數學閱讀的技術結構研究

高志揚 張昆

摘 ? ? ?要

學生學習數學都繞不過數學閱讀這個學習的基本環節，數學閱讀是學生的重要核心素養之一。數學閱讀的技術結構在于領悟數學語言、符號、圖形或圖表的涵義；把文字的涵義與符號、圖形或圖表的涵義這幾者聯系起來；分析符號（包括圖形或圖表）之間的關系，并試圖將這幾個方面組織成一個整體；解數學文字應用題四方面要素。這種技術結構的發現對培養數學閱讀這一核心素養具有重要作用。

關 鍵 詞

數學教學 ?數學閱讀 ?教學能力 ?核心素養

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高志揚，張昆.數學閱讀的技術結構研究[J].教學與管理，2023（33）：86-89.

在教師必須完成某些數學教學任務時，學習者需要先具備某些數學技能、知識、觀念、思想、理論與以前的學習所生成的經驗等前提條件，當這些前提條件不能充分滿足時，學習者個體就必須要進行額外學習，使這些前提條件得到滿足，才能完成當下所需要完成的學習任務[1]。這種額外學習活動，如果是大多數學生的需要，教師就應該進行有組織、有計劃地安排，如果只是少數學生的需要，很可能就主要依靠學生自己去完成。如果從獨立完成學習任務的視角上看，這些學生最常選擇的途徑就是查找與閱讀相關的學習材料，或者是教師有針對性地向他們提供某些有價值的輔助性學習材料，因此培養學生的數學閱讀素養十分必要。本文通過數學閱讀過程，探索培養學生數學閱讀核心素養的途徑。

一、數學閱讀在數學學習中的作用

由于數學閱讀具有學習數學活動的普遍性、基礎性與特殊性的特點，數學閱讀素養成為學生學習數學最為重要、最為基礎的核心素養。當學習者具備了數學閱讀素養，數學的其他核心素養要素都可以由學習者自己通過數學閱讀這項核心素養而獨立地發展起來。伴隨著數學閱讀過程，數學閱讀核心素養可以迅速地轉化為學習者學習數學的技能技巧、能力、經驗，或者為產生與完善學習數學的這些要素提供必要的支持[2]。由此，學習者可以逐步地擺脫對自己的數學教師的依賴，從而形成比較獨立的、有效的數學學習的能力。

美國數學教育家D.H.貝爾在其專著《中學數學的教與學》中將進入數學課程的一般的數學內容劃分為四個側面：事實、技能、概念與原理。其中，數學技能與主體的肢體活動或心智活動息息相關，主要偏重于生理上的特點，學生通過訓練而熟能生巧地生成、內化與定型，進而易于遷移到其他具體操作的情境中去。數學事實、概念與原理都離不開學生的自主閱讀而形成，當然，聽教師講課時，有些學生可以不打開數學課本就能夠學會一些數學事實、概念與原理，但是，如果經由學生自己閱讀理解了的具體線索，能促使學生透徹地理解自己正在學習的數學內容，從而最有效地為自己所掌握，如此，即使沒有教師指導學生學習數學，具備數學閱讀素養的學生，通過自己的數學閱讀進行獨立學習也會有很好的收獲，比聽教師講解所獲得的知識及體現于其中的技能、能力、經驗、觀念等具有更好的遷移性。

眾所周知，教師施教數學的重要目標之一，在于提高學生自學數學的技能、能力，從而幫助學生養成數學素質與素養。學生是數學學習的承擔者與主體，數學學習是學生自己的事情，不能由教師（或他人）完全替代。因此，比較獨立的數學閱讀不可或缺。數學教師有效施教數學活動，是為了實現啟發、鼓勵，促使學生提高自己的學習效率與效果的目的。在提高自己的自學數學能力的相關項目要素中，學生數學閱讀的技能、能力、經驗起著非常重要的作用[3]。

學習數學的重要途徑在于面對閱讀對象所設定的情境時，尋找出合適的思考活動，數學教師施教數學是為了促使學生數學地思考，如果學生離開數學教師的鼓勵、啟發與指導，能夠自己通過閱讀相關的數學資料，發生具體的數學知識認識，這是最佳學習方式。如此，通過自行比較獨立地閱讀數學材料，展開數學學習活動過程，則會提高學生自學能力。當數學閱讀能力達到了一定的水平高度，學生就不會依賴數學教師，可以時時處處地閱讀，或者經由閱讀而在記憶中思考那些在學習中已經形成的數學問題。學生為了解決問題，很可能不僅限于閱讀數學教科書，而且會搜尋與解決問題相關的課外資料，如此，擴展了學生閱讀數學內容的范圍，為創造性或研究型數學學習奠定了基礎。

