Mathematica 軟件在天線陣方向特性教學(xué)中的應(yīng)用*

曹文權(quán) 劉楊 邵尉

中國(guó)人民解放軍陸軍工程大學(xué)通信工程學(xué)院 南京 210007

0 引言

天線陣廣泛應(yīng)用于通信、廣播、雷達(dá)和測(cè)控等無(wú)線電系統(tǒng)中。單個(gè)天線的方向性較弱，為了增強(qiáng)天線的方向性或形成特定的方向圖，通常需要采用天線陣。天線陣的定義為：由若干個(gè)單元天線按照一定方式排列起來(lái)的輻射系統(tǒng)。構(gòu)成天線陣的單元天線稱為陣元。根據(jù)天線的排列方式，可以將天線陣分為直線陣、平面陣、圓環(huán)陣、共形陣和立體陣等；根據(jù)陣元的個(gè)數(shù)，可以分為二元陣、三元陣、多元陣等；按陣元間距、饋電振幅是否相等，相位是否呈線性變化，可以分為均勻陣（均勻直線陣、均勻圓環(huán)陣、均勻平面陣等）、非均勻陣（振幅不均勻陣、間距不固定陣等）。所有陣元的類型、結(jié)構(gòu)、尺寸、取向整齊劃一的天線陣稱為相似陣，其單元天線的方向函數(shù)相同[1]。

本文討論的天線陣為均勻直線陣，是天線陣種類中最為簡(jiǎn)單的類型。若干個(gè)陣元均勻排列在一條直線上，饋入各陣元的電流振幅相等、相位呈等差級(jí)數(shù)分布，此類陣列即為均勻直線陣。均勻直線陣是一種最典型的天線陣，任何復(fù)雜天線陣均可以看成是由不同均勻直線陣疊加而成。這是筆者重點(diǎn)分析均勻直線陣的原因。可見，為了清楚地了解天線陣的輻射特性，特別是方向特性，從最簡(jiǎn)單的均勻直線陣入手，是最好的選擇。

1 Mathematica 軟件簡(jiǎn)介

描述天線陣方向特性的電參數(shù)有方向函數(shù)、方向圖和方向系數(shù)。方向函數(shù)是核心，它通過(guò)數(shù)學(xué)函數(shù)全面的描述天線的輻射特性；方向圖是在工程中常用的，通過(guò)圖形比較直觀的反映天線的方向特性；方向系數(shù)，則是用一個(gè)數(shù)字定量地描述天線方向性的強(qiáng)弱。在實(shí)際工程應(yīng)用中，方向系數(shù)只表示了最大方向的輻射特性，而方向函數(shù)相對(duì)抽象，唯有方向圖形象、直觀，彌補(bǔ)了方向函數(shù)的抽象性，其可借助建模仿真或者測(cè)量數(shù)據(jù)得到。對(duì)于天線陣而言，往往具有復(fù)雜的方向函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式，常常需要借助仿真軟件，獲得二維、三維方向圖，甚至是動(dòng)態(tài)變化的方向圖，方便進(jìn)行重要參數(shù)分析。

