數形結合明算理 構建模型悟規律

朱蘭

在小學數學學習中，說到學生的高頻錯題一定有乘法分配律的運用。乘法分配律無論從形式還是內涵來看，比起乘法交換律和結合律等其他運算律都更加復雜。乘法分配律往往因其形式復雜、運用廣泛、變式較多，成為老師的教學難點和學生的易錯內容。在對老師的訪談中了解到，大多數老師教學這個內容都是從不同綜合算式中因結果相同建立等式，學生寫出等式，并用字母表達總結出乘法分配律。這樣的數學模型建構方式學生只記住了“形”，而無法明白“理”。這也是學生面對形式多樣的乘法分配律時漏洞百出的原因。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱課標（2022年版））指出：“通過實際問題和具體計算，引導學生用歸納的方法探索運算律、用字母表達運算律，感知運算律是確定算理和算法的重要依據，形成初步的代數思維。”通過對教材、學生學情前測以及教師訪談的分析，筆者認為要構建乘法分配律數學模型要通過具體的乘法情境，用“數形結合”的方式從乘法的意義來理解乘法分配律的內涵，形成規律的一般性表達，積累學習經驗，為后續的學習和代數思維的發展提供基礎。

一、巧用主題圖設計有價值的數學問題，數形結合引入等式

師：勞動使人快樂，種菜已成為當下重要的勞動實踐活動。今天我們一起來研究菜園里的數學知識。

師：你能根據這幅圖提出并解答兩個兩步計算的問題嗎？你們提出哪些數學問題？

生：一共有多少棵菜？

師：請說說你列的綜合算式并結合圖說清楚綜合算式每一步表示的意義。

生1：用（6+4）×4，白菜每行6棵，生菜每行4棵，先用6+4算出它們合起來一行有10棵，乘以4，就算出了一共有多少棵菜。

生2：我的方法和他的不同，是6×4+4×4，我用白菜每行有6棵，有4行，6×4算出白菜有幾棵，再用生菜每行有4棵，有4行，4×4算出生菜有幾棵，最后白菜棵數加生菜棵數就算出菜地的總棵數。

師：這兩個算式都解決了同一個問題，觀察這兩種解法，有什么不同的地方和相同的地方？

生：它們方法不同，一個是合起來算，另一個是先分開算再合起來，它們都有共同的4行。

師：這個4在乘法里叫什么？（學生答因數）也就是都有相同因數。還有什么相同？

生：兩個算式得數相同。

師：得數相同我們數學上可以用哪個符號連起來（生答等號）。這樣就形成了一個等式（6+4）×4=6×4+4×4。

評析：用同樣的方法學生結合圖交流了菜地一共有多少平方米？同樣發現方法不同，但有相同因數且得數相等，形成了第二個等式（15+10）×8=15×8+10×8。《新課標》要求：“能解決生活中的簡單問題，并能對結果的實際意義做出解釋，經歷探索簡單規律的過程。”學生在解決兩個現實問題中利用數形結合理解了算式的實際意義得到了兩組等式，觀察中感悟分配律兩式相等的關系。

二、不斷積累經驗，深度理解等式的意義

出示題目：給菜園柵欄刷油漆，藍色油漆需要3桶，紅色油漆需要2桶，每桶都是90元。

師：帶著你對前面等式的感覺，你想提出一個什么數學問題？

生：一共要花多少元？

師：你能用兩種方法解答這題嗎？可以寫成上面的等式嗎？

生：（3+2）×90=3×90+2×90。

師：怎么證明它們是相等的？

生：得數相等，等式左右得數都算得450元。

師：除了得數相等，還可以怎么證明它們是相等的？

生：等式的左邊和右邊都表示5個90。

師：等式的左邊和右邊都表示5個90，也就是它們的意義相同。這個同學用乘法的意義說明了等式相等。合起來等式兩邊都表示5個90，再分開來看算式意義，誰來說一說？

生：（3+2）個90=3個90+2個90。

師：你們能模仿上面編寫一組同樣規律的等式嗎？請用乘法的意義來說明等式寫對了。

師：你們寫了，我也想寫一組，（2+4）×8=2×8+8。寫對了嗎？怎么改？我們從算式的意義來檢查就很容易找到問題。

評析：針對傳統的只注重“形”的教學，為了讓學生更好地明“理”，從意義出發構建乘法分配律顯得尤為重要。在實際問題情境中從乘法的意義幾個幾相加來深入理解乘法分配律的本質，突破了乘法分配律的難點。這個環節的構建是本節課的核心，意義的理解幫助學生對乘法分配律更好地建模，同時從后期的測評中看出對意義的理解，大大提高了練習的正確率和簡算的變式運用。

