基于“三位一體”模式實變函數課程教學探索

[摘 要]基于教學－科研－思政三位一體的教育理念，高等院校針對實變函數教學課程進行了一系列的改革措施。文章以學生的思維發展為中心，采用比較式教學法、案例式教學法，利用思維導圖、專題教案、思政案例集、慕課網絡教學平臺等工具幫助學生提高學習認知能力、掌握科學思維能力，增強勇攀科學高峰的理想信念。

[關鍵詞]高效輸入；高效輸出；案例式教學；思政元素

黨的十八大以來，以習近平同志為核心的黨中央堅持實施創新驅動發展戰略，要求以改革創新精神推動高等教育發展，培養更多服務國家奉獻社會的優秀人才。基礎研究特別是基礎數學是發現重大科學技術必不可少的工具。因而如何將教學、科研與思政有機融合在課堂上，是新時代下每一位基礎數學專業老師必須思考的問題。

實變函數課程內容抽象、邏輯嚴謹、理論性強、證明方法具有巧妙的構造性，是培養學生數學素養和科研能力的理想課程。學生有了良好的數學素養和科研能力，一方面可以為研究生階段課程的學習打下堅實基礎，為人工智能、量子物理等交叉學科的應用提供保障[1]；另一方面，也是貫徹習近平總書記提出的高校應培養應用型和創新復合型人才的指示所必不可少的條件。

高校不僅要培養創新拔尖人才，也要引領學生思考有意義的人生、有價值的事業，這也是一項重中之重的工作。而課堂教學是鑄魂育人的主渠道，是落實立德樹人的主戰場。因而在實變函數教學中，教師要深入挖掘思政元素，讓思政切實落地生根，著力培養能擔當民族復興大任的時代新人。綜上所述，本論文主要探索如何在實變函數課程中做到教學－科研－思政三位一體，立足知行合一，建立知識育人、思政育人、科研育人體系。

一、實變函數課程教學現狀

在高等院校理科、工科、管科等專業教學中，實變函數是一門非常重要的數學基礎課程，作為一種在數學學習中使用的工具，其對提高高校學生的邏輯能力、思維能力和空間運算能力有很大幫助。在經濟發展步入新常態的背景下，實變函數在金融、經濟和信息等領域得到了越來越多的應用[2]。當前，由于受到傳統教育模式的制約，該領域的學習側重于知識信息的傳授，而忽視了對該理論背后思想和意義的學習。在課時少、抽象難懂的實變函數教學中，如何能改進教學方法，提升學生的學習興趣，讓學生更容易地對自己所學到的知識進行吸收，同時還可以利用它來解決現實生活中的問題就顯得十分重要了。

結合高校實際教學情況，每個數學專業的本科生都受過實變函數的“傷害”，大家經常戲稱“實變函數學十遍”才能掌握精髓。以南京工業職業技術大學為例結合多年的教學實踐，實變函數課程教學中存在的主要問題為：1.實變函數課程抽象性高，理論性強，幾乎都是概念和定理的證明，證明推導中的每一步又需要反復思考琢磨才能理解，耗時耗力，不受學生“待見”；2.實變函數的一些理論往往顛覆了學生認為顯然的事情，讓學生感覺不實用，如偶數集全體與正整數集全體元素個數一樣多；3.學生前期所學數學分析知識不是特別牢固，辯證思維能力不是很強，前幾課時所講的內點聚點開集閉集知識點，包含了大量的邏輯證明，很容易讓學生喪失學習的興趣和信心，更別提在課堂上融入思政元素了；4.由于高校課程改革的不斷深入以及通識教育的逐步開展，實變函數課程學時縮減，在保證課時完整性的同時幾乎難以在課堂中開展思政教育，培養學生的創新思維，激發學生對基礎數學研究的興趣。

二、實變函數課程教學改革措施

基于教學－科研－思政三位一體的教育理念，南京工業職業技術大學從課程實際教學改革設計出發，依據多年的教學經驗、教學反思及學生的教學反饋，在教學內容、教學方法、例題設計、考核方式和教師引導等方面進行了改革，形成了一套完整的實變函數教學體系，學生反饋效果不錯。

（一）依據學生認知能力和教學目標，重構知識體系，編寫專題教案

南京工業職業技術大學在大三上學期開設實變函數課程，此時大部分學生的重心放在考研復習上，而實變函數課程跟考研專業課數學分析的很多知識框架是相似的。例如，逐點收斂和一致收斂是數學分析課程的主要內容，但該課程并沒有深刻闡釋兩者之間的關系，而實變函數課程中的葉果羅夫定理就詳細介紹了如何通過微創手術把逐點收斂轉化為一致收斂；在講勒貝格積分的性質時，也可以與定積分重積分的性質進行比較。通過這種學科之間的比較，一方面可以激發學生的學習興趣，另一方面可以讓學生對理論知識有一個直觀而深刻的認識，加強理解。教師將這類知識點進行專題匯總，并繪制了思維導圖使這類知識可視化，促進學生認知加工，同時配備了填空題、選擇題和判斷題，通過這種簡單的題型，進一步加深學生對知識的理解[3]。該專題開展的目的是通過“比較”教學法使學生逐步培養自主進行知識遷移的能力，同時產生創造性想法。

