多頻未知時(shí)變擾動(dòng)下的結(jié)構(gòu)微振動(dòng)魯棒自適應(yīng)控制

方昱斌，朱曉錦，楊龍飛，許志超，田夢(mèng)楚，張小兵

（1.南京理工大學(xué)智能制造學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.上海大學(xué)機(jī)電工程及自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072；3.南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094）

引言

在高分遙感探測(cè)領(lǐng)域中，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)微振動(dòng)會(huì)引發(fā)空間相機(jī)產(chǎn)生視線抖動(dòng)和像移，繼而降低成像質(zhì)量和分辨率，其影響不能忽視［1-2］。因此，結(jié)構(gòu)微振動(dòng)的抑制問題成為學(xué)者們研究的重要方向和熱點(diǎn)之一［3］。

當(dāng)前，針對(duì)結(jié)構(gòu)微振動(dòng)的抑制通常采用主動(dòng)控制或者是主、被動(dòng)控制相結(jié)合的方式。就主動(dòng)控制方法而言，當(dāng)前的研究涵蓋了控制理論中的大部分內(nèi)容［4-7］。從控制理論角度來講，要想對(duì)擾動(dòng)信號(hào)取得足夠好的控制效果，控制器中必須包含有擾動(dòng)的模型。因此，在控制器設(shè)計(jì)時(shí)需要將擾動(dòng)模型嵌入到閉環(huán)系統(tǒng)控制器中，保證在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下抵消擾動(dòng)所引起的微振動(dòng)響應(yīng)［8］。由于擾動(dòng)環(huán)境的復(fù)雜性，很多系統(tǒng)受到的擾動(dòng)可能是時(shí)變或未知的，這使得通常的魯棒控制器參數(shù)設(shè)計(jì)變得困難，對(duì)其控制效果也產(chǎn)生了諸多影響。但與此同時(shí)，一般的控制系統(tǒng)中仍能獲得關(guān)于擾動(dòng)的部分信息，諸如擾動(dòng)模型結(jié)構(gòu)或者其變化范圍等，此時(shí)，自適應(yīng)控制方法具有優(yōu)勢(shì)。

在結(jié)構(gòu)振動(dòng)自適應(yīng)控制領(lǐng)域中，濾波自適應(yīng)控制算法因其簡單、快速的特點(diǎn)而被廣泛使用，成為最常用的主動(dòng)振動(dòng)控制（Active Vibration Control，AVC）算法之一。根據(jù)是否能夠獲取與擾動(dòng)相關(guān)的參考信號(hào)，該類算法又可以分為前饋濾波自適應(yīng)控制與反饋濾波自適應(yīng)控制。

在前饋濾波自適應(yīng)控制系統(tǒng)中，由于可以取得參考信號(hào)，濾波自適應(yīng)控制算法對(duì)于單頻窄帶擾動(dòng)通常能夠取得較為有效的抑制，對(duì)于有限帶的寬頻擾動(dòng)也能夠有一定程度的抑制。但同時(shí)，由于參考傳感器采集的擾動(dòng)相關(guān)信號(hào)會(huì)受到作動(dòng)器作動(dòng)的影響，從而形成一個(gè)反饋環(huán)，使得控制系統(tǒng)不再是原來的一個(gè)單純前饋系統(tǒng)（稱作“正反饋”效應(yīng)），還會(huì)影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對(duì)于反饋濾波自適應(yīng)控制算法，其在處理窄帶擾動(dòng)時(shí)具有較好的抑制效果，但其控制效果受到輸出靈敏度函數(shù)伯德積分和“水床”效應(yīng)的限制。而且，對(duì)于多頻窄帶擾動(dòng)，反饋濾波自適應(yīng)控制算法會(huì)因?yàn)V波器階數(shù)有限而限制其抑制效果。此時(shí)，常用的處理手段是通過配合前饋控制算法或者是建立內(nèi)擾動(dòng)模型［9］。實(shí)際上，很多應(yīng)用場(chǎng)合很難接近擾動(dòng)源甚至是找不到擾動(dòng)源，無法放置參考傳感器，也就無法實(shí)施前饋控制。

