分離式減震榫的阻尼力模型研究—基于Ramberg-Osgood 模型

魏 標，閔浩崢，汪偉浩,2，李姍姍

(1.中南大學土木工程系，湖南，長沙 410075；2.廣東省交通規劃設計研究院集團股份有限公司，廣東，廣州 510440)

分離式減震榫在橋梁抗震設計和實踐中取得了良好的抗震效果[1-5]。研究結果表明，分離式減震榫能夠很好地限制梁端位移，并滿足高鐵對行車要求。研究中常采用雙線性本構來描述金屬阻尼器的力學性能[6-8]。然而針對雙線性本構能否描述分離式減震榫在高烈度近斷層地震動作用下的力學行為的相關研究較少。同時，往復荷載作用下低碳鋼的本構關系較為復雜，呈現出依賴于加載歷程的包辛格效應，棘輪效應和循環強弱化效應等非常重要的強非線性特征[9-11]。基于理想彈塑性本構推導的分離式減震榫的骨架曲線，并不能和試驗結果相吻合[12]。為了得到能反映分離式減震榫力學性能的骨架曲線數據，往往需要進行試件的擬靜力試驗，消耗很高的成本。總而言之，目前很少有文獻從材料層次出發，研究分離式減震榫的力學性能。缺乏準確高效的描述分離式減震榫力學性能的相關模型，造成了分離式減震榫的耗能性能評估、參數優化設計以及低周疲勞分析等多方面的困難。

1943 年，RAMBERG 和OSGOOD[13]提出一種光滑模型(簡稱R-O 模型)，來描述低碳鋼在循環荷載作用下的應力-應變骨架曲線，如式(1)所示：

式中：K＇為循環強化系數；n＇為循環強化指數，均為控制骨架曲線形狀的參數。HIROMASA[14]基于R-O 模型討論了剪力對等截面梁的影響。SZULADZINSKI[15]基于 R-O 模型推導了等截面梁在塑性鉸區域的彎矩-曲率公式。LANZAGORTA[16]基于R-O 模型推導了等截面懸臂梁受剪時的變形公式。李冀龍等[17]基于 R-O 模型，建立了X 型鋼板阻尼器的阻尼力模型。結果表明，該模型相較于雙線性強化模型更加能夠擬合阻尼器實際的滯回曲線。文獻[7, 18 - 19]的研究則表明，R-O 模型能很好地擬合低碳鋼在逐級對稱加載作用下的應力-應變骨架曲線。

本文基于R-O 模型，推導了分離式減震榫骨架曲線的計算方法，并與金屬材料有限元仿真中常用的Chaboche 混合強化模型[20]下的計算結果進行比較。隨后，基于該方法，提出一種雙線性模型的簡化算法。并以一座通用的32 m 高鐵簡支梁橋為背景，討論近斷層脈沖地震動作用下雙線性模型的適用性。

1 簡化力學模型

當分離式減震榫上、下兩端發生相對位移時，可利用對稱性取其一半進行分析。根據等強度梁理論[2]，分離式減震榫的幾何計算模型如圖1所示。榫身橫截面為圓形，根據直徑變化方式，分為耗能段和傳力段。其中：L為榫身高度；L1為過渡段高度；x為榫身橫截面到傳力段頂端的距離。截面直徑d(x)的計算見式(2)：

圖1 分離式減震榫示意圖Fig.1 Diagram of separated shock absorber

式中：d1為傳力段直徑；a為截面系數。

在小變形情況下，分離式減震榫豎向變形較小，受力特征與懸臂梁類似，只考慮彎矩作用產生的變形。假定分離式減震榫的橫截面彎曲變形后仍保持為平面，且仍與變形后的截面軸線垂直。

