生長數學視角下的高中數學概念教學案例研究

文/程玉林 蔡華遠

高中數學概念是學生學習數學知識、提升思維和學習能力的重要基礎。教師在高中數學概念教學中要明確生長數學對學生成長的重要意義，并在教學實踐中積極分析應用的具體方法，促進學生能力的發展。在生長數學視角下，教師要探索高中數學概念教學實施的具體策略。

一、解讀生長數學基本內涵

生長數學主要觀點包括：數學教學本身就是一種成長；數學教學應為學生的成長助力；數學教學要培植思維生長的種子；實踐上要讓學生學習具有生長力的數學[1]。生長數學注重在數學教學中發揮知識的生長功能，促進學生的成長。生長數學一方面是從學生角度出發，尊重學生的生長規律，讓學生通過知識的學習實現綜合素質的全面成長。生長數學能幫助學生發現問題，并通過引導學生觀察、思考、分析以及解決問題來培養學生的思考能力，促進學生思維能力的發展。在問題的探究過程中，學生可以通過自主以及合作學習實現學習能力的發展[2]。生長數學是一個完整的學習過程。從學生獲取知識到運用知識，這是學生將知識內化的過程，也是學生數學學科核心素養生長的過程。生長數學的另一方面是從數學學科角度出發，將生長數學理念應用于課堂教學中。教師需要秉承生長的理念，在數學課堂上給學生提供機會，讓學生對數學問題進行思考和探究，為學生提供開展深度學習的外部環境，助力學生成長。在生長數學理念下，數學教學的目的在于遵循學生的成長規律，為學生的內生長提供強有力的助力。

二、生長數學在高中數學概念教學中的應用意義

（一）創新數學教學理念

當前，部分教師在緊張的高中數學教學中常常會忽略概念教學的重要性，將更多的時間和精力放在了提升學生的成績上，這主要是受應試教育理念的影響。在應試教育理念下，高中數學概念教學很難發揮對學生的促進作用，而生長數學在高中數學概念教學中的應用則能夠給教師的教學活動帶來新的思考。教師需要轉變傳統的應試理念，創新以“生長”為課堂目標的教學理念。這樣教師能夠深刻認識到概念教學的重要性，從而構建“生長環境”，探索促進學生生長的具體策略。因此，生長數學在高中數學概念教學中的應用，能夠創新數學教學理念，推進生長理念的應用。

（二）深化學生的概念理解

教師在概念教學中通常不會花太多的時間進行深入講解，這就導致學生對一些概念的理解并不深刻。生長數學在高中數學概念教學中的應用則是鼓勵學生通過不同的角度和層次來全面理解相應概念[3]。在生長數學理念下，學生對概念的理解不是通過教師的講解和演示，而是通過自主學習或者合作探究的形式獲得。不同的學生看待問題的角度各不相同，學生在互相交流和溝通中會更全面地思考問題，更深入地理解概念，從而實現全面成長。由此可見，生長數學在高中概念教學中的應用能夠深化學生對概念的理解。

（三）推進學生的深度學習

當前，培養學生數學學科核心素養是高中數學教學的核心任務。學生核心素養的形成離不開對數學的深度學習。數學概念是學生探索數學知識體系的基礎，也是學生開展深度學習的基礎。學生在明確概念的基礎上，才能更高效地展開深度學習。生長數學在高中數學概念教學中的應用能讓學生在概念的學習中達到思維生長、能力生長、品格生長及素養生長等目標。學生的這些綜合素養的生長能夠遷移到對數學知識體系的構建中，使學生延續良好的思維和學習方式，對數學知識進行全面深入的探究。生長數學在高中數學概念教學中的應用能為學生的深度學習積聚內在能力，從而推進學生的數學深度學習。

三、生長數學視角下高中數學概念教學案例分析

（一）創設情境，激發學生對概念學習的探索欲

高中數學教師在概念教學中通常是對概念進行逐字逐句的講解，然后讓學生進行課堂練習鞏固所學。在這種教學形式下，學生感受不到學習概念的意義，也難以產生探索欲。在生長數學教學理念下，教師要通過創設相應的教學情境，激發學生對概念的探索欲，引導學生主動探索數學概念。以人教A 版高中數學必修第一冊“二次函數與一元二次方程、不等式”中一元二次不等式的概念教學為例，一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0（其中a、b、c均為常數，且a≠0）。為了激發學生主動學習的欲望，教師可以通過情境激活課堂，為學生的學習生長營造良好的氛圍。教師可以在課堂上創設以下生活化的問題情境，利用多媒體出示兩輛汽車相撞的圖片并附帶文字說明：“在一個限速40km/h 的彎道上，甲車和乙車相向而行，當兩位司機意識到可能會相撞時同時剎車，最終還是相撞了。經過事后交警對現場的勘察，甲車的剎車距離超過了12 m，乙車的剎車距離超過了10 m，甲車的剎車距離S與車速x的關系為：S甲=0.1x+0.01x2，乙車的剎車距離S與車速x的關系為：S乙=0.05x+0.005x2，那么這場車禍應該判定為誰的責任？”。然后教師提出問題：“我們知道交通事故發生后，交警的責任就是通過勘察和判斷來判定責任方。請同學們思考，如果你是交警，你會怎樣依據已知信息判定責任呢？”

在這樣的生活化問題情境中，教師可以構建課堂知識與生活實際的聯系，增強課堂知識的趣味性和實用性。學生通過對事例進行深入的分析得出，兩輛車同時剎車但是剎車距離卻不相同，那么可能會存在超速的現象。接下來，學生要想探索是否存在超速，就需要對一元二次不等式展開深入的探究學習。這樣，教師能夠利用生活化的問題情境激發學生對一元二次不等式概念的探索欲。