針對(duì)濾波自適應(yīng)控制算法在AVC 應(yīng)用中所面臨的兩個(gè)典型問題：前饋AVC 系統(tǒng)中的“正反饋”效應(yīng)，以及反饋AVC 系統(tǒng)中多頻窄帶擾動(dòng)的抵消。Y-K 參數(shù)化方法成為自適應(yīng)控制算法實(shí)施中的一個(gè)重要且有效的手段。

Y-K 參數(shù)化方法最初在20 世紀(jì)70 年代被Youla 和Kucera 分別提出，通過自適應(yīng)濾波器配合中央魯棒控制器為反饋系統(tǒng)中的線性時(shí)不變對(duì)象提供一組線性穩(wěn)定控制器，該方法的優(yōu)勢(shì)在于可以在不改變控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的情況下對(duì)擾動(dòng)的內(nèi)模進(jìn)行參數(shù)估計(jì)［10-12］。20 世紀(jì)90 年代，文獻(xiàn)［13］對(duì)Y-K 參數(shù)化方法的發(fā)展及其在系統(tǒng)辨識(shí)、自適應(yīng)控制和非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述。在這之后的20 年間，Y-K 參數(shù)化方法被引入到AVC 領(lǐng)域中，并取得了較好的控制效果。

文獻(xiàn)［14］首次將Y-K 參數(shù)化方法用于前饋AVC 系統(tǒng)的正反饋效應(yīng)處理中，通過分析及實(shí)驗(yàn)，取得了較好的控制效果。隨后，針對(duì)Y-K 參數(shù)化解決正反饋環(huán)引起的穩(wěn)定性問題，Landau［6］團(tuán)隊(duì)做了大量研究，包括采用不同形式的濾波器、不同的參數(shù)自適應(yīng)算法、不同的參考信號(hào)濾波算法等，通過對(duì)于算法的穩(wěn)定性分析以及不同振動(dòng)、噪聲實(shí)驗(yàn)Testbench 的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，系統(tǒng)地驗(yàn)證了Y-K 參數(shù)化方法對(duì)于正反饋環(huán)所引起的前饋系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的適用性和優(yōu)越性。

面向多頻窄帶擾動(dòng)的抑制，Y-K 參數(shù)方法成功地解決了內(nèi)擾動(dòng)模型的建立問題，可以在不改變系統(tǒng)原有極點(diǎn)分布的情況下采用自適應(yīng)濾波器逼近擾動(dòng)模型［15］。基于Y-K 參數(shù)化的反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制方法，在應(yīng)對(duì)多頻未知和時(shí)變窄帶擾動(dòng)的應(yīng)用中取得了較好的控制效果［16］。

就基于Y-K 參數(shù)化的反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制方法而言，目前的研究大都是已知次級(jí)通道數(shù)學(xué)模型來設(shè)計(jì)中央魯棒控制器的參數(shù)。文獻(xiàn)［17-20］采用了極點(diǎn)配置的方法，中央控制器的預(yù)設(shè)部分能夠較好地調(diào)整系統(tǒng)的極點(diǎn)分布與輸出靈敏度函數(shù)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［21-23］通過H 無窮或最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)中央魯棒控制器，也取得了令人滿意的振動(dòng)噪聲抑制效果。

中央魯棒控制器的設(shè)計(jì)需要振動(dòng)系統(tǒng)次級(jí)通道的精確數(shù)學(xué)模型。在很多場(chǎng)合，為了方便設(shè)計(jì)控制器，假設(shè)系統(tǒng)的次級(jí)通道是固定且已知的，甚至假設(shè)它的變化是可以量化且有界的。但是，一些系統(tǒng)中也存在次級(jí)通道模型未知的應(yīng)用場(chǎng)景，此時(shí)基于模型的中央魯棒控制器設(shè)計(jì)存在困難。

