基于二階近似擴展卡爾曼濾波的鋰離子電池SOC估計

段林超 張旭剛 張華 宋華偉 敖秀奕

摘要：為提高電池荷電狀態（SOC）估計的準確性，更高階的擴展卡爾曼濾波（EKF）算法被用來估計SOC值。首先建立鋰離子電池一階Thevenin等效電路模型，采用樣條函數來表述開路電壓（OCV）和SOC值的函數關系。為更加精確地識別等效電路模型參數，提出一種新的帶有可變遺忘因子最小二乘法（VFFRLS）的算法來在線識別模型參數。由于VFFRLS解的精度依賴于算法初始值的設定，為此采用改進粒子群算法求得模型初始參數值，進而得到更加精確的VFFRLS初始值。最后采用二階EKF來估計電池的SOC值，以此提高估計精度。兩組不同的數據集用來證明二階EKF估計SOC值具有普適性。實驗結果表明，二階EKF在估計不同工況條件下的SOC值時，平均絕對誤差（MAE）都保持在1%以內，由此證明了所提方法的有效性。

關鍵詞：電池荷電狀態；二階擴展卡爾曼濾波；可變遺忘因子最小二乘法；改進粒子群算法；參數識別

中圖分類號：TM911.3

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.15.004

SOC Estimation of Lithium-ion Batterys Based on Second-order Approximation Extended Kalman Filter

DUAN Linchao1，2 ZHANG Xugang1，2 ZHANG Hua1，2 SONG Huawei3 AO Xiuyi3

1.Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Control Technology，Ministry of Education，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan，430081

2.Hubei Key Laboratory of Mechanical Transmission and Manufacturing Engineering，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan，430081

3.Recycling of Scrapped Vehicles （Including New Energy Vehicles） Hubei Engineering Research Center，Wuhan，430014

Abstract： To improve the accuracy of battery SOC estimation， a higher order EKF algorithm was used to estimate SOC. Firstly， the first-order Thevenin equivalent circuit model（ECM） of lithium-ion battery was established， and the function relationship between open circuit voltage（OCV） and SOC was expressed by spline function. In order to more accurately identify the ECM parameters， a new kind of with VFFRLS algorithm was proposed for on-line identification of model parameters. Since the accuracy of the VFFRLS solution depended on the setting of the initial values of the algorithm， the improved particle swarm optimization algorithm was used to obtain the initial parameters of ECM， which helped to obtain more accurate initial values of VFFRLS. Finally， the second-order EKF was employed to estimate the SOC of the batterys to improve the estimation accuracy. Two different datasets were used to demonstrate the universality of second-order EKF estimation SOC. The experimental results indicate that the mean absolute error（MAE） of second-order EKF is within 1% when estimating SOC under different working conditions， which proves the effectiveness of the proposed method.

Key words： state of charge（SOC）； second-order extended Kalman filter（EKF）； variable forgetting factor recursive least square（VFFRLS）； improved particle swarm optimization； parameter identification

0 引言

鋰電池目前已被廣泛地應用在消費產品中，具有低成本和較高的能量密度等優點［1］。鋰電池具有快速充電和放電能力，且工作過程中有著較高的穩定性，因此被廣泛應用于能源的儲存和供應不同的設備，尤其是電動汽車［2］。電池電荷狀態（state of charge，SOC）是電池管理系統中的關鍵參數之一，反映了電池單體內部的狀態且不能夠被直接測量得到，但實時了解該狀態量可保證電池管理系統做出正確的決策［3］。目前，用來估計SOC的方法有多種：放電測試法［4］、開路電壓法［5］、安時積分法［6］、神經網絡方法［7］和模型估計法［8］等。放電測試法一般用于實驗室環境中，不適應于實際工程環境；開路電壓法則需要長時間靜置，耗時嚴重；安時積分法估計精度依賴于初值的設定且誤差也會在積分過程中累加，從而導致估計誤差增大；神經網絡方法雖然估計精度較高，但其估計精度依賴于數據集的大小和精度，且計算量較大。

由于模型法在估計SOC值時有著較高的精度和較小的計算量，故模型法在估計SOC值中被更為廣泛地應用在實際工況中［9］。卡爾曼濾波算法被用來對目標值進行估計，還有粒子濾波［10］和H無窮濾波算法等［11］。由于卡爾曼濾波算法只能應用于線性系統，而基于電池模型所得到狀態和測量方程為非線性方程，故需要采用擴展卡爾曼濾波器（extended Kalman filter，EKF）來對SOC值進行估計。EKF的原理是將狀態方程和測量方程中的非線性方程通過一階Taylor展開，將其近似為線性方程［12-14］。由于該近似將二階及二階以上項忽略，使得模型誤差增大，從而導致估計值誤差偏大。