（二）組織學生對特例進行思考，學習歸納概念

教師在生長數學理念的應用中，要引導學生對特例進行思考探究和分析，通過探索研究來歸納數學概念，從而實現學生思維的拓展。以人教A 版高中數學必修第二冊“隨機抽樣”的概念教學為例，教師可以組織學生通過探究進行特例的分析對比，然后歸納概念，加深學生對概念的理解。在課堂上，教師可以讓學生對隨機抽樣的概念進行思考和學習：“同學們，步入高中后學習壓力越來越大，此時身體健康就顯得更加重要。為了更好地了解同學們的健康狀況。學校決定抽查一下整個高一年級學生每周的體育鍛煉時長。那么今天就請同學們以小組合作的形式來幫忙制訂一個隨機抽樣的具體方案?！?/p>

在這樣的任務引導下，教師可以讓學生以小組合作的形式，共同進行隨機抽樣概念的探索學習，然后引導各小組展示和交流不同的抽樣方案。

小組1：“我們認為考慮到減少調研的工作量和調研數據的準確性，應該排除班級內的相互影響因素，以班級為單位，每個班級應選取班級人數的10%來填寫問卷。這樣既能減輕工作量，又能保證調研數據的準確性。”

小組2：“我們覺得既然要調查學生的體育鍛煉情況，就要考慮到每個班級中的特殊情況，比如：體育特長生。所以我們覺得應該把每個班級中的學生都按照體育能力劃分上、中、下三個層次，然后在每個班級的不同層次中抽取學生人數的10%進行調查，這樣的隨機抽查才更準確?！?/p>

......

師：“聽了同學們的方案，老師覺得每個小組都有各自的想法。剛才我們制訂了這么多隨機抽樣的方法，請同學們思考一下，到底什么是隨機抽樣呢？”

生1：“我覺得無論是從整個高一年級中直接選取特定的比例，還是將年級劃分為班級再從班級中抽取比例或者再對班級中學生進行細化分層抽取比例，本質都是從抽樣的總體中隨機抽取一定的樣本，樣本肯定是總體的子集。所以，我覺得從總體中隨機選出子集就叫作隨機抽樣。”

生2：“我覺得隨機抽樣應該是劃分類別的。從總體中隨機選取樣本這樣的抽樣方法是比較簡單的，應該叫簡單隨機抽樣。按照某種標準劃分層次，然后從每個層次中抽取同比例的樣本，應該叫分層隨機抽樣。”

......

通過不同學生對隨機抽樣方案的制訂，教師可以組織學生從不同的方案中思考分析共性，從而概括隨機抽樣的概念。這樣的教學方法不僅能夠讓學生通過思考進行特例的探究和分析，還能幫助學生在對比、歸納和總結中深入掌握概念的內涵，促進學生思維和學習能力的生長。

（三）在概念的實踐應用中積淀學生數學素養

高中數學概念教學的生長力主要體現在學生能夠運用所學概念來解決生活中的實際問題。在概念教學中，教師要組織學生對數學知識進行實踐應用，讓學生在概念的實踐應用探索中實現數學素養的生長。以人教A 版高中數學選擇性必修第一冊“直線和圓的方程”為例，教師可以引導學生運用圓的標準方程的概念[（x-a）2+（y-b）2=r2]解決實際生活問題，促進學生數學學科核心素養的成長。在課堂上，教師可以引導學生思考：“同學們，我們之前學習了圓的標準方程，那么通過對圓的標準方程概念的理解，你們覺得它能用來解決生活中的哪些問題呢？”

生1：“我覺得它能解決生活中很多跟圓形、半圓或者拱形相關的問題，比如研究半圓形橋的限高問題?！?/p>

生2：“我覺得能夠解決農業種植中半圓形的大棚需要搭建多高的問題?！?/p>

師：“同學們分析得非常好，接下來我們看一個案例。我們都知道，橋下設有支柱能夠提升拱橋的承載力，那么支柱的高度一定要嚴格按照標準設置，不能太高也不能太低。如果你是這個拱橋的設計師，你會將A2P2的高度設計為多少呢？”

教師利用多媒體展示案例：下圖（如圖1）是某圓拱橋一孔圓拱的示意圖，圓拱跨度AB為20 m，圓拱高OP為4 m，每間隔4 m 需要撐一個支柱，求支柱A2P2的高度（精確到0.01 m）。

圖1 圓拱的示意圖

通過這個與建筑工程緊密相關的實踐問題，教師可以引導學生對圓的標準方程進行深入探究思考。通過分析，學生首先需要構建圓拱與圓的標準方程的聯系，建立坐標系（如圖2），找出圓上的三個坐標點即A（-10，0）、B（10，0）和P（0，4），將其代入圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2，最終得出a=0，b=-10.5，r2=14.52，則圓的標準方程為x2+（y+10.5）2=14.52。將P2的橫坐標x=-2 代入，得出縱坐標約為3.86 m。那么，支柱A2P2的高度應為3.86 m。在對圓的標準方程概念進行實踐應用的過程中，學生需要結合圖形對問題進行深入的觀察、思考、分析、計算以及最終驗證。這個探索嘗試的過程也是學生數學學科核心素養全面成長的過程。在生長數學視角下，教師可以引導學生對概念進行實踐探索，促進學生數學學科核心素養的生長。

圖2 圓拱坐標系的建立

四、結束語

總而言之，在新的教學形勢下，高中數學教師要深刻地認識到生長數學在概念教學中應用的重要性，深入理解生長數學的內涵，在概念教學中積極探索生長數學推進學生的深度學習以及學科核心素養形成的具體策略。