面向多頻窄帶微振動(dòng)，針對(duì)不能獲得次級(jí)通道精確模型情況下的多頻時(shí)變或未知窄帶擾動(dòng)的自適應(yīng)控制問題，基于Y-K 參數(shù)化方法在AVC 應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)，本文提出一種多頻窄帶擾動(dòng)微振動(dòng)反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制算法。該算法通過PID 控制方法設(shè)計(jì)中央魯棒控制器，采用FIR 形式參數(shù)濾波器，并采用一種改進(jìn)的VSSLMS 方法作為參數(shù)自適應(yīng)算法。通過相應(yīng)的微振動(dòng)主動(dòng)控制實(shí)時(shí)實(shí)驗(yàn)，對(duì)比驗(yàn)證了本文所提算法對(duì)于多頻窄帶擾動(dòng)的抑振效果。

1 基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法

圖1 為本文所給出的基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法框圖。其中，d(t)為主通道G經(jīng)過擾動(dòng)信號(hào)D(t)（已知模型結(jié)構(gòu)）激勵(lì)后的結(jié)構(gòu)微振動(dòng)響應(yīng)；y(t)為次級(jí)通道H的結(jié)構(gòu)微振動(dòng)響應(yīng)；e(t)為系統(tǒng)殘差信號(hào)，可通過主通道與次級(jí)通道的微振動(dòng)響應(yīng)疊加測(cè)量得到；u(t)為控制器輸出；w（t）表示自適應(yīng)濾波器的輸入；表示自適應(yīng)濾波器；AH與BH分別表示次級(jí)通道H的傳遞函數(shù)的分母與分子多項(xiàng)式；G為系統(tǒng)的主通道；S0與R0分別表示中央魯棒控制器N0的傳遞函數(shù)的分母與分子多項(xiàng)式。

圖1 基于Y-K 參數(shù)化的反饋?zhàn)赃m應(yīng)振動(dòng)主動(dòng)控制算法Fig.1 Feedback adaptive active vibration control algorithm based on Y-K parameterization

G和H分別表示系統(tǒng)的主通道和次級(jí)通道，具體如下式所示：

式中q表示延時(shí)因子；dG和dH分別表示主通道和次級(jí)通道的整數(shù)延遲；上標(biāo)“n”表示多項(xiàng)式的階次。

在圖1 所示的反饋控制系統(tǒng)中，采用PID 控制方法設(shè)計(jì)中央魯棒控制器。由多項(xiàng)式R0(q-1)和S0(q-1)構(gòu)成的中央魯棒控制器表示為N0(q-1)，具體如下式所示：

當(dāng)單獨(dú)采用中央魯棒控制器時(shí)，反饋控制器的輸入e(t)和輸出u(t)分別如下式所示：

系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式P0(q-1)決定了系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布，如下式所示：

當(dāng)反饋系統(tǒng)中加入Y-K 參數(shù)濾波器后，Q(q-1)的輸入信號(hào)為ω(t)，如下式所示：

Y-K 參數(shù)濾波器采用FIR 形式，其最優(yōu)值Q(q-1)如下式所示：

此時(shí)，Q(q-1)和中央魯棒控制器N0(q-1)共同構(gòu)成了新的反饋魯棒自適應(yīng)控制器K(q-1)，如下式所示：

新的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式P(q-1)如下式所示：

可以發(fā)現(xiàn)，Y-K 參數(shù)濾波器Q(q-1)的加入并未改變閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布。此時(shí)，系統(tǒng)誤差如下式所示：

在實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行中，由于系統(tǒng)辨識(shí)存在的偏差以及擾動(dòng)信號(hào)在頻域上的浮動(dòng)，需要通過參數(shù)自適應(yīng)算法來調(diào)整Y-K 參數(shù)濾波器及時(shí)匹配系統(tǒng)擾動(dòng)的模型。隨著參數(shù)自適應(yīng)算法的實(shí)施，Q(q-1)被其參數(shù)估計(jì)值(t，q-1)所替代，如下式所示：

反饋魯棒自適應(yīng)控制器如下式所示：

我們定義系統(tǒng)的自適應(yīng)誤差如下式所示：

式中e(t)表示在參數(shù)自適應(yīng)過程中基于濾波器估計(jì)值(q-1)得到的誤差信號(hào)，如下式所示：

將式（19）和（23）代入式（22），得到系統(tǒng)的自適應(yīng)誤差：

構(gòu)建參數(shù)向量：

構(gòu)建系統(tǒng)觀測(cè)向量：

這樣，系統(tǒng)自適應(yīng)誤差可以表示為：

因?yàn)橄到y(tǒng)擾動(dòng)是未知的，所以最優(yōu)參數(shù)向量Q也是不確定的。最接近Q的參數(shù)向量估計(jì)值(t)可以使得下式所示的代價(jià)函數(shù)最小：

