混凝土動態雙軸壓縮強度準則細觀研究

李 健，金 瀏，余文軒，杜修力

(北京工業大學城市減災與防災防護教育部重點實驗室，北京 100124)

良好的抗壓性能是混凝土的特點和優點之一。無論是在土木工程科學研究還是結構設計中，混凝土的單軸壓縮強度普遍被用于理論計算與結構驗算。《混凝土結構設計規范》(GB 50010-2010)[1](以下簡稱規范)對于混凝土結構承載能力極限狀態計算和正常使用極限狀態驗算，大多將混凝土單軸軸心抗壓強度標準值或設計值作為計算參數。實際上，混凝土結構在服役期內常處于多軸應力狀態。對此，少數學者針對混凝土在多(雙)軸荷載下的力學性能進行了試驗研究[2-7]。研究結果表明：混凝土在多軸工況下的破壞模式、應力-應變曲線和強度等，均與單軸工況有明顯區別。要了解混凝土的多軸力學行為，雙軸工況是基礎。綜上所述，有必要對混凝土雙軸力學性能，尤其是雙軸抗壓性能，進行深入研究。

正常使用的混凝土結構主要承受靜荷載作用。但是，不可預知卻具有強大破壞性的地震、沖擊和爆炸等動態荷載時常會威脅建筑結構的安全[4]。混凝土是一種應變率敏感性材料，不同學者分別在動態單軸和雙軸工況下對混凝土的力學行為進行了物理試驗和數值研究[4-7]。研究結果表明，隨應變率逐漸增大，混凝土試塊的開裂裂縫逐漸增多，強度也逐漸增大。由于在動態荷載下開展物理試驗，對試驗設備和條件要求較高，并且數據收集較困難，目前對于混凝土材料動態力學性能的研究大多處于低應變率范圍(10-5s-1≤ε˙≤10-2s-1)內。同樣，混凝土雙軸加載試驗條件較單軸要求更高。總體而言，在有限的研究工作中，動態雙軸試驗相對較少，對于混凝土動態雙軸力學性能的試驗研究更不充分。

研究混凝土雙軸強度準則，是研究其雙軸力學性能的前提。目前，一些學者開展了相關試驗來研究混凝土靜動態雙軸強度準則。表1 列出了包括規范在內的一些不同形式的強度準則。一方面，對于混凝土靜態壓-壓強度準則，除規范建議的表達式外，由KUPFER 和GERSTLE 提出的“K-G”準則[8]也具有一定代表性。簡化變形后的“K-G”準則可以直接反映混凝土壓縮強度與側應力比的關系，因此該準則得到了眾多研究混凝土雙軸強度準則學者的參考和驗證[2-7,9]。另一方面，對于混凝土動態壓-壓強度準則，閆東明和林皋[9]考慮應變率和側應力比對混凝土強度的影響，結合物理試驗數據提出了適用于低應變率的動態雙軸壓-壓強度準則。文獻[4 - 7]分別對不同類別混凝土開展了動態雙軸壓縮試驗，并對文獻[9]提出的強度準則進行了不同角度的驗證。此外，如表1 所示，程卓群等[10]在“K-G”準則基礎上引入受應變率影響的動態強度，提出了“改進K-G 準則”。張玘璐等[11]僅將受應變率和側應力比單獨影響后的強度數值相乘，也得到了相應的強度準則。如上所述，目前混凝土靜態雙軸壓-壓強度準則已有較為完善的體系。由于動態試驗數據少、離散性大，且不同學者選取的擬合方法多樣，導致僅有的混凝土動態雙軸壓-壓強度準則形式尚不統一，體系并不完善。另外，大多數物理試驗僅能在低應變率范圍內開展，導致據此提出的動態強度準則也僅適用于低應變率。那么，這些強度準則是否適用更高應變率范圍還有待驗證。近年來，低成本、高精度的細觀數值模擬方法擺脫了傳統物理試驗條件的限制，為研究混凝土的損傷機理和力學性能提供了有效手段[12-19]。本研究應用細觀數值模擬方法建立細觀力學分析模型，在更高應變率范圍內探究應變率和側應力比對混凝土動態雙軸壓縮力學行為的影響，在對細觀模型和模擬結果進行多角度驗證后，建立靜態、動態雙軸壓-壓準則并進行初步驗證。

