基于改進Prony 算法的新能源配網諧波和振蕩復合擾動參數提取

李 磊，都成剛，王維兵，齊少春，楊學林，楊瑞卿

（1.內蒙古電力（集團）有限責任公司，呼和浩特 010020；2.南京南瑞繼保工程技術有限公司，南京 211122；3.內蒙古電力（集團）有限責任公司阿拉善供電分公司，阿拉善盟 750300；4.華北電力大學電力工程系，保定 071003）

目前，以新能源發電并網逆變器和變流器為代表的電力電子設備的大規模應用[1]，使得配電網中的背景諧波問題愈發嚴重。同時，新型電力電子設備及其控制系統與傳統電磁設備存在強耦合關系，會導致電力系統的動態行為更加復雜[2]。在此背景下，電網更易出現寬頻振蕩等安全問題[3]。

配電網中成分復雜的諧波會增加網絡損耗，并使得發生網絡諧波諧振的概率增加，從而引起諧波電流放大[4]，嚴重時甚至影響設備的正常工作。而當配電網發生寬頻振蕩時，如果沒有得到合理的處置，電壓電流的大幅波動很容易導致新能源發電設備大量脫網，嚴重影響電網的安全穩定運行，對與主網電氣距離間隔較大的配網的危害尤其明顯[5]。各類電能質量問題對電力用戶的安全和電網的安全穩定運行構成了新的威脅。因此，準確提取電網中背景諧波和寬頻振蕩參數，以此指導電能質量問題的治理也顯得迫在眉睫。

電能質量參數提取方法主要有離散傅里葉變換DFT（discrete Fourier transform）、小波變換、希爾伯特-黃變換HHT（Hilbert-Huang transform）、S 變換ST（Stockwell transform）和Prony 算法等。離散傅里葉變換可以獲得擾動信號的視頻信息，但難以準確提取暫態過程信號參數；小波變換適合分析暫態信號，但對背景諧波這類小擾動信號參數提取能力較弱[6]；希爾伯特-黃變換存在端點效應、模態混疊等問題[7]，不適宜分析復合擾動；S 變換有良好的時頻域分析精度，但難以直觀區分擾動信號類型[8]，需額外添加輔助算法對擾動類型進行分類[9]；Prony算法能辨識同一時刻內多種擾動的參數信息，但算法對采樣信號中的噪聲特別敏感，抗噪聲能力較差[10]。同時，Prony 算法信號辨識結果的精度很大程度上取決于模型有效秩階數的選取是否合理，合理的階數能大大降低計算量，而不合理的階數會導致部分參數辨識結果遺漏。

針對Prony 算法的抗噪聲能力差，使用時需搭配降噪算法，常用的有經驗模態分解EMD（empirical mode decomposition）、模糊濾波法和奇異值分解SVD（singular value decomposition）法。EMD 和模糊分解法存在模態混疊和端點效應，分析復合擾動時降噪精度較差，且容易濾除有效信息[11]；而SVD 法在分析復合擾動時不易遺漏有效成分，降噪效果也較為理想[12]。對于有效秩階數的計算，主要有經驗小波變換EWT（empirical wavelet transform）法和二階導數理論SDM（second derivative method）法。其中EWT 法需要對信號進行預處理，會降低參數辨識速度，多適用于信號成分存在耦合的情況[13]；而SDM法通過計算有效秩階數增長率為0的點，能夠快速地確定擾動對應的有效秩階數。

為此，本文提出了一種基于SVD 和SDM-Prony算法的諧波和振蕩復合擾動參數提取方法。先應用SVD 法對采樣信號進行降噪，再引入SDM 法，針對復合擾動信號自適應地設定Prony算法的有效秩階數，最大程度地提高參數辨識精度。仿真分析表明，在進行復合擾動特征分析時，引入的2 種優化方法減少了Prony算法參數提取的相對誤差。

1 算法基本原理

Prony算法的實質是一種基于多項式線性擬合的參數辨識方法。設采樣信號數據為x(n)，則擬合x(0)，x(1)，…，x(N-1)，可以記為(n)，表示為

式中：p為模型的階數；N為信號采用點的個數；bi和zi為復數，其中A為復數模值，θi為復數相角，αi為復數衰減因子，fi為復數頻率。并且，為確保擬合信號盡可能接近實際采樣信號，這里需要采用誤差平方和ε最小作為優化目標，對應其目標函數，表示為