依據(jù)最 小均方（Least Mean Square，LMS）算法，代價(jià)函數(shù)選用系統(tǒng)瞬時(shí)誤差平方的梯度：

式中μ為步長因子；W表示參數(shù)向量。

當(dāng)Y-K 參數(shù)濾波器取最優(yōu)值Q(q-1)時(shí)，系統(tǒng)誤差為0。那么，系統(tǒng)自適應(yīng)誤差ε(t)可被系統(tǒng)實(shí)時(shí)誤差值e(t)替代，實(shí)際系統(tǒng)中通過傳感器測(cè)量得到，故式（33）可寫作：

綜上所述，該反饋AVC 算法的表達(dá)如下式所示：

2 變步長LMS 算法

在基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法中，參數(shù)自適應(yīng)算法對(duì)于整體算法的實(shí)施效果起著至關(guān)重要的作用。LMS 算法作為常用的參數(shù)自適應(yīng)算法，有著簡單、魯棒性好的優(yōu)點(diǎn)，但其固定步長因子的存在引起了收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。在VSSLMS 算法的思想面世后，學(xué)者們陸續(xù)提出多種形式的VSSLMS 算法，通過實(shí)時(shí)改變步長因子來提升算法的性能。其中有一類VSSLMS 算法是通過設(shè)置遺忘因子的方式調(diào)節(jié)實(shí)時(shí)步長以取得更好的收斂效果，典型算法如表1中的“算法A［24］”、“算法B［25］”和“算法C［26］”所示。基于遺忘因子改進(jìn)形式，方昱斌等［27］提出了一種VSSLMS 算法，其具體步長更新公式如表1 中的“算法D［27］”所示。

表1 典型VSSLMS 算法的步長更新公式Tab.1 Step size update formula of typical VSSLMS algorithms

文獻(xiàn)［27］中詳細(xì)給出了算法D（文獻(xiàn)［27］中命名為VSSLMS-New）的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)定性分析。并通過聯(lián)合仿真分析與微振動(dòng)實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)，采用LMS 算法、算法A、算法B 和算法C 作為對(duì)比算法，驗(yàn)證了算法D 在前饋濾波自適應(yīng)微振動(dòng)主動(dòng)控制應(yīng)用中的抑振性能以及在較高噪聲水平下的魯棒性能。

對(duì)于表1 中所列出的這類通過設(shè)置遺忘因子的方式來提升算法收斂性能的VSSLMS 算法，本文通過大量的仿真和實(shí)驗(yàn)調(diào)試得出結(jié)論：該類算法中所采用的固定遺忘因子ξ會(huì)影響VSSLMS 算法整體的收斂速度。最初，固定遺忘因子ξ用來衰減步長因子μ(n)的計(jì)算中對(duì)于前一采樣時(shí)刻的權(quán)重，通常取接近于1 的值，如0.97。當(dāng)ξ=0.97 時(shí)，當(dāng)前采樣時(shí)刻的步長因子μ(n)是在上一采樣時(shí)刻步長因子μ(n-1)的0.97 倍基礎(chǔ)上獲得的。這樣一來，該類VSSLMS 算法的步長因子μ(n)會(huì)衰減的很快，尤其是在高采樣頻率的系統(tǒng)中，幾秒之后，VSSLMS 算法的收斂速度就會(huì)變得非常慢。

文獻(xiàn)［27］發(fā)現(xiàn)，如果將現(xiàn)有算法中的固定遺忘因子ξ替換為時(shí)變遺忘因子ξ(n)，且ξ(n)能夠從1逐漸衰減至ξ，則原有算法的收斂速度會(huì)得到提升，且保持原來的穩(wěn)態(tài)性能。