表1 混凝土雙軸強度準則研究現狀Table 1 Research status of concrete biaxial strength criteria

1 細觀數值模擬方法

1.1 細觀模型

文獻[14 - 19]考慮混凝土材料的非均質性，在細觀層面將混凝土材料定義為由骨料顆粒、砂漿基質及兩者之間的過渡區(interfacial transition zone，ITZ)等介質組成的多相復合材料。同文獻[14 - 19]，本研究采用隨機骨料模型來研究混凝土的力學行為。假定粗骨料為球形顆粒，粗骨料含量約為40%。采用二級配混凝土(含2 種骨料粒徑顆粒：直徑d為30 mm 的中石顆粒和d為12 mm的小石顆粒)。基于蒙特卡羅方法(Monte Carlo method)將骨料隨機投放，生成混凝土立方體試件(如圖1)。定義球形骨料與砂漿基體之間的等厚薄層為界面過渡區(ITZ)。需要說明：事實上混凝土內部ITZ 厚度約為20 μm～50 μm，但這為三維數值分析帶來巨大計算量。KIM 和ABU AL-RUB[20]通過研究提出，ITZ 厚度對混凝土峰后的性能影響不大。SONG 和LU[21]進行了收斂性分析，發現ITZ厚度隨名義網格尺寸在0.5 mm～2.0 mm 范圍內變化，并且得出等效ITZ 厚度的相對變化只影響模擬結果曲線的下降段，而對應力增加階段幾乎沒有影響的結論。因此，文獻[14 - 19, 21 - 23]將界面過渡區厚度設置為0.5 mm～2.0 mm。為控制計算成本，本研究將ITZ 的厚度設置為1.0 mm，該設置方式已在文獻[14, 17 - 19, 21, 24]中得到了驗證。

圖1 3D 細觀有限元模型Fig.1 3D Meso-Finite Element Model

另外，在本研究的動態荷載下，混凝土內部骨料顆粒會被貫穿而破壞。因此，為了建立與實際混凝土材料更加切合的數值模型，以得到更加準確的混凝土力學行為，參考文獻[14 - 19]，對于描述混凝土內部組分的力學性能可采用如下處理方式：對于砂漿基質，其力學性能與混凝土類似；對于界面過渡區，可看作是孔隙率較高的砂漿，因此其力學性能可在砂漿基礎上進行弱化。參考文獻[14 - 19, 21]，ITZ 和砂漿基質的材料屬性間可以用恒定比率表示。通過大量試驗及試算確定，該恒定比率約為0.70～0.85。對于骨料顆粒，在動態荷載下，混凝土內部骨料并不都是彈性體，而是會在應變率作用下被拉斷或劈裂，其力學性能可在砂漿基礎上進行強化。在有限元分析中，本構模型可描述混凝土三相內部組分的力學行為。目前，塑性損傷模型[25-27]已廣泛應用于混凝土類材料力學行為有限元分析[12,13,28-29]，下文將進行詳細介紹。

本研究細觀模型的邊界條件設置如下：設置Y軸為主軸，X軸為側軸，Z軸為自由軸。在試件頂部施加豎直向下的恒定速度vy= ε˙×D( ε˙為名義應變率)，在底部設置豎向固定約束；在試件一側施加水平向速度vx=λ×vy(λ 為側應力比)，在其對側設置水平固定約束。

1.2 本構關系

目前，塑性損傷模型[13,25-27]已廣泛應用于混凝土類材料力學行為有限元分析[12-19]。該模型假設材料破壞主要有壓碎和拉裂兩種模式，混凝土破壞面主要由等效塑形應變張量(拉應變和壓應變)確定，混凝土材料剛度退化主要由兩個獨立的各向同性損傷變量(受拉損傷因子dt和受壓損傷因子dc)表征，具體應力-應變關系可以表示為：

式中：σt為拉應力，σc為壓應力；εt為拉應變，εc為壓應變；為各向同性初始彈性模量。

多軸荷載作用下，等效塑性應變可用以下形式表示：

同時，經典Drucker-Prager 屈服面函數F可由以下形式表示：

式中，各參數可表示為：

基于以上塑性損傷模型，文獻[12, 13, 28 - 29]通過細觀有限元分析方法研究了雙軸荷載下混凝土材料的損傷機理和力學性能。其中，ZHANG 等[12]應用塑性損傷模型分別在不同雙軸工況下(壓-壓、拉-壓、拉-拉)將模擬結果與物理試驗結果進行了對比。結果表明，塑性損傷模型可以較好地模擬混凝土類材料在復雜荷載下的力學行為。

另外，考慮應變率效應，本研究采用強度放大因子(Dynamic Increase Factor，DIF)來表示混凝土內部組分的強度放大效應[4-6,9]。在動態雙軸荷載下，混凝土強度DIF 可表示為：