除了對可以進行學科比較的知識制作了專題，依據知識的難易程度和重點程度，對于較簡單但繁雜的概念性知識、證明方法邏輯性較強的知識、可以恰當融入思政元素的知識等編寫專題教案。對于不同的專題教案配備了思維導圖、課堂練習和課下習題、考研復試真題、名師課堂視頻等資料，同時將這些內容上傳至學校的Mooc課網絡教學平臺，供學生的不同學習需求。

（二）高效輸入，高效輸出

一門課程想要取得好的教學效果，關鍵在于授課教師的“高效輸入”。只有教師“會講課”，能夠攫取學生的注意力、通過類比的方式幫助學生思考、利用可視化原則和方法幫助學生提高認知，學生才能“高效輸出”。因而任課教師應不斷學習新的教學方法和手段，探索以學生思維發展為中心的教學方式，盡力提高學生的認知能力和思維能力。

在授課過程中，改進知識講解方法。利用類比/生活化的比喻，幫助學生理解概念及相關性質。例如，在講解勒貝格積分的定義時，將積分值比喻為“一塊布的面積”，抽掉這塊布的幾根線，并不影響布的面積，因而有有限個間斷點的函數是黎曼可積的。如果抽掉無限但可數條線，這塊布就不是一塊布了，因而有無限多間斷點的函數是非黎曼可積的。這就局限了可積函數類。為此，授課中可引入勒貝格積分，使得抽掉無限但可數條線的布“仍有價值”，這個價值怎么去度量呢，這就是課程中第三章需要引入測度的原因。這樣講解，不僅讓學生從幾何直觀感受上理解勒貝格積分的定義，更能激發學生學習測度、可測函數等知識的好奇心和強烈興趣。盡可能將部分知識點以案例的形式講解，讓學生先建立感知，然后再抽象出理論[4]。再如，講解可數集的定義及性質時，引入“Hilbert”旅館問題，讓學生安排顧客的住宿問題，分析出現的問題及困難，討論解決方案，總結此方案合適的原因。

不同于高中時代的教學方式，大學數學教育一定要注重學生數學素養的培養，要以學生為中心，教師做到高效輸入的同時，務必保證學生的高效輸出才是關鍵。為此，每次課后都要求學生畫知識總結或對比圖表（要求明確本節課的目標，達成目標所需解決的問題，每個問題的解決方案）。學生在畫思維導圖的過程中，會自己總結對知識點概念的理解程度，思考知識點之間的聯系。通過訓練學生用圖示的方法來輸出知識點，實現將隱形思維提取并顯性化，在大腦里形成穩固的圖式。有了穩定的圖式，學生就可以將知識點聯系起來，并實現融會貫通和靈活使用。

教學改革中，任課教師可以搜集不同高校的考研復試題目，并將題目進行歸類，課堂講解一兩道題，剩下同一類型的題目交給學生以小組形式匯報。將認知模型與知識點有機結合起來，讓學生清楚這些知識點在具體場景是解決什么問題的，這樣才能讓學生把知識點學活，學以致用。例如，在實變函數課程中，設計幾個簡單的項目（如勒貝格積分在概率問題中的應用），讓學生做項目匯報[5]。題目講解和項目匯報是更高級別的輸出，是實變函數知識應用能力、思維領悟能力、PPT制作能力、語言表達能力、團隊溝通協助能力、吃苦耐勞精益求精等各種能力的綜合體現。

在教學過程中，依據學生的反饋，任課教師不斷評價反思改進自己的教學方法、教學手段，考核方式等，進行“高效輸入、高效輸出”，逐步加強對學生科學思維方法的訓練，培養學生探索未知、追求真理、勇攀高峰的責任感和使命感。

（三）挖掘數學思想，融科研于教學中

在數學專業課的教學中，重點不是教學生更多的方法，而是提煉出為數不多的思想和技巧，這些思想和技巧又具有很強的通用性覆蓋了數學的廣泛領域。在實變函數理論中，“里斯定理”“勒貝格控制收斂定理”“對角線方法”等作為核心技術貫穿了數學物理方程、廣義函數、高等概率論等課程。學生掌握了這些關鍵的想法和技巧，就可以順利進入研究生階段。為此，在教學實踐中采用“案例式”教學，挖掘知識背后的主要思想和方法，然后給出一個利用該思想與方法解決實際問題的案例。事實上，實變函數理論中的可測函數、勒貝格積分在工程中應用廣泛。工程中的很多函數性質較差，如狄拉克函數、狄利克雷函數等，因而所求的解只需廣義解即可，而實變函數就為其提供了解的框架。在教學中，將自己所研究的輸運方程適當引入到勒貝格積分教學中，讓學生體驗從具體到抽象、再到應用科研的過程，提高學生的學習積極性和主動性，樹立正確的科學研究態度。

