轉動剛體角動量的復雜關系
——兼談不同參考系選擇的意義

董 科,周雨青,2

(1. 東南大學 物理學系,江蘇 南京 211189;2. 北京師范大學 文理學院,廣東 珠海 519085)

本文研究的問題源自一道題目的求解.

如圖1所示,陀螺的均勻薄盤盤緣及桿的一端O靠在水平桌面上,桿與桌面成θ=45°.今陀螺以O端為支點在桌面上作純滾動,桿繞鉛垂軸作勻速轉動,角速度為Ω.假設薄盤的質量為m、半徑為R,桿的質量忽略不計,求桌面對盤緣支持力N[1].

圖1 陀螺以O端為支點做純滾動

ω=ω1+ω2

(1)

(2)

在相對于桿靜止不動的旋轉參考系S′中,陀螺繞“固定軸”勻速轉動,其角動量I1ω1沿桿方向且恒定不變,這里I1=mR2/2代表盤繞桿的轉動慣量.在桌面參考系S中,陀螺相對于O點的角動量似乎就應該是兩種轉動對應的角動量的矢量和(相對運動+牽連運動),即[2]L0=I1ω1+I2ω2

(3)

其中I2代表繞過O點且平行AB的軸的轉動慣量,根據平行軸定理和垂直軸定理,有

I2=mR2+I1/2=5mR2/4

由于θ=45°,式(3)中L0在y方向分量的大小

L0y=I1ω1cosθ+I2ω2sinθ=7mR2Ω/4

(4)

根據角動量定理,對O點的力矩滿足

(5)

由式(4)、(5)可得

(6)

上述的計算看起來是順理成章的,但這一結論卻并不正確.原因何在呢?

1 問題的解決

r=r′,v=v′+Ω×r′

我們知道,質點在S系和S′系中的牽連速度Ω×r′源自旋轉系中所存在的“刻舟求劍”問題,這對兩參考系中的角動量關系造成直接影響,因而處理好“牽連”角動量是問題的關鍵.

(7)

也就是式(3)中的第1項.

(8)

圖2 “牽連”角動量的計算

設由O點指向A點的位矢為

(9)

利用關系式a×(b×c)=b(c·a)-c(a·b)及陀螺質量分布的對稱性,可得

代入式(9)中,整理后得到

(10)

(11)

顯然,一般情況下L≠L0.這一題目提醒我們,在計算剛體角動量時須格外小心,不能想當然.

實際上,剛體角……