將采樣信號函數x(n)處理為

式中：r(i,j)為矩陣R中的元素；pe為矩陣R的階數。根據式（5），構造采樣樣本矩陣R，矩陣中元素和結構表示為

將式（6）中矩陣R進行奇異值分解或最小二乘估計，可以求取有效秩pe，其大小取決于信號擾動量的個數。當信號沒有噪聲時，pe的物理含義為將樣本矩陣R奇異值分解后奇異值矩陣中非零元素的個數。

保留有效秩階數pe所對應的矩陣R部分元素，然后聯立求解，有

式中：ap為特征向量；up為擾動變量。利用式（7）中的ai求解多項式（8），得到其對應的根zi。然后將zi代入式（1），并進行變換，可得到矩陣方程為

式（9）最左側矩陣是一個N×p維的范德蒙矩陣，矩陣滿秩且可逆，記為矩陣V，因此可進行變換為

接著，就可以計算出混合擾動信號的特征參數，主要包括：寬頻振蕩的幅值Ai、衰減因子αi和相位θi、諧波信號的頻率fi，分別表示為

式中，i=0，1，…，N-1，表示擾動量的數目。在參數計算時，可以將諧波信號看作是衰減因子αi=0 的振蕩參數。

2 基于SVD 的SDM-Prony 算法原理

本文提出的基于SVD 的SDM-Prony 算法提取諧波和振蕩復合擾動參數的整體流程如圖1所示。

圖1 參數提取方法流程Fig.1 Flow chart of parameter extraction method

首先，對采集到的含噪聲和擾動的離散電信號進行SVD 降噪，濾除噪聲信號后，重新生成采樣信號序列。接著，應用SDM 法，計算樣本函數二階導函數為0 時所對應的序列號，從而確定樣本矩陣R的有效秩p，并依據p設定Prony 算法的模型精度和特征方程的階數。最后應用Prony算法提取復合擾動的參數信息。

2.1 SVD 降噪算法原理

由于采集到的并網點處電信號包含著大量的高斯噪聲，同時Prony 算法參數的提取結果受噪聲影響較大。因此，使用Prony 算法時必須搭配使用降噪算法，先對采集到的電信號進行降噪處理，然后使用Prony算法提取擾動參數特征。

基于SVD 的降噪算法原理是將原本的采樣信號向量空間分為噪聲信號空間和有效信號空間，且噪聲信號和有效信號空間彼此正交。針對采樣點處采集到的離散信號：x=[x1,x2,…,xN]，可構造Hankel矩陣X為

其中：如果采樣點個數N為奇數，則n=（N+1）/2，m=（N+1）/2；如果N為偶數，則n=N/2，m=N/2+1。

接著對矩陣X進行奇異值分解為

式中：q為非奇異值元素階數；U為m×m維的正交矩陣；Σ為n×n維矩陣，其中Δ是對角矩陣，對角線上元素是矩陣X的奇異值；V為n×n維可逆的正交矩陣。

依據奇異值分解理論，若存在k維有效信號空間，則對角矩陣Δ中一定存在與之對應的k個奇異值，余下的q-k個奇異值就對應噪聲信號空間的維數。k就是有效信號空間所對應的階數。

SVD 算法即是利用矩陣Σ奇異值序列的分布特點，甄別有效信號空間所對應的階數k。對角矩陣Δ對角線上的元素即為矩陣X對應的奇異值序列，將該序列按照奇異值元素絕對值大小進行排序，可以寫為：σ11,σ22,…,σkk,σ(k+1)(k+1), …,σnn。其中奇異值序列中σ11,σ22,…,σkk元素數值較大，且數值變化幅度較小。而第k+1個奇異值σ(k+1)(k+1)數值較第k個奇異值σkk會出現大幅下降，之后，序列σ(k+1)(k+1),σ(k+2)(k+2),…,σnn數值變化會再次趨于平穩，沒有明顯的波動，其原因是，采樣信號中噪聲分量相較于有效信號分量要小得多。

對含有20 dB高斯白噪聲和復合擾動的電信號進行采樣，采樣頻率設置為2 000 Hz。由采樣信號生成的Hankel 矩陣奇異值序列如圖2 所示。若將奇異值序列視為一個按照大小排布的數列，那么數列數值變化的突變點所在位置就是有效階數k。由圖2可以直觀地看出，其有效階數為4。

圖2 含噪信號Hankel 矩陣奇異值序列Fig.2 Sequence of singular values of Hankel matrix with noisy signals