利用EKF來估計SOC值的重要前提就是得到模型的參數，且模型參數精確性直接影響后續SOC估計的結果，因此準確得到電池模型參數是必要的。文獻［15-16］采樣的方法是帶有遺忘因子的最小二乘法來識別模型參數，但該方法中遺忘因子的值為恒定常數，并不能根據誤差等信息進行及時的調整，因此存在一定的不足，且最小二乘法解精度在一定程度上依賴于算法初始值的設定，更為合理的初始參數值尤為重要。文獻［17］采用的是離線的參數識別的方法，主要是通過對數據進行函數擬合，從而得到函數的系數，進而得到模型參數，但該方法只能用于離線的識別，不能進行實時的參數識別，且工況一旦發生改變，模型參數也會跟隨改變，這無疑會使得估計得到的參數誤差增大。

為解決一階Taylor近似誤差偏大問題，同時防止后續計算量偏大，本文采用二階Taylor展開從而得到近似線性化模型，然后利用EKF完成對SOC的濾波估計。根據最小二乘法估計誤差絕對值，本文提出一種可根據誤差值絕對值大小實時調節遺忘因子大小的最小二乘法來在線識別電池模型參數，由此提高識別參數精度。同時本文采用改進粒子群算法求得電池模型初始參數值，由此獲取最小二乘法中較為準確的初始參數值來提高解的精度。最后通過實驗對比EKF和二階EKF估計SOC誤差值的大小來驗證本文方法的有效性。

1 鋰離子電池模型

電池內部的化學反應十分復雜，即使相同的鋰電池在相同的條件下所表現出的性能也可能會有所差異［18］。不同的電池模型有著不同的優點和缺點，目前，等效電路模型和電化學模型被廣泛地應用于電荷狀態的估計。電化學模型使用電化學方法來描述動力電池的工作情況，從計算的角度來看其計算較為復雜。等效電路模型被廣泛用來描述動力電池內部動態特征和靜態特征，并且有著較高的精度，該方法要比電化學方法更為簡單且計算量較小［19］。

電池模型不僅要反映出其動態特性，同時也應具有簡單和計算方便等特征，因此本文采用一階Thevenin電路模型［20］，如圖1所示。

圖1中，Uoc為開路電壓，Ut為端電壓，R0為電池內部電阻，C1為極化電容，R1為極化電阻。根據基爾霍夫電壓定律，可得

式中，It為負載電流；U1為極化電壓。

電荷狀態（SOC）值的計算公式如下：

其中，S（t0）、S（t）分別代表t0時刻和任意時刻SOC值；Qn為電池實際容量；η為庫侖效率，顯然上式都是關于時間的函數，為連續函數。現將上式進行離散化，得到所對應離散化方程：

式中，ik-1為k-1時刻的電流值。

其中，Ts和Δt取值均為1。根據上述離散方程可得到電池模型狀態方程和測量方程：

其中，Uoc，k為SOC值的函數，本文用樣條函數來表達其函數關系式。將式（5）、式（6）表示為矩陣形式：

其中，uk=Ik，ωk、υk分別為過程噪聲和測量噪聲。

2 改進的可變遺忘因子最小二乘法電池模型參數識別

電池模型參數識別主要有在線識別和離線識別兩種方法。在實際工況條件下其模型參數不斷發生改變，因此離線的參數識別不可避免地會產生一定誤差［21］。本文采用最小二乘法（recursive least square，RLS）來在線識別Thevenin模型參數。首先定義系統傳遞函數：

其中，由離散化傳遞函數可得其差分方程：

Y（k）=E（k）－U（k）=

－a1Y（k－1）+a2I（k）+a3I（k－1）（10）

其中，Y（k）、I（k）分別為系統輸出和輸入。整理可得

對比式（12）和式（8）系數可得

利用最小二乘法求出a1、a2、a3三個參數，即可得到電池模型各個參數值。由于帶有定常數遺忘因子的最小二乘法在時變系統中并不能提供良好的表現，故本文提出一種根據誤差和誤差增量關系來實時調整遺忘因子參數值的方法。現定義誤差增量Δek如下：