由此分析結論能夠認識到，從低年級到高年級的每一學段的數學教師，在施教數學知識過程中，幫助學生形成數學技能、發展數學能力、萌生數學觀念，這是非常重要的途徑。數學教師如果有意識、有機制、有目的地精心指導學生數學閱讀，幫助學生提高閱讀數學材料的技能、能力、經驗，養成閱讀材料的習慣，就為學生獨立地學習數學插上了堅硬的翅膀。如此，數學學習好的學生能夠突飛猛進；數學學習比較差的學生在閑暇時間里通過自己數學閱讀，可以迎頭趕上。

俄爾（R.Earle）指出：“大多數專業人員一致同意，認為任何一門學科領域中的閱讀，不能、也不應當與該領域中的概念發展分割開來。”[4]具有數學閱讀素養的學習者通過獨立數學閱讀，可以接受數學事實，形成數學概念，理解數學原理，萌發數學技能，并為從這些內容的閱讀學習中轉化為數學能力提供基礎。

二、數學閱讀技術結構的組成分析

數學閱讀活動的心理過程需要類似于認知心理活動的等級水平來刻畫，研究者從大量的觀察與自己的數學閱讀實踐、數學教學實踐中將數學閱讀活動過程劃分為四個必要的層層遞進的層次：其一，領悟數學語言、符號、圖形或圖表的涵義；其二，把文字的涵義與符號、圖形或圖表的涵義這幾者聯系起來；其三，分析符號（包括圖形或圖表）之間的關系，并試圖將這幾個方面組織成一個有機整體；其四，解數學文字應用題。

1.領悟數學術語與符號的涵義

領悟數學術語與符號的涵義，就是認識領悟數學學習內容中字里行間的數學術語與符號的內涵，最終在自己的表達中，自由地、正確地使用這些術語與符號。數學術語與符號，就像一般性的文字一樣，組成了數學知識的內容。數學閱讀指的是，學習者僅僅是將術語與符號及其組成語句，變得就像閱讀漢字一樣，不僅從字里行間能夠理解他人的意圖，還必須要能夠正確地陳述它們[5]。學習者必須熟悉所學習數學內容中的特殊語詞、術語與符號以及圖形或圖表，如果不能識別和敘述諸如△、≌、⊙、⌒、∥、∽等數學符號，他就不知道這些符號及其組成的語句的涵義，也就不可能通過閱讀的途徑學習平面幾何知識。

為了實現鼓勵學生領悟數學符號的教學目的，教師可以要求學生朗讀數學教科書的某些段落；當教師在黑板上寫出（或PPT呈現）某些數學術語與符號時，必須要求學生正確地敘述這些術語與符號；在平時的小測驗或正規的考試中，教師可以有針對性地選擇與數學術語、符號相關的題型，如選擇的題型（△ABC≌△DEF讀作______。A.△ABC等于△DEF；B.△ABC與△DEF相似；C.△ABC全等于△DEF；D.△ABC與△DEF形狀相同），配對的題型（將幾個符號或它們表達式作為左邊的一列，對這些符號的文字解釋作為右邊的一列，然后要求學生使用細線將左邊的符號或表達式與右邊的正確解釋連起來），識別符號的題型（對下面的數學符號寫出正確的敘述：①（）3______；②_______）等。教師應該有計劃堅持不懈地幫助與督促學生認識數學的基本術語與符號。

2.把文字的涵義與符號、圖形或圖表的涵義聯系成一體

當學生已經能夠辨別、認識與敘述某些數學術語與符號時，教師就應該引導學生把這些文字的涵義與這些符號、圖表、圖形的涵義聯系起來，并且通過這種聯系的心理過程，形成學生的關聯文字與符號、構成語句的相應能力[6]。對于一般的數學術語、符號所構成的語句，每一名學生都應該在教科書（或教師提供的教學輔助材料）呈現的內容的不同段落中，識別或找出數學名詞或符號，并且理解這些文字或符號的組織順序所構成的語句的內在涵義。

當學生通過自己的閱讀和思考，已經能夠熟練識別與陳述這些閱讀內容的對象時，教師就應該以學生理解與應用的方式，進一步說明這些學習內容的涵義，幫助學生以自己的數學現實為基礎，正確地說明數學術語與符號的涵義。例如，學生能夠記住教師所定義的an的涵義是指n個因數a相乘的積，但是學生不會在適當的情境下選擇與應用它，這就說明學生并沒有理解這個定義的內涵。