在實際計算過程中，通過設定閾值函數v（k），可求取矩陣的有效階數，則有

選取閾值函數v（k）大于閾值時所對應的最小k值即為有效階數。實際SVD算法使用時，通常閾值選為0.90～0.95時效果最好。

如果k值選取過小，雖然濾波性能良好，但部分有效信號分量也被濾除，會導致重構的采樣型號特征分量缺失和提取結果不準確。而如果k值選取過大，雖然能很好保留有效信號分量，但濾波性能就會下降。

之后，對矩陣Σ中的分塊矩陣Δ進行處理，將q-k階對角元素置0，修改后的矩陣記為Σk。然后對其進行變換，有

2.2 SDM 法基本原理

式（6）所示的矩陣R，其有效秩p的選取結果會影響Prony算法提取結果的精度。由于待檢測信號復合擾動數目是未知的，傳統Prony 算法往往事先設定模型階數。如果有效秩p選取過小，容易在參數提取時遺漏部分參數信息，使得參數提取結果不完備。而如果有效秩p選取過大，會造成辨識結果參數信息冗余[14]。

基于SDM 的矩陣有效秩提取方法是通過將式（7）中矩陣R的奇異值按照大小順序進行排序，進而得到序列，即

由于實際電信號中噪聲的存在，σp+1及其后的奇異值并不為0，是一組數值趨于0 的序列。通過擬合離散的奇異值數據點生成函數，再求取函數二階導數，如滿足

即存在二階導數為0的臨界點。其中變量p對應正整數序列N+，表明在該臨界點前后矩陣奇異值發生了突變。該點就可以視為有效秩的分界點，此臨界點對應的序號即表示有效秩階數p。

求取的有效秩階數p可代入式（7）～式（9），極大減少了計算量，同時也使得式（11）提取出的參數數目更接近于真實擾動量的數目，極大減少了無效數據的數量。

3 算例仿真分析

3.1 算例仿真

電網中由于非線性負載的存在，往往含有一定比例的背景諧波，同時，伴隨逆變器工作狀態的改變，會產生寬頻振蕩這一過渡過程。仿真算例所研究的信號模型是同時包含了諧波和振蕩的復合擾動，其數學表達式為

式中：Acos(100πt) 為電網中基波信號；Aicos(2πfit+φi)e-αit為復合擾動信號分量。背景諧波可以看作是衰減因子為0 的寬頻振蕩，信號分析寬頻振蕩和背景諧波可以通過衰減因子進行區別。

復合擾動參數的設定如表1 所示，同時在信號中加入20 dB的高斯白噪聲。

表1 信號復合擾動參數Tab.1 Signal composite disturbance parameters

工礦企業中大量使用的整流器是5次和7次背景諧波的主要來源，而非線性的照明設備如節能燈，是3次背景諧波的主要來源。

信號采用頻率設定為2 000 Hz，仿真時間設定為1 s。采樣序列共包含2 000個元素，用采樣序列擬合原始信號，其波形圖3所示。

圖3 含噪聲原始信號波形Fig.3 Waveform of raw signal with noise

應用SVD 降噪算法后對原始信號進行處理，重新生成采樣序列，其擬合的波形如圖4所示。

圖4 SVD 降噪后信號波形Fig.4 Waveform of signal after SVD noise reduction

對比圖3 和圖4 可以看出，經過SVD 法重構的信號序列，其噪聲分量得到了有效的濾除。對降噪重構后的信號波形應用Prony算法進行復合擾動參數提取，可以提高提取精度。其中，暫態振蕩參數提取結果和相對誤差如表2所示。

表2 寬頻振蕩參數提取結果Tab.2 Extraction results of broadband oscillation parameters

從表2 可以看出，基于SDM 的SVD-Prony 算法能夠有效提取信號中的振蕩參數，對于寬頻振蕩參數，由于其振蕩幅度一般相對較大，擾動特征明顯，因此提取也相對容易，結果也更為準確。諧波參數提取結果如表3所示。

表3 諧波參數提取結果Tab.3 Harmonic parameter extraction results

從表3 可以看出，即使是擾動特征不很明顯的背景諧波，其參數提取結果的相對誤差也在可接受誤差范圍內。

誤差主要來源于SVD噪聲濾除環節，由于SVD降噪算法中需要設定有效信號空間階數k。階數k如果設置過大，雖然濾波效果會更好，但會使得信號部分有效成分丟失，反而影響后續Prony算法提取結果的準確性，嚴重時甚至會遺漏部分參數信息。

