高考數(shù)學解題技巧（方法類）之填空題的解題策略

代云菊

一、題型與方法介紹

數(shù)學填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數(shù)學中的三種?？碱}型之一，填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題。這說明了填空題是數(shù)學高考命題改革的試驗田，創(chuàng)新型的填空題將會不斷出現(xiàn)。因此，我們在備考時，既要關注這一新動向，又要做好技能準備。解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整。合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準確地解答填空題的基本要求。

數(shù)學填空題，絕大多數(shù)是計算型（尤其是推理計算型）和概念（性質(zhì)）判斷型的試題，應答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準”“巧”“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)行結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法等。

二、方法技巧

（一）直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結(jié)果。

例1 設[a=（m+1）i-3i，b=i+（m-1）j，]其中i，j為互相垂直的單位向量，又[（a+b）⊥（a-b）]，則實數(shù)m =? ? ? ? ? ? ? 。

解：[a+b=（m+2）i+（m-4）j，a-b=mi-（m+2）j.]∵[（a+b）⊥（a-b）]，∴[（a+b）?（a-b）=0]∴[m （m+2）j2+[ - （m+2）2+m （m-4）]i?j-（m+2）（m-4）j2=0]，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得[m（m+2）-（m+2）（m-4）=0，]∴[m=-2]。

例2 已知函數(shù)[f（x）=ax+1x+2]在區(qū)間[（-2，+∞）]上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是。

解：[f（x）=ax+1x+2=a+1-2ax+2]，由復合函數(shù)的增減性可知，[g（x）=1-2ax+2]在[（-2，+∞）]上為增函數(shù)，∴[1-2a<0]，∴[a>12]。

例3 現(xiàn)時盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部13場足球比賽，每場比賽有3種結(jié)果：勝、平、負，13長比賽全部猜中的為特等獎，僅猜中12場為一等獎，其它不設獎，則某人獲得特等獎的概率為。

解：由題設，此人猜中某一場的概率為[13]，且猜中每場比賽結(jié)果的事件為相互獨立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎的概率為[1313]。

（二）特殊化法

當填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。

例4 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若a、b、c成等差數(shù)列，則[cosA+cosC1+cosAcosC=]。

解：特殊化：令[a=3，b=4，c=5]，則△ABC為直角三角形，[cosA=35，cosC=0]，從而所求值為[35]。

例5 過拋物線[y=ax2（a>0）]的焦點F作一直線交拋物線交于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則[1p+1q=]。

分析：此拋物線開口向上，過焦點且斜率為k的直線與拋物線均有兩個交點P、Q，當k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進行求解，而不失一般性。

解：設k=0，因拋物線焦點坐標為[（0，14a），]把直線方程[y=14a]代入拋物線方程得[x±12a]，∴[|PF|=|FQ|=12a]，從而[1p+1q=4a]。

例6? 求值[cos2a+cos2（a+120°）+cos2（a+240°）=]

。

分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令[a=0°]，得結(jié)果為[32]。

（三）數(shù)形結(jié)合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果。

例7? ?如果不等式[4x-x2>（a-1）x]的解集為A，且[A?{x|0

解：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)[y=4x-x2]和函數(shù)[y=（a-1）x]的圖象（如圖），從圖上容易得出實數(shù)a的取值范圍是[a∈2，+∞]。

[y][x][0][2][4]

例8 已知實數(shù)x、y滿足[（x-3）2+y2=3]，則[yx-1]的最大值是? ? ? ? ? ? ? ?。

解：[yx-1]可看作是過點P（x，y）與M（1，0）的直線的斜率，其中點P的圓[（x-3）2+y2=3]上，如圖，當直線處于圖中切線位置時，斜率[yx-1]最大，最大值為[tanθ=3]。

（四）等價轉(zhuǎn)化法

通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果。

例9 不等式[x>ax+32]的解集為（4，b），則a=? ? ? ? ? ? ? ，b=? ? ? ? ? ? ? ? 。

解：設[x=t]，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：[at2-t+32<0，]∴a > 0，且2與[b（b>4）]是方程[at2-t+32=0]的兩根，由此可得：[a=18， b=36]。

例10 不論k為何實數(shù)，直線[y=kx+1]與曲線[x2+y2-2ax+a2-2a-4=0]恒有交點，則實數(shù)a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? 。

解：題設條件等價于點（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價于點（0，1）到圓[（x-a）2+y2=2a+4]，∴[-1≤a≤3]。

例11 函數(shù)[y=4x-1+23-x]單調(diào)遞減區(qū)間為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解：易知[x∈[14，3] ， y>0.]∵y與y2有相同的單調(diào)區(qū)間，而[y2=11+4-4x2+13x-3]，∴可得結(jié)果為[138，3] 。

總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準確地解數(shù)學填空題的關鍵。

【鞏固練習】

1.已知函數(shù)[fx=x+1]，則[f-13=_______。]

【解析】由[3=x+1]，得[f-13=x=4]，應填4。

請思考：為什么不必求[f-1x]呢？

2.集合[M=x-1≤log1x10<-12， x∈N]的真子集的個數(shù)是[______。]

【解析】[M? =? ? x? ? 1? ≤? lg? x?

