繩牽引腰部康復訓練并聯機器人的建模和控制仿真

江銘煜 李宏勝 王宇奇

摘要：隨著腰部康復需求增加，為了給患者提供更有效的治療服務，本文設計了一種適用于腰部康復訓練的四繩三自由度繩牽引并聯機器人。基于所設計的機器人結構，建立其運動學和動力學模型；針對牽引繩拉力問題，將機器人繩拉力分解為有效驅動力和內力，從而確保機器人在運動過程中滿足動力學方程；針對康復訓練機器人需要對位置和力同時控制的要求，設計了一種力/位混合控制律，并以典型人體腰部康復訓練軌跡為實例進行仿真實驗。結果表明，所設計的機械結構可行，所設計的控制律正確、可靠，力/位控制精度良好。

關鍵詞：繩牽引并聯機器人；康復訓練；數學建模；力/位混合控制；仿真分析

中圖分類號：TP242 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.11.008

文章編號：1006-0316 （2023） 11-0053-09

Modeling and Control Simulation of a Cable-Driven Waist Rehabilitation Parallel Robot

JIANG Mingyu，LI Hongsheng，WANG Yuqi

（ School of Automation， Nanjing Institute of Technology， Nanjing 211167， China ）

Abstract：With the increasing demand for waist rehabilitation， in order to provide more effective treatment services for patients， a four-cable three-degree-of-freedom cable-driven parallel robot for waist rehabilitation training is designed in this paper. Based on the designed robot structure， kinematics and dynamics models are established. To solve the problem of traction cable tension， the robot cable tension is decomposed into effective driving force and internal force， to ensure that the robot meets the dynamic equation during motion. A force-position hybrid control law is designed to meet the requirements of simultaneous control of position and force for rehabilitation training robots， and the simulation experiment based on a typical human waist rehabilitation training trajectory is conducted. The results indicate that the designed mechanical structure is feasible， the designed control law is correct and reliable， and the force-position control accuracy is good.

Key words：cable-driven parallel robot； rehabilitation training；mathematical modeling；force-position control；simulation analysis

隨著機器人技術的蓬勃發展，機器人與康復醫療的結合成為當今社會的研究熱點[1]，由此衍生出了康復機器人。康復機器人通過重復性牽伸或重復性主動式訓練來改善患者肌肉的運動功能，其有效性在康復治療實驗中得到了證明[2]。與傳統的康復機器人相比，繩牽引康復訓練并聯機器人具有模塊化程度高、柔順性好、易拆裝、工作空間大等優點[3-4]，可適用于不同體型的患者，使康復訓練方法更具多樣化和個性化[5]。

繩牽引康復訓練并聯機器人作為一種新型康復機器人被國內外眾多學者進行了深入研究，并取得了一些成果。Niyetkaliyev等[6]設計了一種新型五自由度混聯式機器人，采用剛性連桿和繩索結合的機構設計，實現了人體關節與外骨骼關節的匹配，仿真結果證明了其運動學模型的有效性。Lamine等[7]設計了一種繩牽引腿部康復訓練機器人，并針對繩系結構提出了一種繩拉力優化算法，該算法使得不同身高的患者訓練時所需的繩拉力可以達到最小值，結果表明該康復機器人具有良好的普適性。Cafolla等[8]設計了一種可家用的繩牽引上下肢康復機器人CUBE，在樣機控制實驗中表現出良好的舒適性。Ferdaws Ennaiem等[9]設計了一種用于上肢康復的平面三自由度并聯機器人，并設計了一種扭矩控制器，仿真實驗表明該控制器可以有效減小跟蹤誤差。李想[10]設計了一種用于髖關節康復訓練的繩牽引并聯機器人，采用了力位混合控制策略和微分先行PID控制算法，并加入了安全監控控制算法，通過仿真結果證明了所設計的控制方法具有良好的魯棒性。Zhao等[11]采用繩牽引機器人和外骨骼結合的方案，設計了一種雙套索運動傳輸結構，提出了一種基于模糊集理論的最優自適應魯棒控制方法，仿真實驗驗證了其良好的跟蹤特性。Xie等[12]設計了一種手臂和手康復機器人，采用了外骨骼驅動手指關節、繩牽引手臂的結構，并提出了一種基于肌電圖的導納控制器，實驗結果證明其相比于基于力傳感器的導納控制具有更好的平滑性。徐子薇等[13]設計了一種繩牽引柔性外骨骼康復訓練裝置，并在機器人的導納控制器中加入了預測模型，實驗結果表明預測模型可以實現步態糾正所需力的跟蹤，并靈活調整輔助頻率。