Δek=ek－ek－1（14）

ek=Y（k）－（k）Tθ^（k-1）

利用誤差ek和誤差增量Δek的乘積構成一個特征變量，用于判斷遺忘因子是否需要調整。當ΔekΔek<0時，即表明系統誤差絕對值朝著誤差減小的方向發展，此時的遺忘因子大小滿足要求，即在下次迭代過程中，遺忘因子參數值保持不變。當ΔekΔek>0時，表現為系統誤差絕對值朝著誤差增大的方向發展，應及時通過迭代的方法調整遺忘因子參數值，以保持算法具有良好的追蹤能力和收斂性，其迭代步驟如下：

其中，ρ為縮放因子，用來幫助調節λ的取值范圍。最小二乘法迭代步驟如下：

帶有遺忘因子λ（k）的RLS的迭代步驟如圖2所示。

由于RLS求解精度受限于a1、a2、a3三個參數的設定，當初值參數值設定更加接近真實值時，算法求解精度較高且收斂速度較快，但當初始參數值設定與真實值相差較大時，解的精度會降低甚至算法會發散，因此，本文采用改進粒子群算法先求解電池模型初始參數，進而得到更為合理的初值，以提高解的精度值。

標準粒子群算法容易陷入局部最優解，從而導致解的誤差偏大。為此本文采用非線性動態慣性權重系數ω來增強全局搜索能力［22］，其表達式如下：

其中，f、favg、fmin分別為粒子適應度值、適應度值平均值和最小值。由式（1）得到粒子群算法目標函數：

其中，U^（k）為模擬端電壓，U（k）為實際端電壓，N為數據長度。求出初始模型參數，進而得到RLS初始參數值。

3 二階擴展卡爾曼濾波算法

由于本文研究對象的狀態方程為線性方程，故只給出測量方程二階Taylor展開的推導過程。將式（7）中非線性函數g（·）在狀態估計值處展開成為泰勒級數：

測量方程可轉化為

其中，ny表示測量向量維數；ei表示第i個ny維基向量，則預測方程為

由于狀態方程為線性方程，故狀態向量的一步預測和誤差協方差矩陣的一步預測Pk|k-1與標準EKF算法步驟一致，二階EKF濾波增益矩陣迭代步驟如下：

Lk=Pk|k－1CkH－1k（22）

其中，Ck為函數g（·）的雅可比矩陣，Hk的計算方法如下：

綜上所述，二階EKF算法步驟見表1。其中，Q、R分別代表過程噪聲矩陣和測量噪聲矩陣。

4 驗證和討論

4.1 電池模型參數識別結果

由于鋰離子電池具有能量密度高和自放電率小等諸多優點［23］，故鋰離子電池被作為本文的研究對象，分別采用NASA公開數據集［24］和馬里蘭大學的Center for Advanced Life Cycle Engineering（CALCE）公開數據集作為實驗數據，可以從文獻［14］中獲取CALCE數據集的詳細信息。根據兩個不同的數據集建立對應的等效電路模型，結合式（18）構造出對應的目標函數，利用粒子群算法求得電池模型初始參數值，見表2。

本文采用樣條函數來表達SOC值和OCV值的函數關系。現定義樣條函數定義域，由于SOC值的變化范圍為［0，1］，故自然樣條函數定義域為［0，1］，那么n段樣條函數可以表述為

其中，0=s0

ξ（s）=ais3+bis2+cis+di（25）

將測試點作為樣條函數節點，由節點處函數值、一階、二階導數值都應連續和邊界條件作為約束，求出上式中的待定系數［25］，即可求出各個區間內SOC-OCV函數表達式。部分區間內SOC-OCV函數關系式的系數見表3。

通過上述步驟即可求出SOC值和開路電壓的函數關系，為后續識別特定工況下電池模型參數打下良好的基礎。NASA和CALCE數據中所對應不同工況的電流和端電壓如圖3所示，實驗溫度均為25 ℃。

利用本文所提出的VFFRLS算法識別模型參數，參數識別結果和模擬端電壓誤差如圖4所示。端電壓誤差如圖4d所示，可以看出誤差都在0附近波動。其中，NASA數據中模擬端電壓的平均誤差為0.0021 V；而對于CALCE，端電壓的平均誤差僅為0.0011 V。由此可以證明，本文提出的VEERLS算法識別出的參數有較高的精確度。