基于此，本文提出一種變遺忘因子改進(jìn)方法。通過按照特定曲線衰減遺忘因子，保證在原有算法穩(wěn)態(tài)性能的基礎(chǔ)上，提升算法收斂速度，遺忘因子更新公式如下式所示：

式中ξ(t)表示變遺忘因子。參數(shù)λ0和λ1用于調(diào)節(jié)衰減的速率，λ0的取值范圍為0<λ0<1，其取值通常接近于1，如λ0=0.90，…，0.99。λ0的取值決定λ1(t)的衰減速率，λ0的取值越接近于1，參數(shù)λ1(t)的衰減速率越慢，幾個(gè)經(jīng)典取值的衰減曲線如圖2所示。λ1(0)表示參數(shù)λ1(t)的初始值，ξ(t)從1 衰減至λ1(0)。

圖2 λ0 經(jīng)典取值下λ1 的衰減曲線Fig.2 Attenuation curves of λ1 under classic values of λ0

自適應(yīng)控制的本質(zhì)是次級(jí)通道的參數(shù)辨識(shí)，通過參數(shù)辨識(shí)仿真驗(yàn)證該改進(jìn)VSSLMS 算法的收斂效果。假設(shè)有限維的自適應(yīng)濾波器可以完全準(zhǔn)確地表示真實(shí)系統(tǒng)（沒有模型誤差）。采用白噪聲信號(hào)激勵(lì)未知系統(tǒng)和自適應(yīng)濾波器，真實(shí)系統(tǒng)的輸出與模型輸出在測(cè)量噪聲的基礎(chǔ)上得到系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差反映自適應(yīng)濾波器模型與真實(shí)系統(tǒng)之偏差。真實(shí)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型取為=［0.5，1.1，0.8，0.7，0.6，0.5，0.4，0.3，0.2，0.1］，同時(shí)施加信噪比為10 dB 的測(cè)量噪聲，信噪比按照SNR=10lg［E（x2（n））/E（ν2（n））］計(jì)算，其中，E表示期望，ν表示測(cè)量噪聲信號(hào)采樣序列。

針對(duì)表1 中所給出的四種VSSLMS 算法以及它們的改進(jìn)算法做參數(shù)辨識(shí)仿真驗(yàn)證。在參數(shù)辨識(shí)中，采用原文獻(xiàn)中推薦的參數(shù)組合。參數(shù)λ1(0)取值與原文獻(xiàn)中的遺忘因子ξ相同，其他參數(shù)諸如上、下限等均與原文獻(xiàn)中保持一致。為使上述VSSLMS 算法具有相同的初始收斂速度，四種算法選擇同樣的初始步長。經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)均值后，取MSE為各算法的性能對(duì)比指標(biāo)，如圖3 所示。

圖3 四種變遺忘因子改進(jìn)VSSLMS 算法及原始形式的MSE 曲線對(duì)比Fig.3 Comparison of the MSE curves between the VSSLMS algorithms improved by four variable forgetting factors and their original versions

通過圖3 可以看出，變遺忘因子改進(jìn)算法能切實(shí)提升該類型VSSLMS 算法的收斂性能，在保持原有VSSLMS 算法穩(wěn)態(tài)性能的前提下提升收斂速度。并且，在前文四種VSSLMS 算法的收斂效果以及它們的改進(jìn)算法對(duì)比中，變遺忘因子改進(jìn)算法D 仍舊可以取得優(yōu)于其他幾種改進(jìn)算法的收斂效果，其完整表示如下式所示：

式中η表示誤差信號(hào)系數(shù)；β表示反余切函數(shù)的可調(diào)參數(shù)。

為了進(jìn)一步提升本文基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法的抑振效果與魯棒性，本文擬采用式（40）～（44）所示的變遺忘因子改進(jìn)算法D 作為反饋AVC 系統(tǒng)的參數(shù)自適應(yīng)算法，則整個(gè)反饋AVC控制器的運(yùn)行步驟如下：