1.1 力學參數計算方法

1.1.1 彈性剛度

當材料處于線彈性階段時，由結構力學計算理論，可求解出分離式減震榫的剛度為：

式中：M0(x)為單位荷載作用下，距裝置頂端x處截面承受的彎矩值；E為彈性模量；I(x)為截面慣性矩。

1.1.2 骨架曲線

當分離式減震榫處于小變形狀態時，可采用一種簡化計算方法來計算分離式減震榫骨架曲線，計算步驟如下：

1) 將分離式減震榫平均劃分n段，每一段高度為t=L/n，如圖1 所示。假定每一段的截面直徑hi和曲率ki保持不變。

2) 在傳力段頂端施加給定水平力F，得到任意第i個截面的彎矩Mi,

3) 聯立式(2)、式(5)和式(1)，通過二分法求出任意截面的曲率ki(見式(6))。

4) 根據各個截面曲率即可求出分離式減震榫的位移u：

上述求解分離式減震榫骨架曲線的計算方法可根據圖2 自編程序實現電算。

圖2 骨架曲線計算流程圖Fig.2 Flow chart of skeleton curve calculation

2 雙線性模型簡化算法

為了給工程設計提供簡潔并具有一定精度的參考公式，方便有限元模擬分析，目前工程中多采用雙線性模型來描述分離式減震榫的骨架曲線[21]，如圖3 所示。

圖3 理論滯回模型Fig.3 Theoretical hysteretic model

圖3 中：點1 為彈性極限點；點2 為彈性直線延長段與屈服后平臺段延長線的交點，即屈服點；點3 為減震榫的設計極限位移點；ue、uy和umax分別為彈性極限位移、屈服位移和極限位移；Fe、Fy和Fmax分別為彈性極限荷載、屈服荷載和極限荷載；Ku為彈性剛度；Kd為屈服后剛度；α為屈后剛度比，且Kd=αKu。

根據圖2 中的計算流程，可得到分離式減震榫的骨架曲線，隨后便可以在給定極限位移的情況下，將該骨架曲線等效為雙線性本構骨架曲線。等效過程如下：

1) 假定分離式減震榫的屈服點 (uy,Kuuy)，從而確定雙線性本構骨架曲線的形狀。

2) 假定第一象限0234 的面積Ac和理論滯回環0134 面積的At相等，根據式(8)計算兩者之間的誤差t。

3) 如果t小于容許誤差t0，則認為該等效成立，否則改變uy的值，返回第一步重新計算。本文去容許誤差t0=1。

4) 確定uy后，根據屈服點和正峰值點數據，從而確定等效后的屈服后剛度Kd。等效過程可以根據圖4 自編程序以實現電算。

圖4 滯回模型簡化流程圖Fig.4 Simplified flow chart of hysteresis model

3 R-O 模型正確性驗證

為了驗證上述公式的正確性，通過建立ABAQUS有限元分析模型進行計算，并與理論結果進行對比驗證。分離式減震榫的幾何參數按照文獻[2]選取，其中，L=370 mm，L1=40 mm，d1=60 mm，a=11.404。采用C3D8R 實體單元進行幾何建模，如圖5 所示。

圖5 分離式減震榫有限元模型Fig.5 Finite element model of separated shock absorber

文獻[19]通過試驗對比了常用的LYP225 在循環荷載和單軸拉伸荷載作用下的力-位移曲線。

試驗結果顯示，LYP225 在循環荷載下的應力-應變曲線與單軸拉伸應力-應變曲線有了較大的區別；通過Chaboche 本構和R-O 模型能夠較好地描述LYP225 鋼材在循環荷載作用下的應力-應變滯回曲線和骨架曲線。其中：LYP225 的彈性模量E為160 000 MPa，屈服強度為199 MPa；R-O 模型的參數取值為n' =0.24，K'=400 MPa；Chaboche本構等向強化和隨動強化的相關參數如表1 所示。其中： σ|0為0.01%塑性應變時應力；Q∞為屈服面半徑的最大變化值；b為屈服面半徑隨塑性應變增加的變化率；Ck為第k(k=1, 2, 3, 4)個背應力的最大變化值； γk為第k個背應力水塑性應變增加的變化率。圖6 為基于Chaboche 本構、R-O 模型和理想彈塑性本構計算得到的應力-應變關系對比圖。從圖中可以看出在小應變狀態下Chaboche 本構和R-O 模型計算得到的應力-應變骨架曲線基本能夠重合，并且和理想彈塑性本構骨架曲線相差較大。

