號進(jìn)行逐周期累加，其作用與PI調(diào)節(jié)器中的積分環(huán)節(jié)相似。經(jīng)過重復(fù)控制器的調(diào)節(jié)，輸入偏差信號e（z）最終為0。此時，該內(nèi)模會持續(xù)不斷地重復(fù)輸出上一周期的控制信號，因此稱為重復(fù)控制器。

圖1 重復(fù)控制結(jié)構(gòu)框圖

2 重復(fù)控制結(jié)構(gòu)

基于重復(fù)控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2 所示，由重復(fù)控制器的內(nèi)模、延遲環(huán)節(jié)和補(bǔ)償器組成［12］。r（z）為給定參考量，y（z）為系統(tǒng)的輸出，e（z）為兩者的差值。P（z）為控制對象，d（z）為系統(tǒng)的重復(fù)性擾動。Q（z）為低通濾波器或常數(shù)，z-N為周期性延遲環(huán)節(jié)，C（z）為補(bǔ)償器，共同組成了重復(fù)控制器［9］。

圖2 基于重復(fù)控制的結(jié)構(gòu)框圖

（1）低通濾波器或小于1 的常數(shù)環(huán)節(jié)Q（z）。為提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過加入Q（z）對重復(fù)控制器的內(nèi)模進(jìn)行改進(jìn)，Q（z）可為低通濾波器或者小于1 的常數(shù)［10-11］。當(dāng)Q（z）為低通濾波器時，輸入信號中的高頻分量會快速衰減，而低頻分量衰減較慢。低通濾波器有相移，導(dǎo)致改進(jìn)后的內(nèi)模在基波以及基波頻率的整數(shù)倍處增益降低。當(dāng)Q（z）為小于1 的常數(shù)時，內(nèi)模的幅值在整個控制頻率范圍內(nèi)均衰減。改進(jìn)后的內(nèi)模，輸入、輸出之間的關(guān)系：

（2）周期延遲環(huán)節(jié)z-N。補(bǔ)償器C（z）的構(gòu)成中含有相位補(bǔ)償?shù)某碍h(huán)節(jié)，前向通道串聯(lián)延遲環(huán)節(jié)z-N使得相位補(bǔ)償在仿真和微控制器中得以實現(xiàn)［12］。同時，為消除本周期所存在的誤差，應(yīng)施加一定的控制信號。延遲環(huán)節(jié)的存在，致使控制動作延遲了一個周期進(jìn)行。參考信號和擾動都具有重復(fù)性，因此可使系統(tǒng)在下一個周期的控制具有一定的超前性。

（3）補(bǔ)償器C（z）。重復(fù)控制器設(shè)計的關(guān)鍵在于補(bǔ)償器，對重復(fù)控制器的性能產(chǎn)生重要影響［13-14］。補(bǔ)償器C（z）為被控對象P（z）提供幅值補(bǔ)償與相位補(bǔ)償，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。采用超前環(huán)節(jié)實現(xiàn)相位補(bǔ)償時，補(bǔ)償器C（z）可以寫為：C（z）＝Kr·zk·S（z）。其中，Kr為補(bǔ)償器的增益，取值范圍一般為大于0 且小于等于1 的常數(shù)。增益越大，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度越快，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性會減弱。因此，需要綜合考慮系統(tǒng)對動態(tài)性能和穩(wěn)定性的要求以選擇適當(dāng)?shù)闹怠k為相位補(bǔ)償?shù)某碍h(huán)節(jié)，由于補(bǔ)償器C（z）以及被控對象P（z）會引起相位滯后，通過加入相位補(bǔ)償環(huán)節(jié)zk使得C（z）P（z）在中低頻段相移為零［15］。S（z）為濾波器，其作用是：對被控對象P（z）進(jìn)行幅值校正，使C（z）P（z）在中低頻段的幅值為0 dB，在高頻段幅值大幅衰減，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。若被控對象P（z）中有諧振峰，S（z）還需要抵消諧振峰，使之不破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 重復(fù)控制器性能分析

