二次函數背景下三角形面積最值問題的幾種解法

陳霖

縱觀近年來各地中考數學試題，一類以二次函數為載體，探討圖形面積的最值問題頻頻出現.這類試題整合了代數和幾何的部分重要知識，并融合了許多數學方法，難度頗高.如何根據題目提供的信息，依據圖形的變化特征，抓住解答問題的關鍵，從而化難為易，正確解題呢？對此，筆者介紹四種常用方法，希望能給同學們攻破難題帶來幫助.

一、割補法

在平面直痛坐標系中，當三角形任意一邊均不在坐標軸上，或者不與坐標軸平行時，一般采用割補法求解.割補法分為兩部分，割是指將圖形分解成幾部分分別求解;補是指將所求圖形填上一部分，然后用補后的圖形面積減去所補部分的面積.兩種方法的實質都是將二次函數中圖形面積的最值問題通過 “轉化”思想，化為“線段（和）”最值問題，間接地求出圖形面積的最值.

例1? 如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數y = x2+2x-3交x軸于點A，B，在y軸上有一點E（0，1），連接AE.

（1）求直線AE的解析式；

（2）若點D為拋物線在x軸負半軸下方的一個動點，求△ADE面積的最大值.

解：（1）∵y=x²+ 2x- 3 =（x + 3）（x-1），∴當 y = 0 時，x1=-3，x2=1，

∴點A的坐標為（-3，0），

設直線AE的解析式為y = kx + b，

二、鉛垂法

如圖2，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC 的“鉛垂高”（h）.我們可以得出一種計算三角形面積的新方法：即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.這種方法我們稱之為鉛垂法.求二次函數中三角形面積的最值，往往可以轉化為求鉛垂高的最值，當鉛垂高取得最大值時，三角形的面積最大.

例2已知：如圖3，拋物線：y = ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（-2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點尸運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？

解：

三、切線法

切線法體現了數學中最為常見的數形結合思想，將三角形的一邊作為三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面積的最值. 將底邊所在的直線平移，與拋物線只有一個交點，即相切時，兩直線的距離即高的長度最大，然后將直線與拋物線的解析式聯立方程組，求出切點的坐標，此時不用求出三角形面積的解析式就可直接運用三角形的面積公式求川最值.

例3? 如圖4，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x-4與x軸，y軸分別交于點A和點B. 拋物線y=ax2+bx+c經過A，B兩點，且對稱軸為直線x=-1，拋物線與x軸的另一交點為點C.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）設點E是拋物線上一動點，且點E在直線AB下方.當△ABE的面積最大時，求點E 的坐標，及△ABE面積的最大值S.

解：⑴在y =-x-4中分別令x = 0，y = 0，可得點 A（-4，0），B（0，-4），

根據A，B坐標及對稱軸為直線x=-1，

可得方程組

解方程組可得：

∴拋物線的函數表達式為;

（2）設點E的坐標為（m，+ m - 4），

當△ABE的面積最大時，點E在拋物線

上且距AB最遠，

此時E點所在直線與AB平行，且與拋物線相切，只有一個交點，

設點E所在直線為l：y = -x + b，

聯立得方程組：

消去 y，得：

據題意得，

解得b = -6，

∴直線l的解析式為y=-x-6，

聯立方程，得

解得：

∴點 E（-2，-4），

過點E作y軸的平行線交直線AB于H，此時點 N（ -2，-2），EN=-2- （-4） =2，

∴S△ABE=

△ABE面積的最大值為4.

四、三角函數法

對于三角形問題，三角函數的引入可以為求線段長度提供新的解題思路.在直角三角形中，只需要知道一邊的長度和除直角外任意一個角的度數，就可以用三角函數式表不出其余的邊長或高.然后將三角函數式帶入三角形面積公式，求出三角形面積的解析式，利用二次函數的性質即可求得面積最值.

例4? 如圖5，已知拋物線y=-x2 + bx + c 經過點A（-1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C.（l）求拋物線的表達式；（2）設拋物線交 y軸于點C，在拋物線上的第一象限上是否存在一點P，使△PAC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PAC面積的最大值;若不存在，請說明理由.

解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+ bx+c，

可得，解得，

∴拋物線的解析式為： y = -x² - 2x + 3 .

（2）如圖5，作PE⊥x軸于點E，交AC于點F，作PM⊥AC于點M.

設直線AC的解析式為y = mx + n ，

把B（-3，0）、C（0，3），

代入得，解得

故直線BC的解析式為y = x+ 3.

設點P的坐標為（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），則點F的坐標為（x，x+3）.

由A、C坐標可知，AC = 3，

當

即

所以存在一點P，使△PAC的面積最大，最大值為，P點坐標為（）.

通過對以上四種方法的分析介紹，相信同學們對二次函數背景下三角形面積的最值問題的解法有了一定的了解.同學們只要掌握好了這四種方法，在二次函數的綜合題中再出現求圖形面積的最值問題，就能輕松應對了.