轉化——優化解題的重要方法

陳雯

轉化是數學中至關重要的思想方法，也是解題的一種常用策略.轉化得當，可以使問題化繁難為簡單，化陌生為熟悉，化抽象為直觀，讓我們從不同的角度、不同的側面探尋問題的最佳解法.本文就初中數學解題中常用的幾種轉化思路進行分析，以期能夠助力同學們提升解題效率.

一、正面向反面轉化

我們在解題時一般從正面入手，結合已知條件順向思考，但有些數學問題正面思考過于復雜，不易求解或證明.此時，同學們若能運用逆向思維，打破常規思維習慣，從問題的反面或反例出發，往往會收到意想不到的效果.

例1? 若m≠0，試判斷關于mx + n = 0的解是唯一的.

分析：本題已知條件極為簡單，如果直接由已知條件正面分析，很難找到解題思路.我們抓住結論中的“唯一”，考慮它的反面情況，利用反證法間接論證，則可以順利解題.

證明：因為m≠0，

所以x =-是mx.+ n = 0 一個解，

假設mx + n = 0的解不是唯一的，

設x1，x2 （x1≠x2）為^mX+ n=0 （m≠0）的解，則有mx1+n=0①，

m x₂+n=O ②.

由①-②可得m（x1-x2）=0.

因為x1≠x2，所以m=0，

這與已知條件中的m≠0相矛盾，所以假設不成立，

故而關于mx + n = O（m≠0）的解是唯一的.

評注：反證法是“正難則反”思想的重要

體現，它先假設結論的反面成立，再從假設出發，經過嚴密推理，導出與已知事實相矛盾的結果，進而推翻假設，肯定原命題的結論成立.

二、代數向幾何轉化

數與形是相輔相成的，在求解某些代數問題時，若直接從數的角度予以解答較為繁瑣，則可以抓住題目的結構特點，挖掘其隱藏的幾何意義，巧妙構造幾何圖形，以直觀的 “形”來輔助抽象的“數”，將代數問題向幾何問題轉化，從而使解題思路豁然開朗.

例2? 若正實數滿足x + y=l，求證： .

分析：本題直接證明結論較為棘手，若能根據、聯想到勾股定理，將看作是以1和x為兩直角邊的直角三角形的斜邊長，看作是以1和y為兩直角邊的直角.三角形的斜邊長，作出如圖所示的正方形 ABCD，設AB = BC=CD=DA = 1，BE = x，CE = y，AE = ，DE = ，這樣只要證明AE + DE>AC + BD-BC即可.

證明：如圖所示，設正方形邊長AB=BC = CD = DA = 1 ，x + y=BE + CE= 1，

則有

在△ACE和 △BDE 中，AC = BD= ，且AE + EC>AG，BE + ED>BD，所以 AE + EC+BE + ED>AC + BD，即 AE+DE + （BE + CE）>AC + BD，所以，

所以.

評注：數與形在一定條件下是可以相互

轉化的.對于某些數學問題，同學們若能把“數” 與“形”緊密結合起來，使代數問題幾何化、幾何問題代數化，則可以收到意想不到的效果.

三、一般向特殊轉化

在解答某些數學問題時，若用一般性的通法求解難度較大或運算繁雜時，同學們可以從題目已知條件出發，將問題由一般向特殊轉化，考慮它的特殊性，如特殊值、特殊點、特殊位置等，從特殊情形入手可以大大降低解題難度，簡化運算過程.

例3已知（k2-k+ 1）5是一個10次多項式，將其設為.

分析：本題若直接將（k2-k+ 1）5展開，顯然，運算量較大，不易求解.若能轉換思路，結合題目結構特點，取特殊值k=1代入多項式中，則可以快速得解.

解：令k=1 ，

則有t1+t1k+t2k2 +...+t10k10=t0+t1+t2+...+t10=（12-1+1）5=1.

例 4 若 M=1999x+2000，N=1999x+2001，P=1999x+2002，則M²+ N²+ P2 -MN-NP-PM 的值為_____.

分析：仔細觀察題目，可以看出M，N，P 與任意實數x相關聯，不妨取特殊值，令x = -1，將一般問題特殊化，則可以輕松求值.

解：令x=-1，則有M=1，N = 2，P=3，

此時 M²+ N²+ P²-MN-NP-PM=l+4+ 9-2-6-3=3.

評注：特殊值法是選擇題或填空題常用的解題方法之一.它可以簡化運算，提高解題速度和效率，既省時又省力.

總之，解數學題離不開轉化，當用常規方法處理數學問題存在難度時，同學們要注意改變解題思路，適當轉化，將原問題變為自己熟悉、易于解決的問題，從而達到快速、準確解題的目的.