永磁同步電動機(jī)位置跟蹤系統(tǒng)的連續(xù)終端滑模控制優(yōu)化設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)

王會明， 萬 謙， 韋永成， 趙振華

（1.重慶郵電大學(xué)自動化學(xué)院，重慶 400065；2.南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京 211106）

0 引 言

PMSM由于具有結(jié)構(gòu)簡單，磁通密度大，機(jī)械特性好，維護(hù)方便等優(yōu)點(diǎn)，因此在航空航天、機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。然而PMSM 是一個多變量、非線性、強(qiáng)耦合的復(fù)雜對象，傳統(tǒng)的PID 控制很難使系統(tǒng)獲得高的控制性能。因此，許多專家使用多種非線性控制算法設(shè)計(jì)控制器來提高系統(tǒng)的動態(tài)性能，例如自適應(yīng)控制［1-2］；模型預(yù)測控制［3-4］；模糊控制［5-6］；滑模控制［7-9］等。

上述滑模控制由于具有魯棒性強(qiáng)且容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢在機(jī)電系統(tǒng)中受到更多關(guān)注［10］。然而在傳統(tǒng)滑模控制中，由高頻開關(guān)函數(shù)引起的抖振現(xiàn)象會影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。因此，學(xué)者們提出了許多改進(jìn)傳統(tǒng)滑模控制的方法來解決此問題。文獻(xiàn)［11］中提出了連續(xù)滑模控制方法，可以有效地抑制抖振現(xiàn)象，但由于采用了線性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)不能在有限時間內(nèi)收斂到零。針對這一問題，文獻(xiàn)［12］中設(shè)計(jì)了CTSMC 器，能夠加快系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時間，而且系統(tǒng)具有較高的穩(wěn)態(tài)精度。但存在系統(tǒng)受到強(qiáng)擾動時穩(wěn)態(tài)波動較大的問題。

針對上述現(xiàn)象，基于觀測器的控制方法被廣泛應(yīng)用以降低擾動對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的影響。文獻(xiàn)［13］中提出了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的控制策略，實(shí)時觀測系統(tǒng)受到的擾動并加以前饋補(bǔ)償，提高系統(tǒng)抗擾能力。文獻(xiàn)［14］中設(shè)計(jì)了一種SMO，用飽和函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的開關(guān)函數(shù)，將反電勢估計(jì)值反饋到電流觀測器，解決了濾波后反電勢值難以精確補(bǔ)償?shù)膯栴}。

本文采用基于SMO的CTSMC方法設(shè)計(jì)復(fù)合位置控制器，使PMSM 系統(tǒng)在該控制器的作用下，其位置輸出可以準(zhǔn)確地跟蹤上參考軌跡，同時能夠有效時變擾動對系統(tǒng)性能的影響，并使用Lyapunov 穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 PMSM模型

為了便于分析，假設(shè)磁路是不飽和的，不計(jì)渦流和磁滯損耗，三相繞組對稱，電樞繞組在定子表面均勻連續(xù)分布，轉(zhuǎn)子磁鏈在氣隙中呈正弦分布。PMSM 系統(tǒng)模型可寫為如下形式［1］：

式中：θ 為電動機(jī)轉(zhuǎn)子位置；ω 為電角速度；iq和id為d-q軸的定子電流；uq和ud為d-q軸的定子電壓；L為定子電感；Rs為定子電阻；np為極對數(shù)；Kt＝3npψf／2為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；ψf為轉(zhuǎn)子永久磁鐵產(chǎn)生的磁勢；B為黏滯摩擦因數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動慣量。

通常，設(shè)計(jì)d軸的參考電流＝0。在電流環(huán)PI控制器的作用下，并引入虛擬控制量，電動機(jī)模型可以簡化為：

本文通過設(shè)計(jì)復(fù)合位置控制器來提高PMSM 系統(tǒng)的抗干擾能力和跟蹤精度。

2 復(fù)合控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

定義變量x1＝θ，x2＝ω，為式（2）建立如下擴(kuò)張狀態(tài)空間模型：

2.1 SMO的設(shè)計(jì)

SMO能夠?qū)⒎蔷€性系統(tǒng)的集總擾動（包括系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的不確定性和外部的干擾）視為系統(tǒng)的一種新的狀態(tài)，該觀測器可以同時估計(jì)狀態(tài)和擾動。通過對擾動估計(jì)進(jìn)行前饋補(bǔ)償，設(shè)計(jì)復(fù)合位置控制器來實(shí)現(xiàn)本文所期望的控制性能。