表1 Chaboche 本構參數標定表Table 1 Parameters of Chaboche constitutive model

圖6 應力-應變曲線對比圖Fig.6 Comparison of stress-strain curves

為準確模擬減震榫擬靜力試驗，在ABAQUS中對榫身底部采用固結約束，定義傳力筒和榫頭為硬接觸，不考慮接觸過程中的摩擦力作用。控制分離式減震榫頂部在x方向進行平動加載，加載歷程如圖7 所示。

圖7 加載制度Fig.7 Loading scheme

圖8 為分離式減震榫基于Chaboche 本構，R-O模型和理想彈塑性本構計算得到的骨架曲線對比圖。從圖中可以看到，在150 mm 極限位移以內，Chaboche 本構和R-O 模型計算所得到的骨架曲線基本吻合，而理想彈塑性本構無法描述分離式減震榫進入彈塑性狀態后的力學性能，從而驗證了骨架曲線理論推導公式的正確性。圖9 為分離式減震榫基于Chaboche 本構和理想彈塑性本構得到的滯回曲線和基于R-O 骨架曲線簡化得到的雙線性本構滯回曲線的對比圖。從圖中可以看出，在位移加載逐級遞增的過程中，雙線性本構能夠更好地描述在實際正向加載和反向加載過程中任意特定位移下的力的大小，同時雙線性本構下每一圈滯回面積也更加接近實際的滯回耗能。當位移幅值較小時，低碳鋼的等向強化效應并不明顯，以隨動強化為主，此時雙線性本構滯回面積要大于Chaboche 本構滯回面積，而隨著位移幅度增大，等向強化效應逐漸占據主導地位，Chaboche本構滯回面積開始大于雙線性本構的滯回面積。

圖8 骨架曲線對比圖Fig.8 Comparison of skeleton curves

圖9 滯回曲線對比圖Fig.9 Comparison of hysteretic curves

4 雙線性簡化滯回本構適用性評估

雖然雙線性本構能夠較好描述在逐級對稱加載作用下的分離式減震榫的力學性能，然而在實際工程中橋梁所受到的循環荷載往往不完全對稱。尤其是在具有脈沖效應的高烈度近斷層地震動作用下，根據不同的材料滯回本構模型得到的彈塑性地震反應結果可能會存在不可忽視的差異，雙線性本構用于橋梁結構的彈塑性地震反應分析的適用性仍然有待仔細評估。

4.1 橋梁建模

4.1.1 主梁

本文橋梁計算模型選取一座通用的32 m 雙線鐵路預應力混凝土簡支梁橋。主梁為后張法預應力混凝土雙片T 型梁[22]。每2 片單獨的T 型梁之間采用橫隔板連接，沿縱橋向每4 m 1 個。截面設計尺寸參考《通橋(2012)2201-I(32 m)》設計圖紙，如圖10 所示。T 型梁上翼緣寬2.28 m，下翼緣寬0.88 m，腹板寬2.4 m，梁高2.7 m。混凝土材料的強度等級為C55。根據設計圖紙，主梁自重為297.6 t，二期恒載為101.26 t/m。

圖10 主梁橫截面 /mmFig.10 Cross-section of main girder

過往對于橋梁震害的調查資料都表明，主梁在強震下仍然保持彈性狀態[23-26]，因此忽略鋼筋和預應力筋，采用C3D8R 實體單元模擬主梁，將混凝土材料設置為彈性，其彈性模量為36 000 MPa，泊松比為0.2。將軌道結構模擬為等質量、體積大致相等的實體，附加在主梁上。

