建設“四性”課堂,促進有效學習*
——以“完全平方公式”的教學為例

甘曉云

? 廣西壯族自治區南寧市第二中學

當前處于知識經濟迅猛發展的時代,教師肩負著培養高素質人才的使命,這就需要教師加強自身專業水平,以順應新課程改革的時代需求[1].基于此,教師需要展開課堂有效性的探索,努力建設“四性”數學課堂,凸顯“以生為本”的教學理念,積極推進課堂教學的改革.何謂“四性”課堂?該如何建設“四性”數學課堂?筆者在比較分析的基礎上,基于“完全平方公式”的教學,探索闡述自身的所思所行.

1 以激趣性情境調動學習的主動性

課堂導入需做到激趣引思以調動學習的主動性,這是建設“四性”課堂的基礎.這就需要教師從學科特點和學生學習水平出發,為數學問題賦予真實有趣的情境,以調動學生學習的主動性,激活學生迫切解決問題的心理需求,自主自發地投入到趣味性和挑戰性的問題解決之中,最終品嘗到成功的喜悅.

片段1激情導入

故事情境：很久以前,村里住著一個貪心邪惡的地主老爺,他不僅擁有萬貫家財,還擁有兩塊土地,一塊面積是a2,另一塊面積是b2.窮小子阿拉只有一塊面積是(a+b)2的土地.這一天,貪心的地主老爺找到阿拉,說:“阿拉,我想用我家的兩塊土地和你的一塊土地交換,可以嗎?”如果你是阿拉,你會和地主老爺交換土地嗎?

一般情況下,創設問題情境的方式多樣,可以是賦予現實場景,也可以是賦予生動的情境,將其融合為情境問題.而不管采用哪種方法,我們的目的都是使其具備激趣性,讓學生體驗到問題的生動、鮮活、熟悉和趣味,以增強學生的情境體驗,將其帶入情境之中,不由自主地進行新知的探索.以上片段中,教師為數學問題添加情境,就是為問題穿上華麗的外衣,激發學生的好奇與興趣.以興趣驅動思維,讓學生產生迫切解決問題的沖動,進而投入到問題的探索中,問題的解決和課堂氛圍的高漲也就順理成章了.

2 以針對性活動加深對數學本質的理解

增強對數學本質的理解就是指通過體驗數學知識的發生過程,理解知識的來龍去脈,領悟知識間的區別與聯系,完成對數學本質的洞察.這就需要教師從數學本質出發,通過針對性的設計,借助學具操作等方式,引導學生通過拼、畫、剪等操作活動,切實體驗數學探究的旅程,感受知識發生的過程,以形成對知識本質的深刻理解,提高思維能力和創新能力.

片段2活動設計

活動1：想一想.

師:從片段1的故事中,你發現了哪些數學表達式?

生1:可以將(a+b)2視為(a+b)(a+b).

師:那就請你們通過兩個多項式相乘這一方法進行計算.(教師快速板演學生的想法.)

師:我們稱(a+b)2這一形式為“兩數和的平方”,那誰能例舉“兩數差的平方”?(學生很快作答,教師再次板書.)

師:請同學們試著各設計1個“兩數和的平方”及“兩數差的平方”的式子,再借助多項式乘以多項式計算,看看結果是什么.誰愿意上來板演你的方法?(學生積極舉手,教師隨機請兩名學生板演.)

師:我們一起來觀察黑板上的式子,你能從中發現什么?

生2:我發現了三點.(1)所有結果都是三項;(2)首項與末項均是平方,前面的符號也均為正;(3)首項是前一個數的平方,末項是后一個數的平方,而中間項是兩數積的2倍,同時首、末項均為正.

師:能將你的發現總結提煉一下嗎?(生2思考后娓娓道來,教師完善并板演.)

生:兩數和(差)的平方等于這兩個數的平方和與它們積的2倍的和(差),即

(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.

活動2：拼一拼.