基于式（3），SMO設(shè)計(jì)為：

其根軌跡全部位于復(fù)平面s的左半平面。

式（3）與式（4）作差，可得SMO誤差方程為：

2.2 復(fù)合位置控制器的設(shè)計(jì)

基于SMO估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)和受到的擾動。取m＝3，對式（3）設(shè)計(jì)如下終端滑模面：

式中：θr為電動機(jī)轉(zhuǎn)子參考位置；β1、β2為中間變量，且0 ＜β1，β2＜1，β1、β2的選取滿足β1＝β2／（2 -β2）；c1、c2為控制器的參數(shù)，且c1，c2＞0，c1、c2的選取滿足使特征多項(xiàng)式

其根軌跡全部位于復(fù)平面s的左半平面。

基于CTSMC和SMO的復(fù)合位置控制器設(shè)計(jì)為

式中：τ為時間變量；k＞0 為控制器參數(shù)。

基于復(fù)合位置控制算法的PMSM 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1 所示。其中Generalized PMSM表示集總的PMSM，包括可加載的PMSM、三相電壓源逆變器、空間矢量調(diào)制模塊、矢量控制框架和2 個電流控制器。

圖1 基于連續(xù)終端滑模和SMO的控制結(jié)構(gòu)框圖

2.3 穩(wěn)定性分析

整個閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析如下：

（1）系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)有界。結(jié)合式（4）和（7），式（6）可寫為如下形式：

對式（8）求導(dǎo)可得

由式（5）和（6）可得導(dǎo)數(shù)方程為：

定義Lyapunov函數(shù)

（2）滑模變量在有限時間內(nèi)收斂。由上述分析式（9）可寫為

定義Lyapunov函數(shù)

并對其求導(dǎo)可得：

因此當(dāng)k＞0 時，滑模變量將在有限時間內(nèi)收斂到零。

（3）跟蹤誤差在有限時間收斂。將式（5）代入式（6）中可得

當(dāng)滑模面s有限時間收斂到零時，上式可化為

則式（15）在有限時間內(nèi)穩(wěn)定［16］。位置跟蹤誤差將在有限時間內(nèi)收斂到零，即軌跡將在有限時間內(nèi)跟蹤上參考軌跡。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證所提復(fù)合控制方案的有效性和可行性，本文在如圖2 所示的PMSM平臺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)由一臺測試電動機(jī)用于運(yùn)行控制算法；另一臺電動機(jī)用于產(chǎn)生負(fù)載轉(zhuǎn)矩。硬件平臺主要由控制電路和功率電路組成，控制電路采用MatSimBox M660 數(shù)據(jù)采集卡，集成了包括ADC模塊、PWM模塊、編碼器模塊等。功率電路采用TI 的DRV8305 芯片，由電壓和電流采樣模塊分別對電動機(jī)的電壓、電流進(jìn)行采樣并送入控制電路。控制電路產(chǎn)生的控制脈沖經(jīng)驅(qū)動模塊后輸入到三相逆變器，從而使電動機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行。

圖2 PMSM實(shí)驗(yàn)平臺

復(fù)合位置控制器的參數(shù)設(shè)置為：m＝3，c1＝1 500，c2＝4 500，k＝200，β2＝0.75，λ1＝υξ4，λ2＝ξ4＋4υφξ3，λ3＝4φξ3＋4υφ2ξ2＋2υξ2，λ4＝4ξ2φ2＋2ξ2＋4υφξ，λ5＝υ ＋4υφ，φ ＝1，υ、ξ 為大于零的常數(shù)，選取υ ＝ξ ＝100，p＝2，q＝15。

PMSM系統(tǒng)參數(shù)為：np＝4，L＝0.4 mH，ψf＝6.4 mWb，J＝7.06 kg·cm2。

為驗(yàn)證CTSMC ＋SMO控制方法的有效性，分別采用PID和CTSMC兩種控制方法來對比分析PMSM 系統(tǒng)的位置跟蹤性能。采用3 組實(shí)驗(yàn)：①給定位置信號θr為方波；②給定位置信號為θr＝sint；③在第2 組實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上分別對給定位置信號頻率和幅值加倍。

同時，為驗(yàn)證PMSM系統(tǒng)在所推薦方法控制下的抗擾特性，3 組實(shí)驗(yàn)施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩為：

在控制器參數(shù)相同的前提下，位置輸出反饋信號θ由增量式編碼器測量所得，q軸實(shí)際電流iq由ADC模塊采集的電流經(jīng)空間坐標(biāo)變化后所得，為控制器的輸出，error ＝θr-θ 為系統(tǒng)位置跟蹤誤差，θr為給定位置信號。同時，對于3 組實(shí)驗(yàn)結(jié)果，采用平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）和標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation，SD）兩指標(biāo)來量化分析PMSM系統(tǒng)在3 種控制方法下的性能表現(xiàn)。