4.2 基于二階EKF的SOC估計

為證明本文所提出的二階EKF估計SOC有著更高的精度，以EKF估計得到的SOC值作為對比實驗來輔助驗證本文所提方法的優越性。其中，NASA數據集中初始SOC值為1，而CALCE數據中的初始SOC值為0.8。圖5a和圖6a所示為算法估計得到的SOC值。圖5b和圖6b所示為算法估計SOC值的誤差值。從誤差曲線中可以看出，二階EKF在估計不同工況條件下的誤差都小于EKF。為了更加直觀地對比各個算法在估計SOC的精度，表4給出了不同算法所對應的最大誤差（MAX），平均絕對誤差（mean absolute error，MAE）和均方根誤差（root mean square error，RMSE）。可以看出，二階EKF在估計NASA數據集中的SOC值時，算法的MAE值為0.0017，遠小于EKF的MAE值。另外，二階EKF在估計CALCE數據集內的SOC值時，算法對應的RMSE值和MAE值都小于EKF的相應值。

4.3 初始SOC值對算法估計的影響

SOC的初始值對二階EKF算法估計精度有著重要的影響。圖7a和圖8a所示為不同SOC初值條件下，算法對SOC值的估計結果。由圖7b可以看到，雖然二階EKF在估計SOC值初始階段所對應的誤差稍大于EKF的相應值，但隨著算法的運行，二階EKF誤差的收斂性要高于EKF，且更加接近于0。圖8b表明，二階EKF相較于EKF有著更快的收斂速度。結合圖7b和圖8b的SOC值估計誤差曲線可知，初始SOC值在算法估計的初始階段有較大的影響，但隨著算法的運行，初始值的影響逐漸減弱。在實驗過程中，為了獲取精確的初始SOC值，可以先將電池完全放電，再按照電池所要求的標準充電模式將電池充滿，然后進行后續的研究，以此來減小由于SOC初始值不精確所帶來的影響。

5 結論

擴展卡爾曼濾波EKF被廣泛應用于電池荷電狀態SOC值估計中，但在進行Taylor展開近似時，往往只進行一階近似，這會增大估計誤差。為此，本文采用二階Taylor展開，近似得到線性化模型來估計SOC值。同時采用樣條函數來表達SOC值和開路電壓OCV值的函數關系，并采用帶有可變遺忘因子的最小二乘法（VFFRLS）來在線識別等效電路模型參數。經過實驗驗證，得到以下結論：

（1）采用樣條函數來表示SOC值和OCV值函數關系比較合理，為后續參數識別和SOC值的估計提供精確開路電壓值。

（2）首先利用改進粒子群算法得到VFFRLS法的初始值，再采用VFFRLS法在線識別等效電路模型參數，識別得到的模型參數具有較高的準確性。

（3）兩個不同的數據集被用來證明二階EKF的普適性。實驗結果表明，二階EKF估計不同工況條件下的SOC值時，算法所對應的MAE值和RMSE值均小于EKF的相應值，由此證明了本文方法的有效性。

參考文獻：

［1］ ZHOU R， ZHU R， HUANG C G， et al. State of Health Estimation for Fast-charging Lithium-ion Battery Based on Incremental Capacity Analysis［J］. Journal of Energy Storage， 2022， 51：104560.

［2］ YANG J， CAI Y， MI C. Lithium-ion Battery Capacity Estimation Based on Battery Surface Temperature Change under Constant-current Charge Scenario［J］. Energy， 2022， 241：122879.

［3］ SHEN J， MA W， XIONG J， et al. Alternative Combined Co-estimation of State of Charge and Capacity for Lithium-ion Batteries in Wide Temperature Scope［J］. Energy， 2022， 244：123236.

［4］ OUYANG T， XU P， CHEN J， et al. Improved Parameters Identification and State of Charge Estimation for Lithium-ion Battery with Real-time Optimal Forgetting Factor［J］. Electrochimica Acta， 2020， 353：136576.

［5］ XING Y， HE W， PECHT M， et al. State of Charge Estimation of Lithium-ion Batteries Using the Open-circuit Voltage at Various Ambient Temperatures［J］. Applied Energy， 2014， 113：106-115.

［6］ MOHAMMADI F. Lithium-ion Battery State-of-Charge Estimation Based on an Improved Coulomb-Counting Algorithm and Uncertainty Evaluation［J］. Journal of Energy Storage， 2022， 48：104061.

［7］ HU C， MA L， GUO S， et al. Deep Learning Enabled State-of-charge Estimation of LiFePO4 Batteries：a Systematic Validation on State-of-the-art Charging Protocols［J］. Energy， 2022， 246：123404.

［8］ JIN Y， ZHAO W， LI Z， et al. SOC Estimation of Lithium-ion Battery Considering the Influence of Discharge Rate［J］. Energy Reports， 2021， 7：1436-1446.