（2）按照式（27）和（28）構(gòu)建擾動(dòng)信號(hào)的觀測(cè)向量Φ(t)及Φ*(t)。

（4）按照式（35）計(jì)算下一控制周期的控制器輸出u(t+1)。

3 微振動(dòng)主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證前文所給出的基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法的抑振效果，本文基于文獻(xiàn)［27］中的三自由度隔振結(jié)構(gòu)微振動(dòng)主動(dòng)隔振實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，選擇x軸作動(dòng)方向進(jìn)行微振動(dòng)隔振實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖4所示，具體細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)［27］。

圖4 三自由度隔振結(jié)構(gòu)微振動(dòng)主動(dòng)隔振實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.4 Experimental system of micro-vibration active vibration isolation of 3 DOF vibration isolation structure

實(shí)驗(yàn)中，采用兩個(gè)窄帶擾動(dòng)疊加激勵(lì)模擬多頻窄帶擾動(dòng)環(huán)境，同時(shí)，進(jìn)行雙頻窄帶擾動(dòng)頻譜突變以及幅值突變實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所提出的基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法在多頻擾動(dòng)環(huán)境下的抑振性能及魯棒性能。

3.1 雙頻正弦擾動(dòng)

采用幅值為0.3 V，頻率分別為10 和25 Hz 的2個(gè)正弦信號(hào)的疊加作為微振動(dòng)激勵(lì)信號(hào)，在實(shí)驗(yàn)時(shí)間為5 s 時(shí)開始施加控制算法，雙頻正弦擾動(dòng)激勵(lì)下微振動(dòng)主動(dòng)控制的時(shí)域曲線如圖5 所示，各算法的功率譜密度對(duì)比如圖6 所示。

圖5 雙正弦擾動(dòng)激勵(lì)下的微振動(dòng)主動(dòng)控制時(shí)域圖Fig.5 Time domain diagram of micro-vibration active control under double sinusoidal perturbation excitation

圖6 雙正弦擾動(dòng)激勵(lì)下微振動(dòng)主動(dòng)控制的功率譜密度對(duì)比Fig.6 Comparison of power spectral density of micro-vibration active control under double sinusoidal perturbation excitation

綜合圖5 和6 來看，F(xiàn)xLMS 自適應(yīng)控制算法僅對(duì)10 Hz 的擾動(dòng)具有有效抑制，對(duì)于25 Hz 的擾動(dòng)并無明顯抑制作用，在時(shí)域表現(xiàn)出其針對(duì)雙頻窄帶擾動(dòng)的抑制效率約為50%。

相比于單獨(dú)采用自適應(yīng)控制算法，另外兩種基于Y-K 參數(shù)化方法的魯棒自適應(yīng)控制算法時(shí)域穩(wěn)態(tài)效果提升明顯，穩(wěn)態(tài)時(shí)的振動(dòng)僅為0.3 μm。從功率譜密度來看，參數(shù)自適應(yīng)算法分別選擇LMS 算法與本文所提出的VSSLMS 算法，在雙頻窄帶擾動(dòng)激勵(lì)下，兩種算法的抑振效果差別不大，本文所提出的VSSLMS 算法略優(yōu)。為方便表示，分別將三種算法簡寫為FxLMS，Q+LMS 和Q+VSSLMS。

3.2 頻譜突變

與雙頻正弦擾動(dòng)一樣，采用頻率分別為10 和25 Hz 的2 個(gè)正弦信號(hào)的疊加作為微振動(dòng)激勵(lì)信號(hào)。在實(shí)驗(yàn)時(shí)間為20 s 時(shí)，擾動(dòng)信號(hào)的頻譜分別突變?yōu)?1 和26 Hz，幅值不變。頻譜突變擾動(dòng)激勵(lì)下微振動(dòng)主動(dòng)控制的時(shí)域曲線和功率譜密度分別如圖7 和8 所示。

圖7 頻譜突變擾動(dòng)激勵(lì)下的微振動(dòng)主動(dòng)控制時(shí)域圖Fig.7 Time domain diagram of micro-vibration active control under spectrum mutation perturbation excitation