3.1 給定位置為方波時響應(yīng)曲線和穩(wěn)態(tài)性能分析

圖3 所示為給定方波的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由圖3（a）可知，3 種控制方案都能跟蹤上參考軌跡。當(dāng)系統(tǒng)啟動時，與傳統(tǒng)的PID以及CTSMC 相比，所推薦的控制方案CTSMC ＋SMO具有超調(diào)量更小，收斂速度更快的優(yōu)點(diǎn)。在5 ～10 s內(nèi)，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)后，在CTSMC ＋SMO的控制下，系統(tǒng)位置跟蹤的MAE ＝0.047 和SD ＝0.287均比傳統(tǒng)PID控制和CTSMC要小（見表1）。由此可知，推薦控制方案系統(tǒng)有更小的穩(wěn)態(tài)位置波動。由圖3（b）和表1 可知，分別在10 和15 s施加常值擾動和時變擾動后，系統(tǒng)在所推薦方案的控制下能夠更快的恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)，到達(dá)穩(wěn)態(tài)后跟蹤誤差和穩(wěn)態(tài)波動更小，表明所設(shè)計(jì)的復(fù)合位置控制器對常值擾動和時變擾動有明顯的抑制作用。由圖3（d）～（e）可知，3 種方案的控制器輸出與電動機(jī)q軸實(shí)際電流iq都較為吻合。

表1 穩(wěn)態(tài)性能對比與分析（第1 組）

圖3 給定位置為方波時響應(yīng)曲線

3.2 給定位置為θr ＝sin t 時響應(yīng)曲線和穩(wěn)態(tài)性能分析

給定位置為θr＝sint的響應(yīng)曲線如圖4 所示。由圖4（a）和4（b）可知，CTSMC ＋SMO 方法在上升時間和超調(diào)量等方面要優(yōu)于另外2 種對比方法，表明系統(tǒng)在推薦策略的控制下有著良好的動態(tài)性能。由表2 可知，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)后，所推薦方案的位置跟蹤精度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)的PID控制方法和普通的CTSMC方法。

表2 穩(wěn)態(tài)性能對比與分析（第2 組）

圖4 給定位置為θr ＝sin t時響應(yīng)曲線

在施加與3.1 小節(jié)實(shí)驗(yàn)相同的擾動后，可以得到同樣的結(jié)果，表明參考位置由方波變?yōu)檎也ǎ疚奶岢龅腃TSMC ＋SMO方法仍然能得到預(yù)期的控制效果。圖4（c）～（e）表明，控制器輸出曲線與電動機(jī)q軸實(shí)際電流曲線吻合程度較高。

3.3 給定位置為θr ＝sin 2t和θr ＝2sin t時響應(yīng)曲線和穩(wěn)態(tài)性能分析

給定位置為θr＝sin 2t和θr＝2sint的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5 和表3 所示。在3.2 小節(jié)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，分別對參考位置信號頻率和幅值加倍，由圖5 和表3 可知，系統(tǒng)在CTSMC ＋SMO方法的控制下，位置穩(wěn)態(tài)誤差要遠(yuǎn)小于所對比的2 種方案，對擾動的抑制作用也更明顯。

表3 穩(wěn)態(tài)性能對比與分析（第3 組）

圖5 給定位置為θr ＝sin 2t和θr ＝2sin t時響應(yīng)曲線

圖6 表明，本文所設(shè)計(jì)的觀測器能夠較為準(zhǔn)確的估計(jì)出系統(tǒng)所受到的擾動大小。

圖6 系統(tǒng)受到的擾動及觀測器估計(jì)值

本文所提出的控制方法不僅響應(yīng)速度更快，穩(wěn)態(tài)誤差更小，而且抗干擾能力和魯棒性更強(qiáng)。

4 結(jié) 語

本文對PMSM系統(tǒng)軌跡跟蹤控制進(jìn)行了研究，并進(jìn)行了電動機(jī)在3 組不同參考軌跡下的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明：所推薦的控制算法能夠顯著提高系統(tǒng)位置跟蹤的精度和抗擾能力。本文推薦的控制方法設(shè)計(jì)簡單，計(jì)算量小，可以降低系統(tǒng)硬件成本。方法也可用于數(shù)控機(jī)床、智能機(jī)器人和電動輪椅等領(lǐng)域中。