4.1.2 橋墩

橋墩采用9 m 墩高的變截面圓端形實心橋墩。橋墩混凝土材料采用C35 混凝土，縱筋采用HRB400。橋墩構造示意圖如圖11 所示，橋墩截面的配筋率在0.2%～0.3%。通過C3D8R 實體單元模擬橋墩，在墩底1/3 墩高范圍內向下逐漸加密網格。混凝土本構采用ABAQUS 內置的混凝土塑性損傷模型進行模擬。受壓恢復因子wc和受拉恢復因子wt分別按默認值取為1 和0，混凝土具體的本構關系如圖12 所示。鋼筋材料的本構采用理想彈塑性本構進行模擬。鋼筋和混凝土的相互作用類型為“內置區域”約束，不考慮混凝土和鋼筋的粘結滑移效應。TSOPELAS 等[27]在研究中指出，在硬土地區樁土相互作用對隔震支座的基礎振動周期是可以忽略不計的。為了減小數值計算的負擔，同時控制對無關因子對數值計算結果的影響，假定橋墩底部的約束為固結約束，不考慮樁土相互作用。

圖11 橋墩構造 /mmFig.11 Pier structure

圖12 混凝土拉壓損傷本構 /mFig.12 Damage constitutive relationship of concrete

4.1.3 支座建模

摩擦擺支座組合金屬阻尼器已經成為近斷層抗震中常用的組合減隔震措施[22,28]。在每一跨主梁的兩端分別布置2 個摩擦擺支座和14 根分離式減震榫，如圖13 所示。摩擦擺支座的等效半徑取1500 mm，摩擦系數假定為0.02[28]。分離式減震榫的實體單元建模如圖5 所示。通過綁定約束將分離式減震榫底部和橋墩頂部固結，通過MPC 約束固結傳力筒和主梁底部，隨后通過面面接觸定義傳力筒和分離式減震榫之間的接觸關系，從而以此限制主梁和橋墩之間的相對位移。通過設置3 種本構進行對比分析。首先通過ABAQUS 內置的Chaboche 本構模擬分離式減震榫在實際工作過程中的力學行為[29]，其參數標定如表1 所示。作為對比，通過在主梁和橋墩之間設置笛卡爾連接器來描述圖9 的雙線性本構的力學行為從而檢驗滯回模型簡化算法的適用性，以及通過定義分離式減震榫的材料為圖6 中理想彈塑性本構來對比忽略各向同性強化效應對計算結果造成的影響。

圖13 鐵路簡支梁橋有限元模型Fig.13 Finite element model of simply-supported railway bridge

4.1.4 地震波輸入

根據《鐵路工程抗震設計規范》[30]中的目標反應譜，從美國太平洋地震工程研究中心(PEER)數據庫中選取了7 條適合Ⅱ類場地的近斷層脈沖地震動記錄[31]。由于該橋梁位于9 度地區，考慮到遭遇罕遇地震的情況，分別將各條波的峰值加速度調整為0.64g，并沿縱橋向輸入。所選地震波參數見表2。將七條地震波的加速度反應譜轉化成動力放大系數β 曲線，并在調整后與目標反應譜進行對比，如圖14 所示。