（1）穩(wěn)定性分析。根據(jù)圖2，重復(fù)控制器輸入、輸出的關(guān)系

式中，e（z）＝r（z）-y（z）＝r（z）-ur（z）P（z）-d（z）為誤差。

將誤差e（z）代入式（5），經(jīng)整理可得誤差

由此可得引入重復(fù)控制器后的系統(tǒng)特征方程

特征方程N(yùn)個根均位于以原點為圓心的單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但特征方程的階數(shù)一般是很高的。基波頻率為工頻50 Hz，采樣頻率為10 kHz時，特征方程的階數(shù)為200。可利用控制理論中的小增益定理，得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件

從零頻率到奈奎斯特頻率（采樣頻率的一半），只要Q（z）-C（z）P（z）在上述頻段范圍內(nèi)其增益小于1，重復(fù)控制系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。但該條件是穩(wěn)定的充分條件而非必要條件，若不滿足該條件系統(tǒng)也可能是穩(wěn)定的。式（8）所描述的穩(wěn)定性條件不夠直觀，通過圖3展示穩(wěn)定性的幾何意義。為方便分析，令：

圖3 穩(wěn)定性的幾何意義

當(dāng)Q取小于1 的常數(shù)時，單位圓的圓心左移1 -Q，使得單位圓包含了第Ⅱ、Ⅲ象限的一部分，如圖3（b）所示。即使C（z）P（z）的相角超出±90°，但只要C（z）P（z）在高頻段的幅值足夠小，矢量H（ejωTs）的末端軌跡仍位于單位圓內(nèi)，系統(tǒng)依然保持穩(wěn)定。當(dāng)Q為低通濾波器時，單位圓的圓心隨著頻率的升高而左移。在低頻段，單位圓的圓心很接近（1，0），由于補(bǔ)償足夠準(zhǔn)確，可保證重復(fù)控制的穩(wěn)定性。在高頻段，單位圓的圓心左移，單位圓進(jìn)入第Ⅱ、Ⅲ象限，只要C（z）P（z）在高頻段增益足夠小，系統(tǒng)仍可以保持穩(wěn)定。

（2）抗干擾性能分析。根據(jù)圖2，可得擾動信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

設(shè)擾動信號的角頻率為ωd，參考信號的角頻率為ωr，若擾動信號的角頻率為參考信號頻率的整數(shù)倍，即ωd＝kωr（k＝1，2，…，N／2），則z-N＝1。當(dāng)采用理想內(nèi)模，即Q（z）＝1，式（10）變?yōu)椋?/p>

式（11）表明，采用理想內(nèi)模時，重復(fù)控制對于奈奎斯特頻率以下的擾動信號可實現(xiàn)完全抑制。

而當(dāng)Q（z）小于1 時，擾動信號衰減倍數(shù)

由式（12）可見，當(dāng)采用非理想內(nèi)模時，重復(fù)控制無法完全抑制擾動信號，而是衰減到原擾動信號幅值的倍。且Q（z）越接近于1，衰減倍數(shù)越多，重復(fù)控制對擾動的抑制能力越強(qiáng)。

（3）誤差收斂分析。假設(shè)參考信號r（z）和擾動信號d（z）具有重復(fù)控制性，即每一個基波周期波形與上一個基波周期的波形完全相同。根據(jù)離散控制的滯后定理

對具有重復(fù)性的擾動信號，z-N＝1。當(dāng)采用理想內(nèi)模時，即Q（z）＝1，對式（6）整理可得：

式（14）表明，經(jīng)過一個基波周期后，誤差衰減為上個基波周期的H（z）倍。H（ejωTs）的模值越小，誤差的衰減速度越快。由于H（ejωTs）為頻率的函數(shù)，因此不同頻率的諧波收斂速度不同。

（4）穩(wěn)態(tài)誤差分析。由式（6）可見，穩(wěn)態(tài)誤差由2部分構(gòu)成，一部分是參考信號r（z）的跟蹤誤差，另一部分是擾動d（z）引起的誤差。其中穩(wěn)態(tài)誤差的幅值

從式（15）可見，經(jīng)重復(fù)控制器的調(diào)節(jié)后，穩(wěn)態(tài)時無論是參考信號的跟蹤誤差r（ejωTs），還是周期性擾動引起的誤差d（ejωTs），都將衰減為原來的

