考慮環(huán)路帶寬設(shè)計指標(biāo)的直線電動機伺服控制器整定方法

溫旭東， 陶友瑞， 胡俊宇， 韓佳輝， 李 骎， 李珊瑚

（1.河北工業(yè)大學(xué)省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室，天津 300401；2.湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院，長沙 410082）

0 引 言

永磁同步直線電動機（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor，PMLSM）因其減少了中間傳動環(huán)節(jié)，具有高速、高精度等特點，廣泛應(yīng)用于各種高精密運動控制項目［1-2］。傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)電動機要想實現(xiàn)直線運動，通常采用“電動機-絲杠”等直線模組，這將會引入一些非線性特征到系統(tǒng)。為提高系統(tǒng)的運行精準(zhǔn)度，選用直線電動機可直接實現(xiàn)直線運動，避免這些不必要的非線性特征惡化系統(tǒng)性能［3-4］。

基于三閉環(huán)級聯(lián)結(jié)構(gòu)的矢量控制，使伺服系統(tǒng)獲得更好地響應(yīng)性能和穩(wěn)定性能，并能反映系統(tǒng)的位置、速度和電流信號，具有明確的物理意義［5-7］。其原理是通過級聯(lián)式負(fù)反饋實現(xiàn)對高階指令信號的跟隨。在工程實踐中，由于缺少理論指導(dǎo)而依據(jù)經(jīng)驗設(shè)置伺服環(huán)路參數(shù)，往往使得整定后的控制器性能具有一定程度的隨機性，導(dǎo)致整定工作冗雜繁復(fù)。為此許多學(xué)者對控制器參數(shù)的設(shè)置進行了大量理論分析和研究，其中基于頻域思想的設(shè)計方法得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用［8-10］。伯德圖、奈奎斯特圖、尼科爾斯圖和根軌跡等工具為系統(tǒng)的頻域分析設(shè)計提供了手段。環(huán)路帶寬、相位裕量、幅值裕量、延時裕量、靈敏度函數(shù)等性能指標(biāo)的定義為參數(shù)設(shè)計提供了理論依據(jù)。

傳統(tǒng)PID控制存在一定的局限性，對時變信號和外界干擾無法進行及時有效地抑制。為提升PID控制方式的性能，文獻［11］中設(shè)計了一種二自由度控制系統(tǒng)，在反饋控制的基礎(chǔ)上加入前饋補償，對殘余振動實現(xiàn)有效抑制。在文獻［12-13］中，為提高系統(tǒng)的魯棒性能，在PID控制的基礎(chǔ)上引入了模糊控制。文獻［14-15］中為優(yōu)化系統(tǒng)的啟動能力和增強系統(tǒng)的抗外界干擾能力，將滑模控制引入伺服控制系統(tǒng)。文獻［16］中引入了自抗擾控制技術(shù)，提高系統(tǒng)對非線性擾動的抑制能力。

在實際應(yīng)用中，由于忽略了整定目標(biāo)與環(huán)路的控制規(guī)律，控制器與被控對象不能充分配合而造成控制精度下降。為使控制器參數(shù)設(shè)置更加合理、有效，基于級聯(lián)式PI控制結(jié)構(gòu)，本文提出一種考慮頻域帶寬的伺服控制器參數(shù)整定方法。根據(jù)電流環(huán)、速度環(huán)帶寬和位置環(huán)阻尼比指標(biāo)，對控制器參數(shù)進行有效整定。該方法具有通用性強、參數(shù)整定簡單、有效的特點，為伺服系統(tǒng)控制器參數(shù)整定提供了理論指導(dǎo)。

1 PMLSM數(shù)學(xué)模型及其控制

直線電動機是在旋轉(zhuǎn)電動機的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，但其本質(zhì)的物理規(guī)律并未發(fā)生改變。參照旋轉(zhuǎn)電動機對直線電動機進行分析和建模，對旋轉(zhuǎn)電動機進行徑向切割，再將其展開，便是直線電動機的結(jié)構(gòu)。

為便于對PMLSM 進行控制，將通入電動機的三相交流電進行坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，實現(xiàn)交流三相繞組電流解耦，在dq軸坐標(biāo)系下對PMLSM建模分析。

電壓方程式

式中：ud、uq分別為PMLSMd軸和q軸電壓；Rs為定子繞組的電阻；τ為永磁體極距；v為PMLSM動子運行速度；id、iq分別為d軸和q軸的電流；ψd、ψq分別為d軸和q軸的磁鏈。其值

