關聯·解析·貫通

崔英梅

復習是學生學習過程中的重要一環，實施復習的階段、形式、載體十分豐富。復習教學既可在新知學習過程中靈活進行，也可以復習課的形式集中進行。復習的對象可以是課時教學內容、單元教學內容、學期教學內容，也可以突破教材內容編排的限制，專門開發以知識模塊組織的專題復習。如何制定指向知識結構化的復習目標？如何設計并實施指向深度學習的復習教學方案？本期我們精選三篇文章，討論上述問題。

復習作為一種學習方法，其目標不僅指向梳理、鞏固舊知，還指向觸發新的認知。復習課承載著梳理知識、查漏補缺、易錯解析、轉化遷移、拓展延伸等功能。從單元整體教學設計角度而言，數學單元復習課應定位于引導學生在整理單元知識的過程中探析單元知識之間的內在邏輯；基于學生認知難點組織變式教學，有意識地培養學生的數學核心素養；運用轉化或遷移策略，促進學生構建對未來學習有支撐意義的結構化數學知識體系。這既是數學單元復習課的教學策略，也是數學單元復習課的教學路徑。

一、把握邏輯關系，實現單元內容結構化

課程內容結構化是新課程標準倡導的重要理念之一。課程內容結構化落實于教學實踐中，需注重教學內容的結構化。對單元復習課而言，“溫故”的重點是梳理、鞏固單元知識，“知新”的重點是依托單元內容的結構化構建知識網絡。

單元是教材編排的基本單位。一個單元的知識點一般不會孤立存在，知識點之間存在一定的內在邏輯關系。然而，學生是通過一節又一節課學習單元內容的，其學習過程看似連續，實則缺乏從聯系的觀點整體把握單元內容之間邏輯關系的過程。因此，單元復習課的第一步是引導學生通過梳理單元知識，構建知識網絡，發現單元內看似零散的知識點之間的內在聯系。已有研究和實踐表明，教師引導學生梳理單元知識、構建知識網絡的主要策略是，借助表格、樹狀圖、網狀圖、思維導圖等圖示化工具呈現單元內容。然而，我們看到的多數知識網絡圖主要描繪的是表層的單元內容結構，缺少對單元內容之間邏輯關系的刻畫。在小學數學中，有的單元內容之間的邏輯關系是顯性的，其內容結構本身就是內容的邏輯關系，一般常見于學生首次學習的某一類主題內容的單元，如人教版數學三年級上冊《分數的初步認識》；而有的單元內容之間的邏輯關系是隱性的，其內容結構背后有更深層次的內在聯系，需要教師引導學生探析和發現。以下案例就屬于單元內容之間存在隱性邏輯關系的教學案例。北京第二實驗小學大興實驗學校陳士寧老師在北京版數學三年級《除法》（除數是一位數的除法）單元復習課中，借助習題組引導學生發現口算、估算、筆算的聯結點——“表內除法”，進而引導學生借助“表內除法”實現口算、估算、筆算之間的轉化。例如，口算“560÷8”時，先不看被除數560末尾的0，將其轉化成“56÷8”后借助乘法口訣計算，再在計算結果的末尾添上0；估算“562÷8”時，借助“56÷8”將估算問題轉化為口算“560÷8”的問題；筆算“984÷5”時，先比較被除數的首位和除數，由9>5確定商的首位寫在百位上，除的過程中從高數位到低數位不斷平均分計數單位的個數，每一步的余數必須小于除數，而每一步“除的過程”本質上都是轉化為表內除法后用乘法口訣求商。如此，陳士寧老師引導學生深度理解了除法計算的主要策略是用乘法口訣求商，構建了結構化的單元知識網絡。

小學數學單元復習課中，梳理單元知識、構建知識網絡是第一步，目的是實現單元內容的結構化，而單元內容結構化的關鍵在于用聯系的眼光發現單元內容之間的內在聯系，而這又是“理解具體學習內容的學科本質，使學生深刻理解和掌握學習內容，并在此基礎上實現知識與方法的遷移，從而促進學生核心素養的形成”（馬云鵬，《課程·教材·教法》2022年第6期）的重要途徑。

二、依托變式練習，完善已有認知結構

復習課不是習題課，單元復習課中的練習不需要對照單元知識點面面俱到地設計。教師在單元復習課中應基于學生的認知難點設計變式練習，引導學生查缺補漏，完善認知結構，實現舉一反三、觸類旁通，并有意識地培養學生的數學核心素養。