在該實(shí)驗(yàn)中，三種算法在頻譜突變后均取得了不同程度的抑振效果。從圖7 來看，Q+VSSLMS 算法能夠在發(fā)生頻譜突變后快速調(diào)整，在3 s 之內(nèi)進(jìn)入新的穩(wěn)態(tài)，抑振效果及魯棒性能要明顯優(yōu)于其他兩種算法。從圖8 來看，在頻譜突變后，F(xiàn)xLMS 自適應(yīng)控制算法對(duì)26 Hz 的擾動(dòng)失去抑制作用。Q+LMS算法、Q+FANG 算法在11 與26 Hz 處的抑振效果也有明顯弱化，但仍能夠取得較為滿意的效果。必須指出的是，Q+LMS 算法原有的步長因子在頻譜突變后會(huì)立即發(fā)散。調(diào)小步長因子后取得了收斂的控制效果，但限制了算法的收斂速度，在頻譜突變前的收斂速度甚至慢于單獨(dú)采用FxLMS 控制算法。

圖8 頻譜突變擾動(dòng)激勵(lì)下微振動(dòng)主動(dòng)控制的功率譜密度對(duì)比Fig.8 Comparison of power spectral density of micro-vibration active control under spectrum mutation perturbation excitation

3.3 幅值突變

與前面兩個(gè)實(shí)驗(yàn)相同，以10 和25 Hz 的雙頻窄帶正弦擾動(dòng)開始，在實(shí)驗(yàn)時(shí)間為20 s 時(shí)，每個(gè)正弦擾動(dòng)信號(hào)的幅值突變?yōu)樵姓倚盘?hào)幅值的125%，頻譜不變。幅值突變擾動(dòng)激勵(lì)下微振動(dòng)主動(dòng)控制的時(shí)域曲線和功率譜密度分別如圖9 和10 所示。

圖9 幅值突變擾動(dòng)激勵(lì)下的微振動(dòng)主動(dòng)控制時(shí)域圖Fig.9 Time domain diagram of micro-vibration active control under amplitude mutation perturbation excitation

由圖9～10 可以看出，幅值突變后，三種算法的抑振效果都有了不同程度的減弱。從功率譜密度角度來看，幅值突變后Q+LMS 算法在兩個(gè)窄帶頻譜處的抑振效果都明顯弱化，Q+VSSLMS 算法對(duì)10 Hz 窄帶擾動(dòng)仍具有較好抑制效果。從時(shí)域來看，Q+VSSLMS 算法的穩(wěn)態(tài)振幅由突變前的0.3 μm變?yōu)橥蛔兒蟮?.5 μm，但是仍優(yōu)于Q+LMS 算法與FxLMS 算法。

通過上述3 種典型擾動(dòng)激勵(lì)下的微振動(dòng)主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)：

（1）在雙頻正弦窄帶擾動(dòng)下，基于Y-K 參數(shù)化法魯棒自適應(yīng)控制算法的抑振效果要明顯優(yōu)于單獨(dú)采用FxLMS 自適應(yīng)控制算法。

（2）在應(yīng)對(duì)雙頻正弦窄帶擾動(dòng)頻譜突變和幅值突變的情況時(shí)，Q+VSSLMS 算法能夠取得更令人滿意的效果。相較于Q+LMS 算法，本文設(shè)計(jì)的VSSLMS 算法能夠及時(shí)調(diào)整參數(shù)自適應(yīng)算法的步長因子，使算法在新擾動(dòng)情況下快速收斂至新穩(wěn)態(tài)，具有更好的魯棒性能。

4 結(jié)論

本文以多頻未知和時(shí)變窄帶擾動(dòng)激勵(lì)下的微振動(dòng)主動(dòng)控制為目標(biāo)，針對(duì)次級(jí)通道模型未知的情況，基于Y-K 參數(shù)化方法，提出一種反饋魯棒自適應(yīng)振動(dòng)主動(dòng)控制算法及一種VSSLMS 參數(shù)自適應(yīng)算法。通過系統(tǒng)辨識(shí)仿真驗(yàn)證了本文所提出VSSLMS 算法的優(yōu)越特性，通過微振動(dòng)主動(dòng)控制實(shí)時(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了基于Y-K 參數(shù)化的反饋魯棒自適應(yīng)控制算法的抑振效果及相比于其他算法在擾動(dòng)信號(hào)頻譜、幅值突變情況下的魯棒性能。