式中：Ld、Lq分別為PMLSMd軸和q軸電感；ψf為永磁體勵磁磁鏈。

電磁推力方程

對于氣隙分布均勻的PMLSM，直軸與交軸的同步電感系數(shù)相同，即Ld＝Lq＝L，則

機械運動方程

式中：M為電動機的質(zhì)量；B為黏滯摩擦因數(shù)；Fl為負(fù)載阻力。

為減少耦合相之間的相互影響，簡化對PMLSM的控制，采用id＝0 的矢量控制策略，此時PMLSM 的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)PMLSM 的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計其相應(yīng)的反饋控制器，伺服系統(tǒng)三閉環(huán)級聯(lián)控制結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)如圖1 所示。

圖1 PMLSM伺服系統(tǒng)控制框圖

圖中，Iref（s）、Vref（s）、Xref（s）分別為系統(tǒng)中電流、速度和位置輸入信號的象函數(shù)；I（s）、V（s）、X（s）分別是系統(tǒng)中電流、速度和位置輸出信號的象函數(shù)；ACR、ASR分別為電流和速度調(diào)節(jié)器。

帶寬是判斷伺服系統(tǒng)性能的一項重要復(fù)頻域指標(biāo)。在實際應(yīng)用中，通常需要對伺服系統(tǒng)提出具體的帶寬設(shè)計指標(biāo)。

2 伺服控制器設(shè)計

2.1 基于帶寬的電流控制器設(shè)計

由直線電動機電磁推力方程式（3）可知，電機推力取決于電動機中流過的電流。伺服系統(tǒng)的響應(yīng)速度與電流控制器的設(shè)計息息相關(guān)，電流環(huán)帶寬越大，則電流環(huán)響應(yīng)速度越快，提供足夠的電機推力，保障伺服系統(tǒng)的快速性。電流環(huán)的作用還包括對電流環(huán)內(nèi)干擾因素的調(diào)節(jié)（如電網(wǎng)電壓的波動），保證系統(tǒng)的安全運行。

電流環(huán)模型可等效為包含電阻、電感和反電動勢的一階串聯(lián)電路，考慮到相對于電流來說反電動勢變化緩慢，可忽略不計，則電動機電流與電壓之間的傳遞函數(shù)

電流環(huán)調(diào)節(jié)器采用PI調(diào)節(jié)器，圖2 所示為串聯(lián)PI調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)框圖，其傳遞函數(shù)

圖2 串聯(lián)PI控制器結(jié)構(gòu)圖

電流環(huán)結(jié)構(gòu)框圖如圖3 所示，則電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)（含PI調(diào)節(jié)器，上標(biāo)表示電流環(huán)）

圖3 電流環(huán)結(jié)構(gòu)

電流環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)

在實際伺服控制系統(tǒng)中，為建立電流環(huán)控制器參數(shù)與電流環(huán)帶寬之間的聯(lián)系，希望將電流環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)計為具有一個實極點的一階系統(tǒng)。

由式（11）可得電流環(huán)帶寬與電流調(diào)節(jié)器參數(shù)之間的關(guān)系：

2.2 基于帶寬的速度控制器設(shè)計

由直線電動機機械運動方程式（5）可知，伺服系統(tǒng)速度環(huán)控制特性的好壞直接影響電動機系統(tǒng)的動力表現(xiàn)。速度環(huán)可憑借其反饋回路對速度環(huán)內(nèi)的干擾因素（如負(fù)載擾動、外界干擾等）進行調(diào)節(jié)。因為電流環(huán)帶寬比速度環(huán)帶寬要大2 ～3 個數(shù)量級，所以電流環(huán)穩(wěn)定工作時傳遞函數(shù)可用單位增益代替，令此時電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

速度環(huán)的結(jié)構(gòu)如圖4 所示，可知速度環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)（含PI調(diào)節(jié)器，上標(biāo)表示速度環(huán)）

圖4 速度環(huán)結(jié)構(gòu)圖

速度環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

為保證系統(tǒng)能對速度無靜差跟蹤，將速度環(huán)設(shè)計成一個二階系統(tǒng)。可在速度輸入指令信號后加入一階低通濾波器，令一階低通濾波器的極點與速度環(huán)閉環(huán)的零點相抵消。

一階低通濾波器的傳遞函數(shù)

零極點對消后，此時速度環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)

已知標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

設(shè)ξ1、ωn為標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的阻尼比和自然振蕩頻率，二階系統(tǒng)中帶寬和自然振蕩頻率有如下關(guān)系：

式（19）反映了二階系統(tǒng)的帶寬ωb與其自然頻率ωn具有正比關(guān)系，當(dāng)速度環(huán)帶寬確定后，可據(jù)此得到其自然頻率。將其代入式（20）、（21），由系統(tǒng)自然頻率可計算出速度控制器的控制參數(shù)

2.3 基于阻尼比的位置控制器設(shè)計

位置環(huán)位于伺服控制系統(tǒng)的最外側(cè)，位置控制器的設(shè)計與系統(tǒng)對位置輸入信號的跟隨性能直接相關(guān)。伺服系統(tǒng)通過編碼器檢測電動機的位置，將檢測到的位置信號與輸入系統(tǒng)的位置指令做比較，將差值輸給位置控制器完成負(fù)反饋控制。

