一道三角形中線試題的多角度探究

吳志峰

一、真題回放

（2023年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第17題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3，D為BC中點，且AD=1．

二、試題分析

三、試題解析

第（1）問的求解過程

解法1：利用余弦定理解三角形

解法2：作高法

【評注】在三角形的面積問題中，作高法是一個常見的方法，而且作高的本質(zhì)也是在構(gòu)建完全可解的Rt△ADE，而且作高后tanB的值恰好可以在Rt△ABE中利用正切的定義求得，從而使問題得到簡化.

第（2）問的求解過程

解法1：利用互補的角構(gòu)建方程

在△ABD與△ACD中，由余弦定理得：

【評注】本題條件中并沒有發(fā)現(xiàn)明顯的完全可解的三角形，如何利用正余弦定理構(gòu)建方程組是解題的關(guān)鍵.在本題的幾何圖形中，有三個三角形，在這類多三角形的幾何問題中，往往借助幾個三角形的相關(guān)聯(lián)的角（公共角、互補、互余）或公共邊來構(gòu)建方程組.解法1利用了△ABD與△ACD的一對互補的角來構(gòu)建方程，解法2利用△ABD與△ABC的公共角來構(gòu)建方程，體現(xiàn)了函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用，這也是利用正、余弦定理解決此類問題的通法.

解法3：利用中線的向量公式

【評注】新教材把解三角形的知識放在了平面向量這一單元中，突出了向量方法在平面幾何中的應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性和應(yīng)用性，也突出了向量法在解三角形問題中的地位.向量法是解三角形問題中的常用方法，向量法在三角形中線問題中有著廣泛的應(yīng)用，利用三角形中線的向量公式或極化恒等式等，通過向量的運算可以快速得到三角形邊角之間的聯(lián)系，為解題提供方便.

解法5：利用中線長公式

在△ABC中，因為D為BC中點，

得a2=2（b2+c2）-4AD2=12，所以a=23.（下同解法1）

【評注】中線長公式來源于人教A版教材必修第二冊第六章平面向量及其應(yīng)用的一道課后習(xí)題，在高考解答題中用這個公式需要先進行證明，可以利用余弦定理證明，也可以用向量法證明，上面的解法4、5得到的邊的關(guān)系就是中線長公式的一個變形.如果能夠熟練掌握這個公式，在求解三角形中線的問題中可以事半功倍.

解法6：補形后再解三角形

△ABF中，由余弦定理得：AF2=b2+c2-2bccos∠ABF，

所以2bccos∠ABF=b2+c2-AF2=8-4=4，

所以bc=4，聯(lián)立b2+c2=8解得b=c=2.

【評注】此解法通過補形，借助平面幾何中全等三角形的知識，把問題轉(zhuǎn)化成解△ABF的問題，從而把一個多三角形的問題轉(zhuǎn)化成了單個三角形的求解問題.通過圖形轉(zhuǎn)化，使條件更簡潔和便于運算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.這也是解決三角形中線相關(guān)問題一種常用的解題思路.

解法7：坐標法

如圖，以BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，

設(shè)A（x，y），B（-t，0），C（t，0），t>0.

由AD=1得x2+y2=1.

由b2+c2=8得（x-t）2+y2+（x+t）2+y2=8，

【評注】坐標法是解決幾何問題的常用解法之一，通過引入坐標系，借助坐標來表示平面幾何中的邊和角，再進行求解的過程.解三角形問題本身就是一個幾何問題，當我們用正余弦定理求解遇到困難時，不妨試試坐標法.

四、解題反思

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，我們從不同角度對這個高考題進行求解，特別是對第（2）問的解析中，更是有多種構(gòu)建方程的思路和方法，解法1、2利用正余弦定理構(gòu)建方程，解法3、4利用向量構(gòu)建方程，這兩個解法是解決解三角形問題的通法，突出考查函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，要求考生能夠熟練掌握.解法6、7從幾何角度進行求解，巧妙借助平面幾何的知識和解析法，使問題得到簡化，是解決解三角形問題的特殊解法。了解這些解法有助于同學(xué)們了解知識之間的聯(lián)系，對提升解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有很大的幫助.通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，在解決三角形的中線及其相關(guān)問題時，以下幾個常用的公式給解題帶來很大幫助，我們需要牢記.

五、練習(xí)題

下面整理幾道與三角形中線有關(guān)的練習(xí)，從求邊長、求角度、求面積、求最值、求范圍五方面進行整理，供各位考生參考.

1.求邊長

2.求角

練習(xí)2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D為AC中點，BD=b，求cos∠ABC.

【簡析】由中線長公式得4BD2=4b2=2a2+2c2-b2，

又b2=ac，所以2a2+2c2-5ac=0，

解得a=2c或c=2a，

3.求面積

【簡析】

設(shè)BD=DC=t，t>0，

△ABD中，AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=4+t2+2t，

△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=4+t2-2t，

5.求范圍

【簡析】