上述參考文獻研究成果大多忽略了繩索彈性動力學模型，為了保證腰部繩牽引康復訓練機器人的運動控制的準確性和安全性，本文建立了其運動學模型和包含繩索彈性的動力學模型，并采用力/位混合控制策略。通過仿真分析驗證了所建立的數學模型的正確性及所設計控制策略的有效性。

1 機器人系統描述

人體腰部運動通常為前屈后伸、左右側移和轉動[14]，分別對應在機器人工作空間水平面的平移運動和繞垂直軸的旋轉運動，共計3個自由度的運動形式。結合人體腰部結構和運動特性所設計的繩牽引康復訓練并聯機器人樣機平臺如圖1所示。

其結構系統由方型鋁型材、驅動系統、控制系統等組成，樣機平臺采用歐標4080L、8080L鋁型材搭建，以保證平臺的強度和穩定性。機器人采用高性能伺服驅動器，相應的伺服電機配備高分辨率編碼器滿足了控制系統的高性能和實時性要求。控制系統由控制計算機、EtherCAT實時工業以太網的伺服驅動器、滾珠絲桿、I/O模塊、力傳感器以及其它配套的電氣控制系統組成。EtherCAT工業以太網總線支持多設備間的高速數據交互，極大提高了系統的可拓展性和可靠性，可很好地滿足控制實時性的要求。

根據繩的單向受力特性，機器人必須實現冗余驅動，即機器人關節數需大于運動自由度數目，因此至少需要四根繩索才能保證實現對人體腰部3個運動自由度的完整約束。本文采用四根高強度的凱夫拉繩作為機器人關節連接動平臺，牽引繩通過滑輪變向與驅動系統連接，由伺服電機控制繩索收縮和伸長，從而實現動平臺平面內2個自由度的平動和1個自由度的轉動（1R2T）。四根牽引繩兩兩呈中心對稱分布，互不干涉，整體結構簡潔有效，空間利用率高。

2 運動學建模

本文設計的腰部繩牽引康復訓練并聯機器人幾何關系圖如圖2所示。

定義全局坐標系原點為機架底面正中心點O，建立全局坐標系O-XYZ。以動平臺中心點P為原點，建立局部坐標系P-xyz，滑輪上繩引出點定義為 （i＝1， 2， 3， 4），在繩與動平臺末端鉸接點定義為 （i＝1， 2， 3， 4）。動平臺位

置向量為 ，定義姿態角為 。

工作空間內繩長矢量 可表示為：

（1）

式中： 為原點到繩出點 的向量； 為全局坐標系到局部坐標系原點的向量； 為局部坐標系下點 相對于原點P的向量； 為局部坐標系相對于全局坐標系的旋轉矩陣，其表達式為：

