初中數學含參不等式（組）有解無解問題專題題型突破

李燕

在進行初中含參不等式（組）有解無解問題的數學教學過程中，教師一般采用數形結合思想進行講解，方便學生理解，但是還是有學生無法正確判斷參數的臨界值是否取等，為了解決這個問題我校數學組總結出以下以下口訣：“無解有等，雙等例外；有解無等，雙等例外；解集有等則無等，解集無等則有等，雙等都取等。”具體應用分析總結如下。

類型一：已知不等式（組）的解的特殊情況，求字母系數的取值范圍

（一）已知不等式（組）無解，求字母系數的取值范圍

1.若不等式[x-1>1x

分析：由x-1>1得x>2

又∵x

所以m≤2

2.若關于x的不等式組[2x+1a]無解，則實數a的取值范圍是 ? ?。

分析：由2x+1

又∵x>a且該不等式組無解

所以a≥-4

3.若關于x的不等式組[x-23≥1x-5>2x-a]無解，那么a的取值范圍是 ? ? 。

分析：由[x-23≥1]得x≥5

由x-5>2（x-a）得x<2a-5

∵該不等式組無解

∴2a-5≤5

∴a≤5

4.已知關于x 的不等式組[16-3x≥1x-a≥0]? 無解，則a 的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：由[16-3x≥1]得x≤5

由x-a≥0得x≥a

∵該不等式組無解

∴a>5

總結：出題者考不等式組無解含參的題型，只會利用不等式組無解中“大大小小找不了”的口訣進行出題。

參數的臨界值是否取等口訣：無解有等，雙等例外。這個結論老師們可以在最后總結的時候教師可以先引導學生們觀察、歸納，再總結。

（二）已知不等式（組）有解，求字母系數的取值范圍

這個利用的是不等式組有解中“大小小大中間找”的口訣來出題（解題）；如果是利用“兩大取其大、兩小取其小”來出題，則無法判定端點值的大小，會存在不確定性，一般不會出這種有解題型。主要題型如下。

1.若關于x的一元一次不等式組[x-a>02x-2<1-x]有解，則a的取值范圍是 ? ? ? ? 。

分析：由x-a>0得x>a

由2x-2<1-x得x<1

∵該不等式組有解

∴a<1

2.已知關于x 的不等式組[16-3x≥1x-a>0]? 有解，則a 的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：由16-3x≥1得x≤5

由x-a>0得x>a

∵該不等式組有解

∴a<5

3.若不等式組[x+a≥01-2x≥x-2]? 有解，則a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：由x+a≥0得x≥-a

由[1-2x≥x-2]得x≤1

∵該不等式組有解

∴-a≤1

∴a≥-1

總結：出題者考不等式組有解含參的題型，只會利用不等式組有解中“大小小大中間找”的口訣進行出題。

參數的臨界值是否取等口訣：有解無等，雙等例外。

類型二：已知不等式（組）的解集，求字母系數的取值或取值范圍

（一）已知不等式（組）的解集，求字母系數的取值范圍

1.若關于x的一元一次不等式組[x-a≥02x+1>3]的解集為x≥a，則a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：由x-a≥0得x≥a

由2x+1>3得x>1

∵該不等式組的解集為x≥a

∴a>1

利用口訣：兩大取其大，解集有等則無等。

2.若關于x的一元一次不等式組[x-1>02x-a>0]的解集是x＞1，則a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：由x-1>0得x>1

由2x-a>0得x>[a2]

∵該不等式組的解集為x>1

∴[a2]≤1

∴a≤2

利用口訣：兩大取其大，解集無等則有等。

3.如果不等式組[x<3a+2x

分析：由題意知：a-4≤3a+2

∴a≥-3

利用口訣：兩小取其小，解集無等則有等。

4.若關于x的一元一次不等式組[x-a≥0，2x+1≥3]的解集為x≥1，則a的取值范圍是 。

分析：由x-a≥0得x≥a

由2x+1>3得x≥1

∵該不等式組的解集為x≥1

∴a≤1

利用口訣：兩大取其大，雙等都取等。

總結：已知不等式（組）的解集，求字母系數的取值范圍這種題型主要包含“兩大取其大，兩小取其小”兩種，參數的臨界值是否取等口訣：解集有等則無等，解集無等則有等，雙等都取等。

5.若關于x的一元一次不等式組[x<-3，x>a]的解集為a

利用口訣：大小小大中間找，有解無等，雙等例外。易知a<-3。

變式（1）：若關于x的一元一次不等式組[x<-3，x≥a]的解集為a≤x<-3，則a的取值范圍是 。

利用口訣：大小小大中間找，有解無等，雙等例外。易知a<-3。

變式（2）：若關于x的一元一次不等式組[x≤-3，x>a]的解集為a

利用口訣：大小小大中間找，有解無等，雙等例外。易知a<-3。

變式（3）：若關于x的一元一次不等式組[x≤-3，x≥a]的解集為a≤x≤-3，則a的取值范圍是 ?。

利用口訣：大小小大中間找，有解無等，雙等例外。易知a≤-3。

總結：已知不等式（組）的解集，求字母系數的取值范圍中出題者利用不等式組有解中“大小小大中間找”的口訣進行出題，這類題型類似不等式組有解含參的題型，則參數的臨界值是否取等口訣：有解無等，雙等例外。

（二）已知不等式（組）的解集，求字母系數的取值

6.若不等式組[x-a>2，b-2x>0]的解集是-1

分析：由[x-a>2]得x>a+2

由b-2x>0得x<[b2]

∵該不等式組的解集為-1

∴a+2=-1，[b2] =1

∴a=-3，b=2

∴（a+b）2023 =-1

總結：已知不等式（組）的解集，求字母系數的取值中出題者利用不等式組有解中“大小小大中間找”的口訣進行出題，可直接利用“大小小大中間找”的口訣對應找到臨界值建立方程（組），從而解出參數。