4 重復(fù)控制器設(shè)計

圖2 所示的重復(fù)控制結(jié)構(gòu)，由于重復(fù)控制器內(nèi)模含有z-N，導(dǎo)致重復(fù)控制器的輸出延遲一個基波周期。當(dāng)突加參考信號或輸出電壓受到擾動時，重復(fù)控制無法快速做出響應(yīng)，動態(tài)響應(yīng)慢。可采用圖4 所示的“嵌入式”重復(fù)控制結(jié)構(gòu)，在使用重復(fù)控制器的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將參考信號進(jìn)行前饋，提高系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度。

圖4 “嵌入式”重復(fù)控制結(jié)構(gòu)

重復(fù)控制器的設(shè)計主要包括：濾波器Q（z）、周期延遲環(huán)節(jié)z-N和補(bǔ)償器C（z）。其中，最關(guān)鍵的是補(bǔ)償器的選擇以及參數(shù)設(shè)計。為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，當(dāng)重復(fù)控制器參數(shù)設(shè)計完畢，需對所設(shè)計的重復(fù)控制器進(jìn)行穩(wěn)定性校驗。重復(fù)控制器的設(shè)計可按以下步驟進(jìn)行：

步驟1 濾波器。Q（z）可為低通濾波器，也可以是小于1 的常數(shù)。本文將Q（z）的值設(shè)置為常數(shù)0.95。

步驟2 周期延遲環(huán)節(jié)。控制系統(tǒng)的采樣周期Ts＝0.1 ms，逆變器輸出電壓基波周期T＝20 ms，則N＝T／Ts＝200，周期延遲環(huán)節(jié)為z-200。

步驟3 補(bǔ)償器。兩電平逆變器經(jīng)LC 濾波器為負(fù)載供電時，逆變器的閉環(huán)傳遞函數(shù)

式中：濾波電感Lm＝4 mH；濾波電容Cf＝9.4 μF；濾波電感等效電阻Rm＝0.5 Ω。將以上參數(shù)代入式（16），可得：

采用零階保持器對被控對象P（s）進(jìn)行離散化

由圖5 被控對象的伯德圖可以看出，逆變器在諧振頻率821 Hz處，諧振峰值為32.3 dB。為消除諧振峰，同時使被控對象P（s）在高頻段快速衰減，補(bǔ)償器C（z）的濾波器S（z）可選用FIR數(shù)字濾波器，或者將二階低通濾波器與零相移陷波濾波器級聯(lián)組合使用。本文采用后者，零相移陷波濾波器只在諧振頻率處擁有很強(qiáng)的衰減能力，用以抵消諧振峰，而不會對其他頻率段的增益產(chǎn)生影響。二階低通濾波器主要是增強(qiáng)被控對象P（s）在高頻段衰減特性，其截止頻率不必設(shè)置得太低。

圖5 被控對象P（s）的伯德圖

在離散域的零相移陷波濾波器

S1（ω）在特定頻率處產(chǎn)生較強(qiáng)衰減時，應(yīng)滿足

于是可得：

在頻域的二階低通濾波器

為實現(xiàn)對高頻信號的衰減，二階低通濾波器的阻尼比ξ≥0.707。本文阻尼比ξ 取為0.707，截止頻率ωc設(shè)定在20 次諧波處，即6 283 rad／s，該二階低通濾波器

對式（23）進(jìn)行雙線性變換，可得在離散域的二階低通濾波器

故濾波器

圖6 為S（z）P（z）的伯德圖。被控對象P（z）經(jīng)濾波器S（z）校正后，已無諧振峰，低頻段的幅值基本為0 dB。中高頻段，校正后的系統(tǒng)有較大的相位滯后，在頻率為1 kHz處，相位滯后已經(jīng)超過270°。為實現(xiàn)中低頻段零相移，需要對其進(jìn)行相位補(bǔ)償。

圖6 S（z）P（z）的伯德圖

采用超前環(huán)節(jié)z3進(jìn)行相位補(bǔ)償，補(bǔ)償后的伯德圖如圖7 所示。系統(tǒng)在中低頻段的相位基本為0。在諧振頻率處相位接近90°，校正后的系統(tǒng)在該頻率處增益超過了-200 dB，依然可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖7 z3S（z）P（z）的伯德圖

采樣以及PWM 環(huán)節(jié)存在延遲，也需對其進(jìn)行補(bǔ)償，最終超前環(huán)節(jié)選用z5。當(dāng)補(bǔ)償器的增益Kr取為1時，補(bǔ)償器