（2）

第i根繩長表達式為：

（3）

定義動平臺繞Z軸旋轉角速度矢量為 ，根據微分運動學原理，繩長速度矢量為 ，與動平臺速度矢量 關系為：

（4）

式中： 為機器人速度雅克比矩陣，其中， （i＝1， 2， 3， 4）、 （i＝1， 2， 3， 4）為第i根繩的單位向量。

3 動力學建模與繩拉力分解

3.1 動力學分析

系統動力學建模主要包括三個部分，一是繩末端牽引的動平臺。二是繩另一末端的驅動系統。三是繩索彈性動力學模型。

首先對動平臺模型進行建模分析，動平臺

由四根繩線牽引，考慮到使用的凱夫拉線直徑小，強度大，因此可以忽略繩線質量。動平臺的動力學方程可表示為：

（5）

式中： 為動平臺的慣性矩陣； 為科氏力和離心力矩陣； 為廣義外力向量； 為機器人的力雅克比矩陣，與速度雅克比矩陣 互為轉置； 為繩索拉力。

驅動系統的動力學方程可以表示為：

（6）

式中： 為伺服電機軸轉角矢量； 為電機軸上的轉動慣量矩陣； 為等效粘滯系數矩陣； 為電機軸輸出力矩到絲桿軸向力的

傳動系數； 為絲桿導程； 為電機軸輸出力矩矢量。

牛頓－歐拉方程僅適用于剛體動力學模型，繩索是有限剛度關節，考慮到應用對象的特殊性（患者），保證控制的準確性和安全性，建立如下繩索彈性動力學模型[15]。

將繩索視為繩－彈簧模型，依據胡克定律，繩索上拉力可表示為[16]：

（7）

式中：K為繩索剛度系數矩陣。

繩索的彈性形變量為：

（i＝1， 2， 3， 4） ? ? ? （8）

式中： 為原繩長； 為繩受力形變后的繩長。

將式（7）代入式（5）、式（6），可得出機器人整體動力學模型為：

（9）

3.2 繩拉力分解

在實際工程應用中，不同于剛性連桿的可雙向受力特性，繩僅能承受正向拉力。為確保動平臺運動過程中繩始終保持張緊狀態，文獻[17]提出了一種基于最小P范數解的優化繩拉力分布方法，并證明了其可行性。本文采用該方法對繩拉力進行分解，該方法的優點在于控制簡潔，且動平臺的力軌跡連續。

受繩自身物理特性和電機輸出功率的限制，

繩拉力 （i＝1， 2， 3， 4）需保持在一定范圍內，

且實際康復訓練時繩對人體腰部的有效驅動力遠小于繩能承受的最大拉力。考慮到患者的安全性和繩拉力分配的合理性，因此對繩拉力進行如下約束：

（10）

式中： 為預設的期望繩拉力最小值； 為期望繩最大拉力值。

四繩三自由度繩牽引并聯機器人的機構驅動數目多于末端自由度，為冗余驅動，由式（5）可得：

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

式中： 為矩陣方程的特解項，是動平臺的有效驅動力； 為矩陣方程的通解項，是運動過程中維持繩張緊的內力； 為力雅克比矩陣 的偽逆[18]； 為平均力系數。

具有如下性質：

（16）

即在運動過程中，繩內力不會對動平臺的位姿產生影響。

4 控制方法的設計

為保證康復訓練的效果與安全性，對康復訓練機器人的軌跡跟蹤和繩拉力跟蹤的控制精度提出了要求[19]。整體控制策略如圖3所示，本文采用PD控制律實現機器人軌跡跟蹤，采用PI控制律實現繩拉力跟蹤。

系統控制律如下：

（17）

（18）

（19）

式中： 為位置控制律，位置閉環由伺服電機的編碼器實現；伺服電機期望轉角 可由位姿Xd逆解求得，高精度的編碼器反饋伺服電機的實際轉角 ； 為電機期望轉角速度； 為電機需克服的動平臺動力學負載，主要用于克服動平臺的慣性力和阻尼力等[20]； 為力控制律，力閉環由拉力傳感器實現反饋； 、 分別為位置閉環比例和微分控制系數； 、 分別為力閉環比例和積分控制系數； 、 、 、 均為對角正定增益矩陣。

5 仿真結果與分析

5.1 系統參數

使用Matlab軟件對所設計的控制律和系統模型進行仿真分析。動平臺采用30：1縮比模型，仿真模型質量取成年人體重60 kg，繩出點oAi與鉸接點pBi坐標、其他系統各項參數值如表1、2所示。