由于速度環(huán)響應(yīng)速度比位置環(huán)快很多，為便于位置控制器參數(shù)整定，可將速度環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)降為一階系統(tǒng)

位置環(huán)采用比例控制器，如圖5 所示。位置環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)（上標(biāo)表示位置環(huán)）

圖5 位置環(huán)結(jié)構(gòu)

位置環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

設(shè)ξ2為標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的阻尼比，則

位置響應(yīng)一般不允許出現(xiàn)超調(diào)，所以需要ξ2＞1。同時為保障響應(yīng)速度，ξ2也不能過大，這里取ξ2＝1.2 ～1.5。

3 實驗研究

3.1 仿真分析

本文設(shè)計的實驗部分包括仿真分析和電動機實驗平臺驗證。根據(jù)PMLSM 的數(shù)學(xué)模型搭建Simulink 仿真模型，永磁同步直線電動機參數(shù)見表1。

表1 永磁同步直線電動機參數(shù)

依據(jù)上文設(shè)計的頻域帶寬法來調(diào)整控制器參數(shù)，在Simulink模型中進行仿真。

在設(shè)計帶寬時，為滿足系統(tǒng)高響應(yīng)速度的要求，期望設(shè)計電流環(huán)帶寬為1 kHz，速度環(huán)帶寬為70 Hz。仿真結(jié)果如圖6 所示，由圖可知電流環(huán)和速度環(huán)仿真模型的帶寬基本符合預(yù)期的帶寬設(shè)計指標(biāo)，表明了基于頻域帶寬的控制器參數(shù)整定方法的合理性和可行性。

圖6 Simulink仿真伯德圖

3.2 實驗平臺

在仿真分析的基礎(chǔ)上，搭建電動機實驗平臺進行實驗驗證。實驗平臺包括信號發(fā)生器、直線電動機、驅(qū)動器、編碼器和上位機。在上位機中設(shè)置控制器參數(shù)，由信號發(fā)生器將激勵信號輸入實驗平臺，通過驅(qū)動器和編碼器采集伺服系統(tǒng)的輸出電流、速度信號并進行頻域分析。PMLSM實驗平臺如圖7 所示。

圖7 永磁同步電動機實驗平臺示意圖

實驗平臺實物圖如圖8 所示。

圖8 永磁同步電動機實驗平臺實物

本實驗平臺選用正弦掃頻信號作為系統(tǒng)的激勵信號，因其是一種頻率隨時間連續(xù)變化的平滑信號，且能夠充分的激勵系統(tǒng)，在測試過程中不引入過多的非線性因素。

在測試電流環(huán)帶寬時，將掃頻信號作為電流給定信號輸入到實驗平臺，電流環(huán)掃頻信號的頻率起止范圍為0.1 ～2 kHz，如圖9（a）所示。對電流給定信號和反饋信號進行FFT，獲得伺服系統(tǒng)電流環(huán)的頻率特性。由圖9（b）可知，經(jīng)參數(shù)整定后電流環(huán)帶寬約為960 Hz。測試速度環(huán)帶寬，速度環(huán)掃頻信號的頻率起止范圍為10 ～200 Hz，如圖9（c）所示。對速度給定信號和反饋信號進行FFT如圖9（d）所示，經(jīng)參數(shù)整定后的速度環(huán)帶寬約73 Hz。

圖9 電動機掃頻實驗波形

根據(jù)掃頻實驗結(jié)果可知，采用帶寬法設(shè)計的控制器參數(shù)能夠較好地滿足伺服系統(tǒng)的頻域指標(biāo)要求。帶寬測試實驗具有操作簡單、易于調(diào)試的特點，適合作為實驗案例，應(yīng)用于電動機控制綜合創(chuàng)新教學(xué)中。

4 結(jié) 論

為解決PMLSM 伺服控制系統(tǒng)參數(shù)整定困難，提出一種頻域帶寬調(diào)節(jié)器參數(shù)整定方法。在級聯(lián)式PI調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，建立PMLSM電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)的傳遞函數(shù)。結(jié)合經(jīng)典工程控制理論，分析電流環(huán)和速度環(huán)頻域帶寬和調(diào)節(jié)器參數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，完成伺服系統(tǒng)控制器參數(shù)的整定。經(jīng)過Simulink仿真分析和實驗平臺的帶寬測試，本文所提方法的合理性和可行性得到了驗證。

相比于傳統(tǒng)教學(xué)，本文通過仿真和實驗相結(jié)合的方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在實驗中，學(xué)生能更深刻地理解電機學(xué)和自動控制理論所講授的內(nèi)容，感受到多學(xué)科交叉融合的魅力。