3.2 算法比較分析

仍采用式（12）所示的復合信號模型，并分別采用原Prony 算法、SVD-Prony 算法和基于SDM 法的SVD-Prony 算法進行擾動信號的參數提取。3 種方法對擾動信號頻率fi、參數幅值Ai和衰減因子αi提取結果對比如表4所示。

表4 Prony 算法及其改進法參數提取結果對比Tab.4 Comparisonofparameterextractionresult between Prony algorithm and its improved versions

可以看出，如果不加SVD 降噪算法，提取結果誤差很大，且頻率越高的擾動受噪聲信號影響越大，提取結果的精度越低。寬頻振蕩由于其振蕩范圍明顯，特征較為突出，反而受噪聲影響較低。基于SVD-Prony 算法由于對噪聲進行了濾除，其精度有了很大程度的提升，但相對誤差仍然較大。基于SDM 的SVD-Prony 算法更進一步，從有效秩的角度入手，在濾波操作過后，運用二階導數理論，進一步計算擾動模型的階數，使得相對誤差能夠做到3種方法中最小。但與之對應，參數提取時間相較于原算法更長。

同時，希爾伯特-黃變換和S變換也能提取復合擾動參數信息。而離散傅里葉變換僅能提取諧波參數，無法提取暫態振蕩參數。同時對比其他算法對同一信號擾動參數的提取結果，如表5所示。

表5 改進Prony 算法與其他諧波檢測算法提取結果對比Tab.5 Comparison of extraction result between improved Prony algorithm and other harmonic detection algorithms

從表5 可以看出，對于暫態振蕩擾動，S 變換、希爾伯特-黃變換和改進Prony 算法提取結果的相對誤差接近。但對于背景諧波擾動，改進Prony算法的相對誤差小得多，原因在于改進Prony 算法添加了噪聲濾除環節和模型參數選取環節。此外，3 種不同類型算法的參數提取時間對比如表6所示。

表6 算法參數提取時間對比Tab.6 Comparison of parameter extraction time among different algorithms

從表6 可以看出，S 變換和希爾伯特-黃變換參數提取所需時間更長。經仿真算例驗證，改進Prony算法能準確提取諧波和振蕩復合擾動參數信息，且較其他類型算法所需時間更短。

3.3 現場數據分析

為了檢驗本文提出的改進Prony 算法的有效性，現選取現場試驗數據進行分析，數據來源于廈門某變電站內。當電力電子設備，如逆變器和變流器在運行過程中進行工作狀態切換時，會產生電壓、電流振蕩和諧波問題，如圖5所示[15]。

圖5 現場電壓、振蕩和含背景諧波數據Fig.5 Data of field voltage,oscillations and background harmonics

對變電內采集到的現場數據，運用基于SVD和SDM-Prony算法進行參數提取，其結果如表7所示。

表7 現場數據參數提取結果Tab.7 Field data parameter extraction results

可以看出，背景諧波多為特征次諧波，復合擾動包含3、5、7、11 和13 次背景諧波和一個頻率為232.64 Hz 的振蕩。將該參數提取結果與現場電能質量分析儀器的提取結果進行對比，結果如表8所示。

表8 現場數據參數提取結果對比Tab.8 Comparison of filed data parameter extraction result

電能質量分析儀基于微機系統，針對諧波擾動采用DFT算法提取擾動參數信息，針對振蕩擾動采用改進S變換法提取擾動信息，由于經過多次迭代計算，其提取結果相對準確，但耗時長得多。通過對比現場數據分析結果，本文提出的改進Prony 算法的擾動參數提取結果的相對誤差也處于一個較小的區間內。

4 結 論

本文提出的基于SDM 和SVD-Prony 算法具有以下的特點和優勢：

（1）針對原有的Prony 算法在進行擾動參數提取時易受噪聲影響且提取結果很大程度受模型階數影響，本文提出的改進方法首先采用SVD 降噪法，對電網中含噪聲的信號進行濾波并重構采樣信號。接著，運用SDM 法，對重構后的信號序列進行分析，計算擬合函數后二階導函數為0 的序列點，進而確定Prony 算法模型的階數。最后應用Prony算法提取擾動信號的頻率、幅值、衰減因子等參數信息。

（2）仿真實驗和現場數據分析證明了方法的有效性。同時對比分析了3 種算法對同一信號波形的參數提取結果，對比發現基于SVD 的SDM-Prony算法具有最優的提取精度。