采用Matlab Simulink分別進行位置控制器和力控制器參數整定。整定后參數如表3所示。

5.2 往復運動實例

給定動平臺初始位姿X＝[0 0 1155 0 0 0]T，設定動平臺運動軌跡為沿X軸的往復運動，模擬腰部康復訓練中的前屈、后伸動作，移動范圍為-50～50 mm，周期為5 s，期望運動軌跡方程為：

（20）

由圖4～6可知，動平臺的期望軌跡和實際軌跡基本吻合，軌跡誤差范圍為1.7～2.6 mm，繩1、4長度變化趨勢相同，繩2、3長度變化趨勢相同，由于繩系布局非完全對稱，同組繩長非完全相同，繩長變化曲線連續且平滑，符合運動學規律，間接驗證了所建立的運動學模型的正確性。

圖7顯示的繩拉力變化曲線表明繩拉力在2 s后進入穩態，繩拉力變化平緩且連續。在運動過程中，各繩拉力始終處于17 N左右，符合期望的約束要求。圖8為繩拉力誤差曲線，繩拉力誤差范圍在±0.05 N內，力環控制精度良好。

5.3 轉動運動實例

給定動平臺初始位姿X＝[0 0 1155 0 0 0]T，設定動平臺運動軌跡為繞Z軸的周期性旋轉運動，模擬腰部康復訓練中的轉動動作，轉動角度范圍為-0.1744～0.1744 rad，周期為5 s，期望運動軌跡方程為：

（21）

由圖9～10可知，動平臺的轉動角度變化曲線與期望角度曲線基本吻合，轉動角度誤差范圍在±0.0141 rad內。

由圖11可知，繩1、3長度變化曲線基本相同，繩2、4長度變化曲線基本相同，同組繩長完全相同，符合中心對稱繩系布局的特征，繩長變化連續，符合運動學規律。

由圖12可知，進入穩態后的繩拉力變化曲線連續且平滑，運動過程中，各繩拉力始終處于15 N左右，符合期望拉力約束要求。由圖13可知繩拉力誤差范圍在±0.6 N內，力環控制精度良好。

5.4 圓周運動實例

給定動平臺初始位姿X＝[50 0 1155 0 0 0]T，設定動平臺運動軌跡為以原點O'＝[0 0 1155]為圓心的圓周運動，模擬康復訓練中的復合平移運動，半徑為50 mm，周期為5 s，期望軌跡方程為：

（22）

由圖14～16可知，在兩個周期的運動中，動平臺沿X軸的運動軌跡與期望軌跡幾乎完全吻合，誤差范圍為-0.5～0.25 mm，沿Y軸的運動軌跡誤差范圍為2.1～3.1 mm。由于啟動時，動平臺沿Y軸位移變化率較大，產生較大的拉力，因其產生的誤差力環控制無法快速消除。運動中繩長變化連續且平滑，符合運動學規律。

圖17表明，進入穩態后的繩拉力變化曲線連續且平滑，運動過程中，各繩拉力始終處于17 N左右，符合期望拉力約束要求。由圖18可知繩拉力誤差范圍在±0.14 N內，力環控制精度良好。

上述仿真結果表明，在滿足運動控制精度的條件下，位置控制環響應快速，力控制環精度高，所設計的力/位控制律是正確有效的，機器人運動控制系統是穩定可靠的。

6 結論

本文設計了一種四繩三自由度繩牽引腰部康復訓練并聯機器人機構模型，并建立了康復機器人動平臺和驅動系統的數學模型。所建立的系統動力學模型考慮了繩索彈性，進一步考慮控制策略中加入力控制閉環，從而維持動平臺運動過程中繩始終保持張緊。本文采用了基于電機轉角和繩拉力反饋的力/位混合控制策略，Matlab仿真實驗結果表明，所設計的運動控制策略能夠有效跟蹤典型軌跡的運動，并維持繩拉力始終為正，證明了其有效性。上述研究成果可為運動控制系統的軟件設計、實時性和柔順性控制提供研究基礎。

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