用于天線仿真的軟件主要包括HFSS、CST、FEKO 等電磁仿真專業(yè)軟件和MATLAB、Mathematica、Maple 等數(shù)學(xué)軟件。HFSS、CST、FEKO 等三維電磁仿真軟件精度高，擁有強(qiáng)大的天線設(shè)計(jì)功能，可以計(jì)算天線的各種電磁參量，當(dāng)然也包括方向圖。三維電磁仿真軟件適合用于嚴(yán)格精確的場(chǎng)路分析，需要一定的專業(yè)基礎(chǔ)才能熟練使用，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)和電大尺寸的場(chǎng)合，往往伴隨著較長(zhǎng)的仿真和優(yōu)化時(shí)間。MATLAB、Mathematica、Maple 具備強(qiáng)大的數(shù)據(jù)分析和圖形繪制能力。MATLAB將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成于一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如C、Fortran）的編輯模式，解算問(wèn)題更加簡(jiǎn)捷[2]。而與MATLAB 軟件相比，Mathematica 編程語(yǔ)句簡(jiǎn)潔，其程序語(yǔ)句都是按照數(shù)學(xué)函數(shù)的結(jié)構(gòu)編寫的，與數(shù)學(xué)表達(dá)方式極為相似，語(yǔ)法統(tǒng)一，簡(jiǎn)單易學(xué)，仿真所需內(nèi)存小，其結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語(yǔ)言、文本系統(tǒng)以及與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接[3]。當(dāng)前，因其具有漂亮的圖形，Mathematica在高等教育的課程教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，廣泛應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)[4]、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[6]、物理學(xué)[7]、基礎(chǔ)工程學(xué)[8]等課程教學(xué)中。值得一提的是，Mathematica 在電磁學(xué)的課程教學(xué)中，也已發(fā)揮了重要的作用[9-10]。憑借其可視化處理功能和參數(shù)動(dòng)態(tài)可調(diào)特性，Mathematica 在天線陣等天線基礎(chǔ)知識(shí)相關(guān)教學(xué)中可靈活運(yùn)用，值得深入研究和探索。

2 均勻直線陣方向圖分析與繪制

2.1 N 元均勻直線陣的陣因子

最簡(jiǎn)單的天線陣是均勻直線陣。均勻直線陣的所有陣元結(jié)構(gòu)相同，等間距、等幅激勵(lì)，相位沿陣軸線呈依次等量遞增或遞減。

如圖1 所示，N個(gè)陣元沿z軸排列成一行，且相鄰陣元之間的距離相等都為d，相鄰兩陣元之間的電流相位差為ξ，根據(jù)方向圖乘積定理，均勻直線陣的方向函數(shù)等于陣元的方向函數(shù)與直線陣陣因子的乘積，以陣元1 為相位參考點(diǎn)。

圖1 N 元均勻直線陣

N元均勻直線陣的陣因子為：

其中，ψ=ξ+kdcosθ；

在ψ＝0 時(shí)，上式極大值為N，所以歸一化陣因子

在實(shí)際應(yīng)用中，要讓單元天線的最大輻射方向盡量與陣因子一致[1]。

考慮到單元天線多采用弱方向性天線，均勻直線陣的方向性調(diào)控主要通過(guò)調(diào)控陣因子來(lái)實(shí)現(xiàn)。所以筆者重點(diǎn)分析天線陣的陣因子。根據(jù)均勻直線陣的陣因子公式（3）可以看出，影響天線陣方向圖的參數(shù)主要有陣元個(gè)數(shù)N、陣元間距d和單元初始相位差ξ。下面結(jié)合Mathematica 軟件的繪圖功能，分別編程進(jìn)行分析。

2.2 參數(shù)分析

2.2.1 陣元個(gè)數(shù)N 的影響

如圖2 所示，假定d不變（為λ/2），相差ξ不變（為0°），改變N，可以看出，隨著陣元數(shù)的增加，主瓣變窄，方向性增強(qiáng)。任取兩種情況作對(duì)比，單元天線（N=1）為理想點(diǎn)源全向的，沒(méi)有方向性，在等幅同相激勵(lì)時(shí)，N元陣水平面為最大輻射方向，變得具有方向性了，而且隨著陣元個(gè)數(shù)的增加，波束越窄，有限的能量聚焦在更小的空間范圍，就能獲得更高的增益。