式中：k為材料參數，反映混凝土材料受壓時的率效應； ε˙ 為 動態應變率； ε˙s為靜態應變率( ε˙s=10-5s-1)。

參考文獻[7, 14, 18, 30]，本研究亦采用考慮應變率效應的塑性損傷模型對混凝土三相組分進行設置。此模擬方法已得到了申佳玉[7]和商懷帥[30]的物理驗證。另外，參考文獻[14 - 19]，為降低不可避免的網格敏感性問題，本研究將混凝土各組分達到抗拉強度后的應力-應變曲線替換為由HORDIJK[31]提出的“拉應力-裂縫寬度”曲線，該曲線具體表示為：

式中：ft為單軸拉伸強度；w0為拉應力下降為0 時的開裂寬度(w0=5.4Gf/ft，Gf為斷裂能)。

1.3 模型驗證

在本節中，為了驗證上述細觀數值模型和分析方法的合理性，對尚世明[4]開展的動態雙軸壓縮試驗進行了等效細觀數值模擬。表2 列出了混凝土材料各組分細觀力學參數。其中，混凝土的單雙軸壓縮強度，密度和彈性模量E的取值參考文獻[4]，其他物理參數如泊松比ν，由于物理試驗尚未給出，本研究參考文獻[14 - 19]來確定。圖2 展示了在靜態和動態單雙軸工況下數值模擬結果與試驗結果的對比。可以看出，無論是破壞模式還是應力-應變曲線，采用上述數值模型和分析方法得到的結果與尚世明[4]的試驗結果吻合較好。同時，本研究數值模擬方法在任意組合工況下的可行性和準確性也得到了驗證。

圖2 模擬結果與試驗[4]的對比Fig.2 Comparison between simulation and test results[4]

表2 細觀組分參數Table 2 Meso-component parameters

2 模擬結果與分析

為研究應變率和側應力比對混凝土動態雙軸壓縮強度的影響，進而討論和建立混凝土雙軸壓-壓強度準則，本研究設置不同應變率(低應變率：ε˙=10-5s-1(準靜態)、10-3s-1、10-2s-1；中應變率：10-1s-1、1 s-1)和不同側應力比(λ = 0 (單軸壓縮)、0.25、0.50、0.75、1.00)的組合工況，對試件邊長為100 mm 的立方體試件進行了動態雙軸壓縮工況下的數值模擬研究。

2.1 破壞模式

圖3 展示了不同工況下的混凝土破壞模式。為了更清晰地比較不同工況下的混凝土試件在同一破壞階段的破壞模式，本研究參考規范[1]，當混凝土主軸正截面極限壓應變達到0.0033 時，將各個混凝土試件的破壞模式進行對比，以此來說明在同一破壞階段下應變率和側應力比對混凝土破壞模式的影響。一方面，相同應變率下，當側應力比較小(0≤ λ ≤0.5)時，試件內部較為薄弱的區域(ITZ)首先出現損傷然后擴展到砂漿基質，損傷區域不斷擴展和演化，最終形成斜向連貫的“柱狀”裂縫。隨著側應力比增大(0.5≤ λ ≤1.0)，由于側應力的“約束”作用逐漸增強，試件內部粗骨料被劈裂破壞，試件最終形成“片狀”裂縫。另一方面，相同側應力比下，隨應變率增大，混凝土內部骨料破壞數量增多，裂紋數量增加，損傷區域增大。此時，側應力比對混凝土破壞模式的影響隨應變率增大而逐漸被削弱。

圖3 不同工況下同一破壞階段的混凝土破壞模式Fig.3 Failure modes of concrete in the same failure stage under different loading conditions

2.2 動態強度

參考文獻[4 - 7]，雙軸壓縮工況下的混凝土強度為試件破壞時雙向峰值應力的最大值。因此，本研究主要討論混凝土主軸壓縮強度，如圖4所示。隨著應變率增大，不同工況下的混凝土動態主軸壓縮強度均增大。隨著側應力比增大，混凝土動態主軸壓縮強度先增大后減小，在側應力比為0.5 左右時達到峰值。不同側應力比下混凝土的主軸壓縮強度均大于其同工況下的單軸壓縮強度。這是因為當側應力比較小時(0≤ λ ≤0.5)，較小的側應力限制了混凝土內部微裂縫的擴展和側向變形的產生，降低了主軸方向劈裂失穩破壞的可能性。由于泊松效應，側向約束作用隨側應力比增大而逐漸增強，制約橫向變形的水平慣性抗力抑制或延遲了試件宏觀裂縫的產生，使得材料破壞需要消耗更多的能量，因此雙軸壓縮強度不斷提高。但是，當側應力繼續變大時(0.5≤ λ ≤1.0)，其產生的約束作用持續變強，這加速了混凝土內部微裂縫在自由面方向的產生和擴展，導致裂縫數量逐漸變多。同時試件由柱狀失穩破壞變為片狀劈裂破壞，耗能能力減弱。因此，雙軸壓縮強度逐漸降低。此時，由于側應力并未消失，混凝土的雙軸壓縮強度依然高于其單軸強度。