長期的教學經驗使我們認識到，學生通過閱讀（或者在老師的指導下）形成定義的方法是，每一個學生要有一個類似于數學詞典的筆記本。既然學生弄不懂教科書與教師呈現于他們的一些數學定義（文辭的或符號的），就應該把他們所需要理解的每個術語或符號的定義記在這個詞典筆記本中。同時，教師也應該在適當的時候檢視學生給每個術語或符號所下的定義，以便掌握定義這些術語或符號的準確性程度，從而及時地、有針對性地給予學生以幫助，使學生在掌握這些術語或符號時技術上是正確的、可行的。

教師在時間允許的情況下，可以把部分學生所做的典型的定義（錯誤的或正確的）向全班學生誦讀，要求其他學生對定義加以評論，這種教學行為有利于學生看到正確與準確定義的價值，同時也給他們批判地解釋、分析其他同學的數學定義的機會。為了準確與一致，并且作為閱讀與理解教科書的一種輔助材料，學生應該在自己的詞典筆記本里，把教科書上各個術語與符號的定義寫在自己寫出的定義旁邊，從而鼓勵學生形成一種對比性的認識與理解方式，有助于學生更加有效地進行記憶，形成標準性的閱讀，在需要時可以形成有效的應用。

學生有無能力通過閱讀中的分析過程，把文字的涵義與數學語句、符號關聯于一體，其關鍵在于學生能否詳細地敘述每個數學定義，用各種不同的例子說明教科書中呈現的語句與符號的涵義。例如，函數的概念在初中與高中的定義形式的要求截然不同，從初中時的定義過渡到高中時的定義的轉化過程，需要把相應的術語轉化為符號，把生活中的實物性的特點轉化為抽象的概念性的特點，教科書中通過例子并且使用了圖形、圖表，學生要理解高中函數概念就必須要把文字、符號、圖形或圖表關聯起來。對此，學生可否自行獨立地實現與完成，是學生理解這個定義的一種重要標識。

隨著智力的成熟、學習經驗的豐富，學生能夠以一種更精確、更抽象、更概括和更有用的方式重新定義數學術語或符號，從而保證在數學閱讀中，能夠盡快地掌握一句話、一個段落、一個主題的本質內涵，學習效率大大提高。與其說鼓勵學生記住那些對大多數人來說沒有真正理解的正規的數學定義，不如啟發他們通過分析那些不精確、不嚴密的數學定義，從而得出正確和有用的數學定義，后者將更有價值，更能促進學生對于相關的數學知識的理解，并且提升學生的數學閱讀能力。

3.分析數學符號等要素之間的關系

分析數學符號等要素之間的關系，就是同時處理已經陳述的事實、概念、術語與符號這些學習內容，并且由此而識別已陳述與未陳述的內容及其之間的關系。當學生閱讀數學教科書的一些段落時，他們必須個別地領悟術語、符號、圖形或圖表及其所形成的語句的內涵，把文字涵義與這個段落內容整體聯系起來，然后注意各個段落中所有術語與符號的共同特點和它們之間的關系。在某種意義上說，關系的分析就是把通過數學語言（文辭、符號、圖形或圖表）表達的數學知識組織成相互聯系的一套要點的過程。

分析數學符號等要素之間關系的教學過程，教師的教學準備活動可以簡述如下：其一，分析數學教科書呈現的相關學習內容中的詞匯（文辭、符號等），并且把能表示出需要學生了解的主要概念的所有詞匯列成表；其二，整理這個表中的詞匯，直到教師認識到可以畫出一個圖表，說明學習任務所特有的概念之間的關系為止；其三，把教師認為學生應理解的詞匯、概念填到圖表上去，這是為了說明學習任務與各個部分之間的關系；其四，評價這個到現在為止已經產生的具有結構性的圖表，評價的方式可以為提出一些問題：這段學習材料中的所有概念都納入到這張圖表中了嗎？你已經把這段學習材料中的主要關系描述清楚了嗎？這個結構性的圖表可否加以簡化？它是否仍然能有效地表示你認為最重要的那些關系？其五，當教師向學生提出學習的具體任務時，向他們呈示已經整理好的圖表，并且簡要地說明為什么要如此地整理這些詞匯，要鼓勵學生盡可能多地說出他們自己的解釋；其六，伴隨學習任務的完成過程，教師應選擇合適的時機，把新知識與已經作成的結構性的圖表聯系起來。