表2 輸入地震記錄特征Table 2 Characteristics of selected earthquake records

4.2 支座位移對比

選取P2 橋墩的摩擦擺支座在1 號地震作用下的位移時程進行詳細分析，如圖15 所示。從圖中可以看出，近斷層地震動的速度脈沖導致支座出現較大的位移沖擊，這使得理想彈塑性本構和Chaboche 本構下計算出來的支座位移在t=11.4 s和t=12.2 s 處出現了明顯的偏差。圖16 為分離式減震榫在三種本構下的滯回曲線對比圖。由圖16可得，由于在每一次滯回過程中，分離式減震榫按照非等幅加載進行滯回，各項同性強化效應不明顯。雙線性本構下的分離式減震榫的剪力總是偏大，從而導致其支座位移偏小于Chaboche 本構下的支座位移，如圖16 中t=11.4 s 時所示。而在大幅值變形過程中則相反。如在t=12.2 s 時，各項同性強化效應占據主導，Chaboche 本構下的剪力與雙線性本構下的剪力接近，進而雙線性本構下支座位移與Chaboche 本構下的支座位移接近。理想彈塑性本構則完全忽略了低碳鋼在循環荷載作用下的各向同性強化特性，進而嚴重低估了分離式減震榫的變形剪力。故而，基于理想彈塑性本構得到的支座位移峰總是偏大。表3 給出了基于不同本構下的P2 橋墩位移峰值的對比，其中Difference1 和Difference2 分別表示了雙線性本構和理想彈塑性本構下支座位移峰值與Chaboche 本構支座位移峰值的誤差百分比。由于雙線性本構所計算的支座位移峰值相較于Chaboche 本構所計算的結果的平均誤差能夠控制在5%以內，基本能夠保證基于雙線性模型得到的計算結果的安全性，而基于理想彈塑性本構計算所得到的支座位移峰值相較于Chaboche 本構所計算的結果的平均誤差高達18.13%，并不適用于描述實際工程應用中的分離式減震榫的工作性能。

表3 P2 支座位移時程最大值比較Table 3 Comparison of peak displacement of P2 bearing

圖15 支座位移時程對比Fig.15 Comparison of bearing displacement time history

圖16 分離式減震榫滯回曲線對比圖Fig.16 Comparison of hysteretic curves of separated shock absorber

4.3 墩底彎矩對比

圖17 為P2 橋墩在1 號地震下墩底彎矩時程對比。從圖中可以看出，三種本構模型計算得到的墩底彎矩時程基本一致，其原因是由于在罕遇近斷層地震動作用下，墩底已經出現了混凝土裂縫和鋼筋屈曲。表4 為不同本構下P2 橋墩墩底彎矩峰值對比。從表4 可以看出，雙線性本構計算所得到的墩底最大彎矩總是偏大，而理想彈塑性本構計算所得到的墩底最大彎矩總是偏小，這說明基于雙線性本構計算所得到的墩底彎矩時程是偏于安全的。

表4 P2 墩底彎矩峰值比較Table 4 Comparison of peak bending moment at pier bottom of P2

圖17 墩底彎矩時程曲線對比圖Fig.17 Comparison of pier bottom bending moment time history

5 結論

本文基于R-O 模型進行了分離式減震榫的阻尼力模型研究，通過理論分析和數值模擬得到如下結論：

(1) 基于R-O 模型推導了分離式減震榫的力-位移骨架曲線的計算方法。計算結果表明，在設計位移以內，基于R-O 模型計算所得到的骨架曲線能夠較好地吻合Chaboche 本構下分離式減震榫的骨架曲線。

(2) 提出一種雙線性本構的簡化方法。ABAQUS擬靜力計算結果表明，雙線性本構能夠較好地擬合Chaboche 本構下的滯回曲線。在分離式減震榫位移較小時，雙線性滯回曲線所圍成的滯回面積大于Chaboche 本構下的滯回面積；隨著變形的增大，Chaboche 本構下的滯回面積逐漸大于雙線性滯回曲線所圍成的滯回面積。

(3) 在近斷層脈沖地震動作用下，雙線性本構計算得到的支座位移時程能夠較好擬合Chaboche本構計算所得到的支座位移時程。兩者計算得到的支座位移峰值的平均誤差可以控制在5%以內。基于雙線性本構所得到的墩底最大彎矩，普遍偏大于Chaboche 本構下計算得墩底最大值彎矩，并且其平均誤差能夠控制在10%以內。本文提出的雙線性滯回本構的簡化方法用于工程計算是安全且合理的，基于R-O 模型的雙線性模型簡化算法能夠適用于高烈度地區近場脈沖地震動作用下的抗震設計。