圖4 不同工況下混凝土雙軸壓縮強度Fig.4 Concrete biaxial compressive strength under different loading conditions

2.3 與試驗結果對比

本節將對比數值模擬點與文獻[5, 6, 11, 32]的試驗點，來驗證由上述細觀數值模型和分析方法得到的試驗結果的合理性和準確性。由于各物理試驗條件尚不統一，這里首先對試驗數據進行“歸一化處理”(即動態主軸壓縮強度/靜態單軸壓縮強度)而后再進行對比，如圖5(a)所示。可以看出，本研究數據點的趨勢線可以較好的表示不同試驗數據點的變化趨勢。另外，考慮應變率效應，本研究在低應變率范圍內進一步與文獻[4 - 6, 9, 11, 32]的DIF 結果進行了對比，如圖5(b)所示。可以看出，本研究的DIF 數據點基本在不同物理試驗的DIF 變化范圍內，這進一步驗證了上述模擬方法和結果的合理性。

圖5 數值模擬值與物理試驗值對比Fig.5 Comparison of numerical and test results

3 混凝土雙軸壓縮強度準則

目前，對于混凝土雙軸壓-壓強度準則，不同學者通過物理試驗和數值模擬分別提出或改進了相應的強度準則(如表1)。基于此，本節首先對靜態強度準則進行對比，而后對動態強度準則進行驗證和討論。

3.1 靜態雙軸強度準則

圖6 展示了本研究數據點和文獻[3, 5, 8 - 9,33 - 41]試驗點與規范和“K-G”準則在雙軸壓-壓區內的對比結果。如圖6 所示，大部分試驗點落在規范和“K-G”準則的強度包絡線外，說明規范和“K-G”準則對混凝土材料靜態雙軸壓縮強度的評估相對安全。另外，隨著側應力比逐漸增大，不同試驗點的變化趨勢與規范和“K-G”準則的強度包絡線變化趨勢相同。因此，本研究參考文獻[2 - 3]，暫時借助已被廣泛使用的“K-G”準則的函數形式對數值模擬點進行擬合。該準則的靜態雙軸壓縮強度包絡線方程表達式可簡化為：

圖6 不同靜態雙軸壓縮強度準則的對比Fig.6 Comparison of different static biaxial compression strength criteria

參考式(15)對本研究靜態雙軸壓縮工況下的數值模擬點進行回歸分析，可得到參數a= 1，b=3.95。對比K-G 準則的各參數建議取值(a= 1，b=3.65)可知，本研究數值模擬結果是較為準確的。

3.2 動態雙軸強度準則

根據2.2 節可知，應變率和側應力比是影響混凝土動態雙軸壓縮強度的兩個主要因素。本研究首先分別考慮混凝土動態雙軸壓縮強度與側應力比和應變率間的關系，而后進行耦合以建立適用于中低應變率下的混凝土強度準則。

3.2.1 側應力比影響

參考文獻[2 - 7, 9]，根據3.1 節的回歸分析可知，式(15)可以較好地反映側應力比對雙軸壓縮強度的影響。圖7 展示了應用不同應變率下的模擬值對式(15)進行回歸分析得到的擬合結果。可以看出，在動態雙軸工況下，式(15)的應用性相對較好。表3 為不同應變率下的回歸分析參數，其中參數a可在不影響式(15)結果的基礎上簡化為a= 1。至此，可以得到動態雙軸壓縮強度與側應力比的關系為：

圖7 不同應變率下對式(15)的擬合結果Fig.7 Fitting results of Eq.(15) under different strain rates

表3 不同工況下式(15)的回歸分析參數Table 3 Regression parameters of Eq.(15) under different loads