三、觀察等式分析歸納規律，逐步抽象構建模型

師：我們橫向了解這些等式得數相同，有相同因數，意義相同，那我們縱向地看看這些算式的特點？

生1：左邊的等式是合起來算，右邊的是分開算。

生2：左邊是先求和再相乘，有括號、加號、乘號；右邊是先分開乘再合，有兩個乘號和一個加號。

師：這樣的等式你們能寫出多少？

生：無數個。

師：既然寫也寫不完，那你們能用最簡單的數學語言歸納出所有這一類等式的規律嗎？

生1：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。

生2：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

生3：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：用字母能代表上面所有的算式嗎？用字母表達你感覺怎么樣？（數學符號的簡潔美）

師：大家發現的這一類規律你知道叫什么規律嗎？（板書課題）為什么要叫乘法分配律？你怎么理解分配？來結合字母表達式說一說。

評析：學生在觀察算式特點中發現，括號先算之后，就沒有括號了，也就是從合起來算到分開來算，充分理解了乘法分配律的形式。從算式中理解了乘法分配律的本質內涵，這只是具象的理解，更需要對概念的抽象和升華。《課標（2022年版）》提到學生“能用字母表示運算律”“能說出運算律的含義，并能用字母表示”。教師用“你們能用最簡單的數學語言歸納出所有這一類等式的規律嗎？”啟發學生用數學語言概括這一類等式的規律形成一般性的表達。學生逐步經歷了從語言表達到符號表達的轉化過程，在不斷抽象的過程中建立數學模型，體會數學的簡潔美。給發現的規律取名字和理解“分配”這個詞，實際是讓學生說出自己對規律的理解，是學生對規律理解的外顯方式，豐富了學生對規律的認識和理解。

四、循序漸進的練習，溝通知識間的聯系，提升規律運用

1.填一填。直接用算式的意義邊說邊填。

（42+35）×2=42×_______ +35×_______

27×12+43×12=（27+_______）×_______

15×26+15×14=_______×（_______+_______）

（a+b）×9=a×_______+_______×_______

2.回顧溝通，建立聯系。

其實乘法分配律大家不是第一次見，在學習兩位數乘一位數的口算時，16×3就是先把16分成10和6，再與3相乘。在兩位數乘兩位數中23×12，把12分成10和2，再分別與23相乘，最后相加。學習長方形的周長計算時，可以用長×2+寬×2，也可以用（長+寬）×2，這些都是乘法分配律的運用。后面你們學到的簡便計算和一些解決問題都能找到乘法分配律的影子。

3.融會貫通，知識拓展。

在同學們課前做的導學單中有同學提出了這樣的問題：白菜比生菜多幾棵？也用了兩種不同的解法，這里有乘法分配律嗎？我們下節課來研究。今天學了乘法分配律，你還想研究什么？

評析：練習設計了三個層次：從基本概念練習到溝通以往學習中乘法分配律的運用，最后到后續學習乘法分配律變式的鋪墊。層層遞進，目的是讓學生運用形成的乘法分配律模型去解決問題，去與舊知識建立聯系，去思考后續相關知識學習。從而獲得知識的再現、重組和升華，加深了對數學模型的理解，凸顯了模型思想的建構價值。

本案例設計重在通過數形結合和對等式意義的理解，從具象到抽象地讓學生真正理解乘法分配律的內涵。設計中從實際問題出發，讓學生經歷了在具體情境中理解乘法分配律的概念、解釋等式兩步的等值關系、用字母表示規律等方式逐步構建數學模型，發展學生初步的代數思維。