快速解答此題需要記住小結(jié)論；對于含有n個元素的有限集合，其真子集的個數(shù)是[2n-1。]

3.若函數(shù)[y=x2+a-2x+3， x∈a，b]的圖象關于直線[x=1]對稱，則[b=______。]

【解析】由已知拋物線的對稱軸為[x=-a+22]，得 [a=-4]，而[a+b2=1]，有[b=6]，故應填6。

4.如果函數(shù)[fx=x21+x2]，那么[f1+f2+f12+f3+f13+f4+f14=_______。]

【解析】容易發(fā)現(xiàn)[ft+f1t=1]，這就是我們找出的有用的規(guī)律，于是原式＝[f1+3=72]，應填[72。]

5. 已知點P [tanα，cosα]在第三象限，則角[α]的終邊在第象限。

【解析】由已知得 [tanα<0，cosα<0，?sinα>0，cosα<0，]

從而角[α]的終邊在第二象限，故應填二。

6.不等式[lg202cosx≥1]（[x∈0，π]）的解集為 。

【解析】注意到[lg20>1]，于是原不等式可變形為[2cosx≥0?cosx≥0。]

而[0

7.如果函數(shù)[y=sin2x+acos2x]的圖象關于直線[x=-π8]對稱，那么[a=_______。]

【解析】[y=1+a2sin2+?]，其中[tan?=a]。

[∵ ][x=-π8]是已知函數(shù)的對稱軸，[∴2-π8+?=kπ+π2]，即[?=kπ+3π4，k∈Z]，于是 [a=tan?=tankπ+3π4=-1。]故應填 [-1]。

在解題的過程中，我們用到如下小結(jié)論：函數(shù)[y=Asinωx+?]和[y=Acosωx+?]的圖象關于過最值點且垂直于x軸的直線分別成軸對稱圖形。

8. [x2+1x-27]的展開式中[x3]的系數(shù)是[__________。]

【解析】由[x2+1x-27=x2x-27+x-27]知，所求系數(shù)應為[x-27]的x項的系數(shù)與[x3]項的系數(shù)的和，即有[C67-26+C47-24=1008，]故應填1008。

9. 過長方體一個頂點的三條棱長為3、4、5， 且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是________。

【解析】長方體的對角線就是外接球的直徑[2R]， 即有[2R2=4R2=32+42+52=50，]從而[S球=4πR2=50π]，故應填[50π。]

10.? 若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是 （只需寫出一個可能的值）。

【解析】本題是一道很好的開放題，解題的開竅點是：每個面的三條棱是怎樣構(gòu)造的，依據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊”，就可否定｛1，1，2｝，從而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三種形態(tài)，再由這三類面構(gòu)造滿足題設條件的四面體，最后計算出這三個四面體的體積分別為： [116]，[1112] ，[1412]，故應填[116]、[1112] 、[1412] 中的一個即可。

11. 如下圖，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是 。（要求：把可能的圖的序號都填上）

【解析】因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影。

四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如圖2所示；

四邊形BFD1E在該正方體對角面的ABC1D1內(nèi)，它在面ADD1A1上的射影顯然是一條線段，如圖3所示，故應填23。

12.直線[y=x-1]被拋物線[y2=4x]截得線段的中點坐標是___________.

【解析】由[y=x-1，y2=4x]消去y，化簡得[x2-6x+1=0，]

設此方程二根為[x1，x2]，所截線段的中點坐標為[x0，y0]，則[x0=x1+x22=3，y0=x0-1=2。]

故應填 [3，2]。

13.橢圓[x29+y225=1]上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則當m取最大值時，點P的坐標是________。

【解析】記橢圓的二焦點為[F1，F(xiàn)2]，有[PF1+PF2=2a=10，]

則知? [m=PF1?PF2≤PF1+PF222=25。] 顯然當[PF1=PF2=5]，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25。

故應填[-3，0]或[3，0。]