（四）有機融入科學史，讓思政生根發芽

如何在實變函數課堂上恰當的融入思政元素，也是課程組老師一直思考的問題。為此在授課過程中可以從科學家的故事、科學的發展史、科學家的吃苦耐勞、愛國奉獻精神以及一些定理所揭示的生活啟示出發，編寫思政案例集。由于講授這門課程的學期，學生正處于是否考研，能否考上，選取什么學校的迷茫糾結狀態。因而更容易把數學家的故事講得出彩動人，例如，歐拉在后天失明的艱難處境下，依然取得了非凡的成就，讓學生們逐步建立情感共鳴和理念認同，堅定考研目標，深入學習基礎學科的信念[6]。筆者也是通過考研道路不斷提升自己各方面能力，因此在授課過程中結合教學內容和自身成長經歷，激勵學生在焦慮中慢慢樹立信心，堅定前進的步伐。同時，通過實變函數中某些知識點在實際生活或者物理工程領域的應用，比如，“Hilbert旅館問題”，激發學生對數學知識的探索，鼓勵學生追求真理，勇攀科學高峰。

（五）運用慕課，微課等教學平臺開展線上線下交互式教學

伴隨著現代科技的發展，網絡上也出現了慕課、微課等在線教育方式，老師能夠獲得的教學資源日益豐富。由教育部主辦的“數學微課教學設計大賽”就是一個寶貴的資源平臺，匯集了國內優秀數學老師創作的寶貴微課視頻，這些微課視頻是教學內容與信息技術相融合，進行創新性發展的杰出結果。在教授實變函數時，老師可以讓學生按照教材上的知識點觀看微課，來獲得新的知識，并做好隨堂筆記，在線提交作業，然后進行課后的測試，再由老師詳細地對所學的重點和難點進行說明，進一步地加深和擴展所學的內容。慕課對傳統的教育方式進行了變革，給工科、理科、管科等高校的教育工作提出了新的機會和挑戰，不管是實變函數，還是高等數學，都具有很強的邏輯性和很強的前后關聯性，唯有將線上和線下教育有機地結合起來，開展交互的教育方式，方可獲得良好的教育效果。利用慕課、微課開展教育，讓學生不再只是在課堂上被動地聆聽老師的講解，獲得新知識，讓他們可以主動地接受新知識，而且還可以積極地參加到數學教學的研究中，這對提升他們的自主學習能力起了很大的作用，同時，教師還可以以他們的學習狀況為依據，在線上和線下對他們進行解答，幫助他們解答問題。

結束語

三位一體教學模式的建立是一個龐大而艱巨的任務，在新工科理念下，本文對突變函數教學改革進行了一些初步的探討，但是該課程仍然存在著許多亟待解決的問題，這些問題都會對教學質量產生很大的影響。在三位一體教學模式大環境下，開展實變函數課程改革，還有待于廣大教育工作者結合實際進行可持續的推進與實施。

參考文獻

[1]程鳳林，崔紅芳，李偉達等.高校教學競賽驅動下的“教師-學生-課程”三位一體守正出新模式[J].科技資訊，2023，21（09）：119-122.

[2]鄭燕芳.應用型本科高校“三位一體”課程思政教學模式研究——以“古代漢語”為例[J].文教資料，2023（07）：71-75.

[3]郭永興，曉榮，李娟等.大數據背景下高校思政課構建“三位一體”教學模式研究[J].集寧師范學院學報，2023，45（02）：50-54.

[4]葉世斌，湯慶亮，藍振松.地方高校思想政治理論課“三位一體”專題教學模式探索[J].科學咨詢（教育科研），2023（03）：143-145.

[5]韋慧民，容楚楚，潘清泉.高校組織行為學課程“導、學、研”三位一體教學模式研究[J].柳州職業技術學院學報，2023，23（01）：91-96.

[6]馬麗，郭學良，魏廣香，等.地方高校生物科學師范專業“三位一體”實踐教學模式探討——以商丘師范學院為例[J].現代園藝，2022，45（23）：190-192.

作者簡介：高崚嶒（1973— ），男，漢族，安徽望江人，南京工業職業技術大學公共基礎課部，副教授，碩士。

研究方向：數學的教學與研究、項目管理。