3.2.2 應變率影響

由表1 可知，不同學者考慮應變率對混凝土強度的影響提出了相應的破壞準則。其中，由閆東明和林皋[9]提出的動態破壞準則得到了較多學者的參考和改進[4-7]。但是，受試驗設備及條件限制，該準則目前僅在低應變率范圍內適用，在更高的應變率范圍內是否適用值得研究和討論。參考文獻[4 - 7, 9]，在低應變率研究范圍內混凝土動態雙軸壓縮強度和應變率間的關系為：

首先，本研究在低應變率范圍內對式(17)進行驗證，如圖8 所示。可以看出，在低應變率下，本研究數值模擬點與式(17)吻合良好。

圖8 低應變率下數值模擬點與式(17)的擬合結果Fig.8 Fitting results between the numerical data and Eq.(17)under low strain rates

進而，在圖8 基礎上擴大應變率討論范圍對式(17)進行驗證，如圖9 所示。可以看出，當應變率增大至中應變率時，式(17)將不再適用。同樣地，這也是目前已有混凝土動態雙軸壓縮強度準則的問題點。針對此，本研究基于已驗證過準確性的試驗數據，考慮應變率與混凝土動態雙軸強度的正比關系，提出以下關系式來表達中低應變率范圍內混凝土動態雙軸壓縮強度和應變率間的關系：

圖9 不同側應力比下對式(17)的擬合結果Fig.9 Fitting results of Eq.(17) under different lateral stress ratios

式中，m、n和w為回歸參數。

圖9 展示了不同應力比下，本研究數值模擬點分別與式(17)和式(18)的擬合結果。可以看出，式(18)擬合結果的精確度高于式(17)。另外，表4 列出了不同側應力比下對式(18)的擬合結果。以上結果均初步說明了式(18)可以在中低應變率下較為精確地描述應變率對混凝土動態雙軸壓縮強度的影響。

表4 不同側應力比下對式(18)的擬合結果Table 4 Fitting results of Eq.(18) under different lateral stress ratios

3.2.3 強度準則建立與驗證

參考文獻[4 - 7, 9]，同時考慮側應力比和應變率影響，綜合式(16)和式(18)即得到動態雙軸壓-壓工況下的混凝土強度準則：

式中，Ph,Pk,Pl,Pm和Pn為擬合參數，1 0-5s-1≤ ε˙≤1 s-1。

為了進一步驗證式(19)所提出的混凝土動態雙壓-壓強度準則的準確性和適用性，本研究分別選取了文獻[5 - 6]的物理試驗數據對式(19)進行擬合，各參數擬合結果如表5 所示。

表5 式(19)各參數擬合結果Table 5 Fitting results of parameter in Eq.(19)

另外，圖10 和圖11 分別展示了應用不同擬合參數得到的混凝土動態雙軸強度準則面與文獻[5 - 6]的物理試驗數據的對比結果。可以看出，在不同應變率和側應力比下，強度準則面與試驗數據點均吻合良好，這進一步驗證了本研究建立的動態雙軸壓-壓強度準則的合理性。

圖10 強度準則擬合值與文獻[5]的對比結果Fig.10 Comparison between the fitted data and Ref.[5]

圖11 強度準則擬合值與文獻[6]的對比結果Fig.11 Comparison between the fitted data and Ref.[6]

4 結論

本文考慮混凝土非均質性，建立了細觀隨機骨料模型，對尺寸為100 mm 的混凝土立方體試塊開展了動態雙軸壓縮工況下的數值模擬分析，研究了應變率和側應力比對混凝土破壞模式及壓縮強度的影響，初步對適用于更高應變率(10-5s-1≤ε˙≤1 s-1)的混凝土動態雙軸強度準則提出了建議。主要研究結論如下：

(1) 相同側應力比下，隨應變率增大，混凝土內部損傷區域增多。相同應變率下，隨側應力增大，混凝土破壞模式由柱狀壓裂破壞變為片狀劈裂破壞。

(2) 混凝土動態壓縮強度隨應變率增大而增大，隨側應力增大而先增大后減小。不同應變率工況下，雙軸強度在側應力比約為0.5 時達到峰值。

(3) 本研究建議的動態雙軸壓-壓強度準則與已有強度準則相比適用于更高的應變率范圍(10-5s-1≤ε˙≤1 s-1)，并且得到了不同物理試驗的初步驗證。值得說明的是，由于試驗條件限制，中高應變率下的混凝土動態雙軸壓縮物理試驗很難開展且試驗數據很難收集。因此，本研究暫且只在可收集到的物理試驗數據范圍內對所提出的混凝土動態雙軸壓-壓強度準則進行了驗證。