師:ab可對應矩形的面積,a2,b2則可對應正方形的面積.現在請同學們試著用圖形去說明以上公式.可以利用邊長分別為a,b(a>b)的正方形紙片各一張,長和寬為a,b的長方形紙片各一張,以小組合作的形式進行,通過想、拼、說等形式展開.(學生展開探討,教師巡視.)

生3:如圖1,我們組探索并驗證了公式(a+b)2=a2+2ab+b2,利用的是整體表示和分開表示同一個大正方形的面積.

生4:如圖2,我們組探索并驗證了公式(a-b)2=a2-2ab+b2.左上角的小正方形邊長是a-b,面積為(a-b)2,可以視為邊長是a的大正方形減去2個邊長和寬為a,b的長方形,由于多減了1塊,因此加上1個邊長為b的正方形的面積.

活動3：算一算.

問題1圖形中的a,b都是正數,那么如何說明對于任意的實數a,b,公式都成立呢?請借助多項式乘多項式的法則進行計算.

數學的美體現在“數”與“形”的協調統一,數形結合是解決問題的有效策略.以上活動設計中,教師讓學生在想、拼、算中親歷知識的形成過程,感悟其中蘊含的思想和方法,感受代數和幾何間的協調美,凸顯對完全平方公式本質的理解和掌握[2].

3 以有效性練習加強知識的應用性

教學中最基本、最廣泛的要求就是看學生課堂參與度是否高,取得的學習效果是否好.因此,在教學中,教師需要通過有效性練習讓學生親歷知識應用的過程,在解決問題的過程中感悟數學概念、數學思想對現實生活的影響,切實體會到數學知識是有用的,從而自主自發地投入到新知的探索和挖掘中去,完成對知識應用性的追求.這樣,數學教學才會達到應有的效果.

片段3知識應用

師:現在大家可以替阿拉答復地主老爺了嗎?

生1:當然不能換.因為(a+b)2=a2+2ab+b2,顯然比a2+b2要大.

生2:兩個數進行比較也是要有前提的,這里a,b都是正數.

練習:先選擇公式,再計算.

①(5+3p)2; ②(2x-7y)2.

在知識應用環節回歸導入環節,通過釋疑解惑感受完全平方公式的應用價值.進一步地,通過練習,學生明晰公式的基本應用,了解公式間的聯系,促進應用意識的建構.經歷這樣的學習過程,學生能透徹地理解完全平方公式的價值,實現“學以致用”.

4 以開放性問題增強學習的創新性

培養創新能力是素質教育的重心,也是新課程理念中最為關注的問題.這就需要教師針對性地設計學習活動,以開放性問題轉變學習方式,為學生搭建思維的“腳手架”,更好地彌補教學中開放性不足、主體性不強、創新性不高等特征,讓學生多方位、多角度去思考和探索問題,最終實現思維的進階,增強學習的創新性.

片段4拓展延伸

問題2圖3是一個長方形,長為4a,寬為b,用剪刀沿著虛線將其平均分為4塊小長方形,再將這4塊小長方形拼為圖4所示的1個“回形”正方形.觀察圖形后,利用觀察的結果解決以下問題:

圖3

圖4

(1)當m+n=5,mn=4時,m-n=______.

(2)已知(2x-500)(400-2x)=2 020,試求(4x-900)2的值.

以上片段4中教師出示的問題是教材問題的改編,改編后的問題更具開放性和挑戰性,需要學生利用好本節課學習中的經驗,還需要考慮等量關系的運用方式.學生在解決問題時各顯神通,有的靈活應用新知,有的借助特殊值法求解,真正鍛煉了學生的思維,實現了活學、活用、活化.這樣的學習過程,也真正是高效而深入的.

總之,建設主動性、本質性、應用性、創新性的“四性”數學課堂,需要教師基于教學內容的內在線索精心設計教學活動,著眼于相關內容的數學本質來整體組織教學過程,讓學生在激趣性情境中深入思考,在針對性活動中深度探索,在有效性練習和開放性問題中有效思維.只有這樣,才能讓教學達到應有的深度,才是真正有效的數學學習,才能讓學生在生機勃勃的數學課堂中發展思維、提高素養.