教師整理與組織好的關于某一段教科書教學內容的結構圖表，可以作為先行組織者[7]的形式介紹于學生。但是，為了鼓勵學生提高閱讀和理解數學教科書的能力，教師還應該完成教科書上的簡短的指定的數學閱讀作業，并且準備好自己的書面結構的圖表。為了幫助學生寫出自己的結構圖表，教師首先應該作出自己的一些圖表，啟發全體學生了解甚至掌握這個圖表是如何制作出來的，學生從中可以領悟到從閱讀到制作結構圖表的心路歷程，這是分析數學符號等要素之間關系的很好途徑；然后要求學生閱讀幾頁教科書上的學習內容，學生獨立或以小組的形式（在教師的指導下）進行學習活動，從而制造出一個結構圖表，完善此圖表，就可以由此作出指定的數學閱讀作業的模型。如此，達到提高學生分析數學符號等要素之間的關系的能力的目的。

4.解數學文字應用題

數學學習最高階段的心理語言（包括領悟詞匯與符號的低級階段活動，把文字涵義、詞匯與符號聯系起來，分析詞匯與符號之間的關系等）活動就是能夠解決相關的數學文字題。數學文字題是一個較為普遍與廣泛的涵義，而不是僅僅指某一項知識。在數學活動中，數學文字題通常是通過散文的形式陳述的任何問題，代數中的標準故事問題是數學文字題，算術中的應用題是文字題，幾何中的定理與命題也是文字題，三角中關于度量、距離與角等的問題同樣是數學文字題。

在中學數學教學中，利用數學文字題的資源可以培養學生解決數學問題的一般技能，這種技能相對比較容易地遷移到其他數學或非數學領域的學習活動中。學生為了閱讀與求解數學文字題，他們必須領悟這個具體的問題陳述中相關的詞匯、符號及其組成的語句，理解它們并且需要正確地分析這些詞匯、符號及其組成的語句之間所內含的關系[8]。好的數學文字題的解題者會把這個文字題重新組織成可以使用一種數學算法來求解的數學符號關系體系。

在課堂上，數學文字題的特點是教師難教，學生難學，這就對教師的教與學生的學提出了很高的要求。學生不僅必須在心理語言的所有四個階段進行有效操作，而且必須使用自己的高級智力階段的分析、綜合和評價探究文字應用題中的材料。在解題活動中，學生需要復習教科書上的某個段落，考慮將某個一般的解題模型的各個步驟搜尋出來，用它來幫助發現問題的思路。一般而言，要培養學生能仔細地、有分析地閱讀文字題的能力，不是一朝一夕就能夠實現的，教師要有整體思想，學生需要經過若干年的耐心學習，才有可能實現。

總之，教師應該針對數學閱讀技術結構的這幾個環節，選擇好示范材料加以數學閱讀示范，鼓勵學生通過自己的閱讀實踐形成有效率的數學閱讀方法，學生在數學學習中運用這些數學閱讀方法展開自己的數學學習。教師也應該促使學生進行個性化的數學閱讀活動，并從這種個性化的數學閱讀活動過程中發現問題，練就學生的閱讀技能，閱讀數學教科書或教師提供的輔助數學學習的材料，促使學生想方設法地通過閱讀理解自己所閱讀的內容。

數學閱讀是支持學生獨立學習數學活動的基礎，也是學生掌握數學事實、技能、概念與原理的最為重要的基本途徑之一，是學生形成數學能力，發生數學體驗，萌生數學學習興趣的必備素養，因此，數學閱讀是學生學習數學的重要核心素養之一[9]。培養學生的數學閱讀核心素養需要數學教師依據數學的特點，數學閱讀技術結構活動的組成環節，學生數學思維發展所處水平[10]的階段性特點，形成數學閱讀方法的特殊性與針對性，據此，教師設計培養活動的特殊計劃，通過數學閱讀過程的活動特點實現教學目的。

參考文獻

[1] 張昆. 培養數學閱讀方式的教學實踐創新[J].中學數學教學，2019（01）：5-8.

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[6] 鄭毓信，肖紅.語言視角下的數學教學[J].課程·教材·教法，2009， 29（09）：47-53.

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[8] 李麗.試論高中數學應用題閱讀學習的策略[J].數學學習與研究（教研版），2008（02）：57.

[9] 張昆.激發數學閱讀興趣的實踐途徑[J].中學教研（數學），2018（08）：27-30.

[10] 皮亞杰.發生認識論原理[M].王憲鈿，譯.胡世襄，校. 北京：商務印書館，1996：21-57.

[作者：高志揚（1999-），男，江蘇徐州人，淮北師范大學數學科學學院，碩士生；張昆（1965-），男，安徽淮北人，淮北師范大學數學科學學院，中學高級教師，博士。]

【責任編輯 ?郭振玲】