設計復習課中的練習，關鍵是教師對學生認知難點的判定。準確判定學生認知難點的前提是準確分析單元新授課、練習課的學習效果。若要設計精準的單元復習題，教師就要避免憑借經驗判斷學生的認知難點，而要通過單元作業分析、單元后測學情分析等獲取反映學習效果的證據，依托證據判定學生的認知難點。如陳士寧老師通過單元后測，發現學生的易錯點是“商出錯”和“余數出錯”。其中，“商出錯”的主要原因是算法不明，表現為三位數除以一位數中商的判斷出錯，如商的位數不對、商中漏寫0等，這是學生理解除法算理的認知難點；而“余數出錯”的主要原因是學生對乘法口訣和減法計算不熟練，這不是學生理解除法算理的認知難點。鑒于此，陳士寧老師基于學生“商的判斷出錯”認知難點，設計了一組對比變式習題（①984÷5＝196……4 ②396÷9＝44 ?③918÷3＝306 ?④562÷8=70……2），先讓學生對題組中的4道算式進行分類，然后用問題1“按商的位數分類，這些題目都是三位數除以一位數，為什么①③的商是三位數，②④的商是兩位數”引導學生討論如何判斷商的位數；最后用問題2“按商中有無0分類，③④的商中為什么會出現0”引導學生說理，解釋“商中為什么會出現0”。這樣教學幫助學生突破了上述易錯點，加深了對算理的理解，完善了除法算理的認知結構。

單元復習課教學中，除了對比變式習題，教師還可以結合教材內容，引入問題變式、方法變式、情境變式、結構變式（將原問題轉變為結構不良的問題等）的習題。無論采用何種變式方式，教師都要注意引導學生舉一反三、觸類旁通，有意識地培養學生的數學核心素養。上述教學情境中，陳士寧老師針對“商的位數判斷”（問題1）和“商中有0的解析”（問題2），分別安排了遷移應用練習，檢驗學生能否舉一反三、觸類旁通。討論問題的過程中，陳士寧老師借助問題鏈培養學生的推理意識。如提問“按商的位數分類，這些題目都是三位數除以一位數，為什么①③的商是三位數，②④的商是兩位數”后，陳士寧老師先說明“計算時，先比較被除數的首位和除數就可以確定商的首位在哪一位上”，接著追問“商可能是一位數嗎”，然后追問“如果是四位數除以一位數，商可能是幾位數？五位數除以一位數呢”。學生將已掌握的三位數除以一位數的商的位數判斷方法遷移到四位數、五位數除以一位數的情境中，通過類比推理，構建了整數除以一位數的商的位數判斷方法。

對小學數學單元復習課而言，學情是教學設計的起點，精準判定學生的認知難點可以提升復習課的教學效果，基于學生認知難點的變式練習是單元易錯內容解析的重要媒介。

三、形成貫通理解，實現主題內容結構化

義務教育數學課程內容是按照螺旋式上升方式編排的，“同一類”學習內容（主題）分散在不同的教材分冊中，構成隱形的縱向大單元即主題大單元。因此，教師要在復習課中引導學生運用轉化或遷移策略，將知識和方法拓展、延伸到主題大單元，讓學生感悟到散落在不同分冊中的“同一類”數學知識共同的學科本質，為學生形成核心概念（大觀念、大概念）積淀活動經驗。

對主題大單元而言，教材單元內容學習的結束只是主題內容學習過程中一個學習階段的結束，教師需要借助一條邏輯主線將不同階段的學習內容聯系起來，這條邏輯主線應聚焦于該主題內容的學科本質。在建立同主題內容單元之間聯系的過程中，教師可以運用轉化策略將本單元內容與已經學習的同主題單元內容聯系起來，也可以運用遷移策略將本單元內容與后續同主題單元內容聯系起來。例如，北京版數學四年級上冊《乘法》單元復習課中，教師可以將“三位數乘兩位數”的算法轉化為“計算三位數乘一位數與三位數乘整十數的和”，使“三位數乘兩位數”的內容與前面已經學習的《乘法》單元內容建立聯系，實現整數乘法算法一體化。在《除法》單元復習課中，學生筆算并板演“984÷5＝196……4”后，陳士寧老師提出關鍵問題“還能繼續分嗎”，引導學生發現“只要能將余數細化為更小的計數單位，就還能繼續分”，將學生的思維從“有余數”向“可以繼續除”遷移，引導學生感悟除法算理的本質——“從高數位到低數位不斷平均分計數單位的個數”，從而理解整數除法和小數除法算理的一致性。

在小學數學單元復習課中實施轉化遷移、拓展延伸教學策略的目的是使主題內容結構化，而主題內容結構化的關鍵在于對學科本質的貫通理解。教師作為教學設計者，雖然掌握了指向內容結構化的學科本質或核心概念，但單元復習課的教學主旨并不是將教師建構的結構“轉送”給學生，而是引導學生通過主動構建內容結構，感悟到學科本質或核心概念的存在。學生在不同學習階段對學科本質或核心概念可以有不同程度的理解，可以在同主題內容學習進階過程中，通過轉化或遷移，不斷感知、建構主題內容結構，進而獲得對未來學習有支撐意義的結構化數學知識體系。

（作者單位：北京教育學院數學與科學教育學院）

（本文系北京教育學院2020年重點關注課題“基于數學項目學習的課程綜合化實施路徑研究”的成果。課題編號：ZDGZ2020-20）