圖2 陣元間距d=λ/2，ξ=0°時(shí)不同的陣元個(gè)數(shù)N（1～9）對(duì)應(yīng)的不同方向圖

其程序如下：

(* 若要連續(xù)變化 設(shè)置AnimationRate →0.25 *)

arrs = {{0,-1},{0,-3/4},{0,-1/2},{0,-1/4},{0,0},{0,1/4},{0,1/2},{0,3/4},{0,1}}

arrows = {{{0,-1},{1/4,-1}},{{0,-3/4},{1/4,-3/4}},{{0,-1/2},{1/4,-1/2}},

{{0,-1/4},{1/4,-1/4}},{{0,0},{1/4,0}},{{0,1/4},{1/4,1/4}},

{{0,1/2},{1/4,1/2}},{{0,3/4},{1/4,3/4}},{{0,1},{1/4,1}}}

Animate[Show[PolarPlot[{Abs[Sin[N*(1*Pi*Cos[t + Pi/2])/2]/(N*Sin[(1*Pi*Cos[t +Pi/2])/2])],1},{t,0,2 Pi},PlotStyle →{Blue,Thick}],Graphics[{PointSize[0.05],Red,Point[Take[arrs,Floor[N]]],Arrow[Take[arrows,Floor[N]]]}]],{N,1,9.1,1},AnimationRate → 1]

2.2.2 陣元間距d 的影響

如圖3 所示，假定陣元個(gè)數(shù)N 不變（為4），相差ξ不變（為0°），改變陣元間距d，可以看出，間距d 由小到大漸變，方向圖波瓣增多，可以發(fā)現(xiàn)間距d 影響天線陣的方向圖。

圖3 陣元個(gè)數(shù)N=4，ξ=0°時(shí)不同的陣元間距d=（0.1～5.88）對(duì)應(yīng)的不同方向圖

其程序如下：

m = Manipulate[PolarPlot[{Abs[Sin[4*(d*Pi*Sin[t])/2]/(4*Sin[(d*Pi*Sin[t])/2])],1},{t,0.0001,2Pi},PlotStyle → {Blue,Thick},PlotRange → {{-1.01,1.01},{-1.01,1.01}}],{{d,0.1},0.1,6,0.01,Appearance→ “Open”}]

Export[“manipulate-d\manipulate-d.png”,m,“VideoFrames”]

2.2.3 相差ξ 的影響

如圖4 所示，假定陣元個(gè)數(shù)N 不變（為4），陣元間距d=λ/2，改變相差ξ，ξ由小到大漸變，天線的最大輻射方向發(fā)生變化，可見配相ξ影響波束指向。如果在陣元數(shù)和單元間距一定的條件下，能夠人為地合理的控制不同單元天線的激勵(lì)初相位，可以改變天線波束指向，實(shí)現(xiàn)波束掃描。

圖4 陣元個(gè)數(shù)N=4，陣元間距d=λ/2，不同相差ξ=（0.0001～5.65497）對(duì)應(yīng)的不同方向圖

其程序如下：

arr = {{0,-1},{0,-1/3},{0,1/3},{0,1}}

arrow = {{{0,-1},{0.25,-1}},{{0,-1/3},{0.25,-1/3}},{{0,1/3},{0.25,1/3}},{{0,1},{0.25,1}}}

Animate[Show[PolarPlot[{Abs[Sin[4*(1*Pi*Cos[t] + p*Pi)/2]/(4*Sin[(1*Pi*Cos[t] +p*Pi)/2])],1},{t,0,2 Pi},PlotStyle →{Blue,Thick}],Graphics[{PointSize[0.05],Red,Point[Take[arr,4]],Arrow[Take[arrow,4]]}]],{p,0.1,4,0.1},AnimationRate →0.2]

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)電磁波與天線類課程中陣列天線方向特性復(fù)雜難懂的問(wèn)題，利用Mathematica 虛擬軟件，仿真模擬均勻直線陣的方向圖，化抽象為具體，可視化形象呈現(xiàn)。重點(diǎn)對(duì)影響天線陣方向特性的三個(gè)因素進(jìn)行了參數(shù)分析，可以明顯看出天線陣的陣元個(gè)數(shù)N、陣元間距d和單元初始相位差ξ均對(duì)陣因子的方向圖產(chǎn)生重要影響。仿真實(shí)例可提升學(xué)員電磁素養(yǎng)，并有效提高課堂效率。