［9］ WANG D， ZHANG Q， HUANG H， et al. An Electrochemical-thermal Model of Lithium-ion Battery and State of Health Estimation［J］. Journal of Energy Storage， 2022， 47：103528.

［10］ YE M， GUO H， CAO B. A Model-based Adaptive State of Charge Estimator for a Lithium-ion Battery Using an Improved Adaptive Particle Filter［J］. Applied Energy， 2017， 190：740-748.

［11］ XIONG R， YU Q， WANG L， et al. A Novel Method to Obtain the Open Circuit Voltage for the State of Charge of Lithium-ion Batteries in Electric Vehicles by Using H infinity Filter［J］. Applied Energy， 2017， 207：346-353.

［12］ 李偉， 劉偉嵬， 鄧業林. 基于擴展卡爾曼濾波的鋰離子電池荷電狀態估計［J］. 中國機械工程， 2020， 31（3）：321-327.

LI Wei， LIU Weiwei， DENG Yelin. SOC Estimation for Lithium-ion Batteries Based on EKF［J］. China Mechanical Engineering， 2020， 31（3）：321-327.

［13］ LI X， WANG Z， ZHANG L. Co-estimation of Capacity and State-of-charge for Lithium-ion Batteries in Electric Vehicles［J］. Energy， 2019， 174：33-44.

［14］ SHI N， CHEN Z， NIU M， et al. State-of-charge Estimation for the Lithium-ion Battery Based on Adaptive Extended Kalman Filter Using Improved Parameter Identification［J］. Journal of Energy Storage， 2022， 45：103518.

［15］ SUN D， YU X， WANG C， et al. State of Charge Estimation for Lithium-ion Battery Based on an Intelligent Adaptive Extended Kalman Filter with Improved Noise Estimator［J］. Energy， 2021， 214：119025.

［16］ FU S， LIU W， LUO W， et al. State of Charge Estimation of Lithium-ion Phosphate Battery Based on Weighted Multi-innovation Cubature KalmanFilter［J］. Journal of Energy Storage， 2022， 50：104175.

［17］ JI Y， QIU S， LI G. Simulation of Second-order RC Equivalent Circuit Model of Lithium Battery Based on Variable Resistance and Capacitance［J］. Journal of Central South University， 2020， 27（9）：2606-2613.

［18］ SUN F， XIONG R. A Novel Dual-scale Cell State-of-charge Estimation Approach for Series-connected Battery Pack Used in Electric Vehicles［J］. Journal of Power Sources， 2015， 274：582-594.

［19］ LIU W， PLACKE T， CHAU K T. Overview of Batteries and Battery Management for Electric Vehicles［J］. Energy Reports， 2022， 8：4058-4084.

［20］ 劉征宇， 黎盼春， 朱誠誠， 等. 基于組合模型的鋰電池參數辨識和電池荷電狀態在線聯合估計［J］. 中國機械工程， 2020， 31（10）：1162-1168.

LIU Zhengyu， LI Panchun， ZHU Chengcheng， et al. Lithium Battery Parameter Identification and SOC Online Joint Estimation Based on Combined Model［J］. China Mechanical Engineering， 2020， 31（10）：1162-1168.

［21］ LIU Y， HUANG Z， WU Y， et al. An Online Hybrid Estimation Method for Core Temperature of Lithium-ion Battery with Model Noise Compensation［J］. Applied Energy， 2022， 327：120037.

［22］ 董文永， 康嵐蘭， 劉宇航， 等. 帶自適應精英擾動及慣性權重的反向粒子群優化算法［J］. 通信學報， 2016， 37（12）：1-10.

DONG Wenyong， KANG Lanlan， LIU Yuhang， et al. Opposition-based Particle Swarm Optimizationwith Adaptive Elite Mutation and Nonlinear Inertia Weight［J］. Joumal on Communications， 2016， 37（12）：1-10.

［23］ TIAN Y， LAI R， LI X， et al. A Combined Method for State-of-charge Estimation for Lithium-ion Batteries Using a Long Short-term Memory Network and an Adaptive Cubature Kalman Filter［J］. Applied Energy， 2020， 265：114789.

［24］ XU Z， WANG J， LUND P D， et al. Co-estimating the State of Charge and Health of Lithium Batteries through Combining a Minimalist Electrochemical Model and an Equivalent Circuit Model［J］. Energy， 2022， 240：122815.

［25］ WU D， ZHANG T， ZHONG Y， et al. Analytical Shaping Method for Low-thrust Rendezvous Trajectory Using Cubic Spline Functions［J］. Acta Astronautica， 2022， 193：511-520.