穩(wěn)定性校驗。根據(jù)所設(shè)計的重復(fù)控制器，可得如圖8 所示的Q（z）-C（z）P（z）的奈奎斯特圖，從零頻到奈奎斯特頻率（采樣頻率的一半），Q（z）-C（z）P（z）的幅值均小于1，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的，所設(shè)計的重復(fù)控制器參數(shù)滿足穩(wěn)定性要求。

圖8 Q（z）-C（z）P（z）的奈奎斯特圖

5 仿真與實驗驗證

為驗證控制策略的有效性，搭建實驗平臺，如圖9 所示。信號處理電路由DSP ＋FPGA 構(gòu)成，其中DSP芯片采用TMS320F28335，控制策略、過壓過流保護(hù)均在該芯片中完成，F(xiàn)PGA 芯片采用SPARTANT6 XC6SLX9，用于PWM 控制信號的生成、電平保護(hù)邏輯、驅(qū)動電路的反饋信號檢測。

圖9 實驗平臺組成

Simulink搭建的仿真與實驗室條件下搭建的小功率實驗平臺參數(shù)相同，見表1。

表1 重復(fù)控制的仿真參數(shù)

逆變器采用雙閉環(huán)前饋解耦控制策略，A 相負(fù)載20 Ω、B相與C相均為負(fù)載10 Ω，仿真波形如圖10、11所示，實驗波形如圖12 所示。由圖10 顯見，A相電壓幅值明顯高于B、C 相。由圖12 的實驗波形可見，A相電壓的有效值為32.8 V，B 相25.89 V，C 相26.78 V，逆變器輸出的三相電壓不再對稱。由圖11中可見，輸出電壓中含有正序分量和負(fù)序分量，無零序分量。正序電壓分量經(jīng)過Park變換后為直流量，負(fù)序電壓分量經(jīng)過Park 變換后為兩倍頻分量。由內(nèi)模原理可知，傳統(tǒng)PI控制器只能對直流量實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)無靜差跟蹤。經(jīng)過電壓、電流雙閉環(huán)控制后，負(fù)序電壓分量依然存在，導(dǎo)致三相電壓不對稱。

圖10 逆變器輸出電壓

圖11 正序、負(fù)序、零序電壓幅值

圖12 逆變器采用前饋解耦控制且負(fù)載不平衡實驗波形

當(dāng)采用重復(fù)控制器后，仿真波形如圖13、14 所示。由圖可見，逆變器輸出的三相電壓依然對稱，且正弦度很高，基波電壓幅值為39.35 V，穩(wěn)態(tài)誤差很小，THD含量僅為0.54%。可見，當(dāng)三相負(fù)載不平衡時，重復(fù)控制依然可以控制逆變器輸出三相對稱的電壓。

圖13 逆變器輸出電壓

圖14 A相電壓FFT分析

三相負(fù)載不平衡時，A 相負(fù)載20 Ω、B 相與C 相均為負(fù)載10 Ω，逆變器采用重復(fù)控制器時實驗波形如圖15 所示。在穩(wěn)態(tài)時，逆變器三相輸出電壓的有效值分別為：28.40、28.82 和28.05 V，三相電壓更加對稱。由圖16 可見，基波電壓幅值為39.72 V，THD 為1.97%。可見，采用重復(fù)控制器可抑制輸出電壓中的負(fù)序分量，減小三相電壓不平衡。

圖15 逆變器采用重復(fù)控制且負(fù)載不平衡實驗波形

圖16 逆變器A相輸出電壓FFT分析

5 結(jié) 語

重復(fù)控制器結(jié)構(gòu)簡單，DSP計算負(fù)擔(dān)小，穩(wěn)態(tài)控制精度高，可抑制負(fù)序電壓分量與諧波分量。本文對重復(fù)控制器的原理、結(jié)構(gòu)、性能進(jìn)行了詳細(xì)分析，并完成重復(fù)控制器的設(shè)計與穩(wěn)定性校驗。“嵌入式”重復(fù)控制器在三相逆變器帶不平衡負(fù)載時，逆變器輸出電壓對稱，對其中的負(fù)序分量進(jìn)行了抑制，減小了三相不平衡度。