非典型邊界軸向移動(dòng)繩的行波解及振動(dòng)抑制

賀鈺騰，陳恩偉，吳遠(yuǎn)峰，任雪倩，陸益民

（合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

引言

纜車、帶鋸、電梯、涂裝機(jī)械、流體管道等工程都涉及到軸向移動(dòng)系統(tǒng)，移動(dòng)材料所產(chǎn)生的振動(dòng)會(huì)影響設(shè)備正常運(yùn)行。作為一種軸向移動(dòng)系統(tǒng)模型，軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的振動(dòng)研究以及振動(dòng)控制具有重要的意義。

軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)橫向振動(dòng)的解析計(jì)算方法主要有攝動(dòng)法、模態(tài)分析法［1］、行波法等。Wickert 等［2］利用模態(tài)分析和格林函數(shù)方法推導(dǎo)出移動(dòng)繩模型振動(dòng)響應(yīng)的精確表達(dá)，指出移動(dòng)載荷作用下的軸向移動(dòng)繩振動(dòng)響應(yīng)由三個(gè)行波組成，為本文的受迫振動(dòng)求解提供了思路。Lee 等［3］研究了不同邊界條件對(duì)軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)固有頻率及能量變化的影響。Tan等［4］利用傳遞函數(shù)法獲得具有一般邊界的移動(dòng)繩精確解，基于波動(dòng)理論分析其動(dòng)力特性。Yang 等［5-6］基于不變流形法推導(dǎo)出軸向移動(dòng)材料的線性和非線性復(fù)模態(tài)方程。Lu 等［7-8］研究了軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)在時(shí)變邊界條件下的節(jié)點(diǎn)和共振規(guī)律。Gaiko 等［9］研究了移動(dòng)繩在不同邊界條件下的反射波，獲得了半無(wú)限長(zhǎng)移動(dòng)繩振動(dòng)響應(yīng)的精確解。Chen 等［10-14］將行波法應(yīng)用于有限長(zhǎng)繩移系統(tǒng)，考慮到行波在左右邊界會(huì)發(fā)生多次反射，提出了一種適用于各種類型邊界的行波反射疊加法。本文基于此理論，將軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的行波解拓展到多周期以及受迫振動(dòng)中。

與分布式控制相比，軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的邊界控制方法更加簡(jiǎn)單［15-16］。Lee 等［15］根據(jù)速度反饋在軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)邊界處施加阻尼力，并利用李雅普諾夫方法證明其穩(wěn)定性。Kelleche 等［17］利用邊界低增益自適應(yīng)輸出反饋控制使非線性軸向移動(dòng)結(jié)構(gòu)達(dá)到指數(shù)穩(wěn)定。Nguyen 等［18］在邊界處設(shè)置阻尼器和液壓控制器，并考慮邊界處質(zhì)量，利用李雅普諾夫方法得出了穩(wěn)健的邊界控制和自適應(yīng)規(guī)律。Fung 等［16］基于輸出反饋法和極值原理，開(kāi)發(fā)了一種用于邊界處有質(zhì)量阻尼的移動(dòng)繩的最優(yōu)邊界控制器。何修宇［19］、許冰霜［20］、劉嶼等［21］運(yùn)用李雅普諾夫直接法對(duì)軸向移動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行分析，證明了所設(shè)計(jì)的邊界控制策略能夠使系統(tǒng)的橫向振動(dòng)逐漸變小并趨于穩(wěn)定。

以上研究大部分針對(duì)繩移系統(tǒng)的自由振動(dòng)，所提出的邊界控制方法是否適用于存在外界激勵(lì)的情況有待驗(yàn)證。本文針對(duì)此問(wèn)題，研究均布簡(jiǎn)諧載荷作用下的軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)，在邊界處設(shè)置的質(zhì)量-阻尼-彈簧控制器和力執(zhí)行器可以抽象為非典型邊界，利用繩子邊界處的狀態(tài)設(shè)計(jì)邊界控制力，運(yùn)用行波反射疊加法精確求解其真實(shí)響應(yīng)，驗(yàn)證控制方法的有效性。考慮了繩移系統(tǒng)受均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)力時(shí)的邊界控制問(wèn)題。

本文第1 節(jié)建立具有非典型（質(zhì)量-阻尼-彈簧）邊界的軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)模型；第2 節(jié)使用行波法對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解；第3節(jié)尋求最優(yōu)邊界控制力；第4節(jié)對(duì)邊界振動(dòng)控制效果進(jìn)行仿真；第5節(jié)為結(jié)論。

1 運(yùn)動(dòng)方程和邊界值問(wèn)題

本文研究的軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)如圖1 所示，左端為固定邊界，右端控制器可化簡(jiǎn)為質(zhì)量-阻尼-彈簧邊界，執(zhí)行器可化簡(jiǎn)為力f作用在邊界處，x為固定的軸向坐標(biāo)，u為橫向位移函數(shù)，u（x，t）表示軸向移動(dòng)繩在t時(shí)刻x處的橫向位移，l0為兩邊界之間繩子的長(zhǎng)度，常數(shù)v為繩子的軸向移速，ρ為繩子線密度，P為繩子中張力，η為右邊界處的黏性阻尼系數(shù)，k為右邊界處彈簧的剛度系數(shù)，m為右邊界處的質(zhì)量。

圖1 具有質(zhì)量-阻尼-彈簧邊界的軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)Fig.1 An axially moving string with mass-dashpot-spring boundary

繩子所受均布簡(jiǎn)諧載荷集度為Asin(ωt) N/m，由于此為變質(zhì)量系統(tǒng)，根據(jù)修訂過(guò)的哈密頓原理［22］求得運(yùn)動(dòng)控制方程：

推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)附錄A。其中，u的下標(biāo)表示對(duì)其求偏導(dǎo)，c=表示波速。初始條件設(shè)為：

式中?(x)與ψ(x)分別表示軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的初始位移與初始速度。

2 行波法求解

軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)自由振動(dòng)可以分解為兩個(gè)左右行波［23］，當(dāng)系統(tǒng)受均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)力時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程式（1）的通解可寫為：

式中F(x-vrt)表示速度為vr=c+v的右行波；G(x+vlt)表示速度為vl=c-v的左行波；Q（t）為受激勵(lì)力影響的關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，因?yàn)榧?lì)力是均布的，所以Q與坐標(biāo)x無(wú)關(guān)。

將式（5）代入式（1）并求解可得：

式中ω表示簡(jiǎn)諧載荷的角頻率。

C1與C2的取值并不影響最終橫向響應(yīng)的求解結(jié)果，不妨令式（6）中任意常數(shù)C1=C2=0，可得：

將通解（5）代入到初始條件（4）可得：

對(duì)式（8）求解可得：

這里的x1為任意常數(shù)，并不影響最后振動(dòng)響應(yīng)的求解結(jié)果，不妨令x1=0。

將通解式（5）代入邊界條件（2）和（3）可得：

由式（11）可求解G（s）。式（11）的特征方程為：

二階常系數(shù)非齊次微分方程（11）的解根據(jù)β的取值不同可以分為兩種情況：β≠1 與β=1。當(dāng)β≠1時(shí)，方程（11）的解為：

式中a為某一常數(shù)；C3和C4表示任意常數(shù)。

β=1 時(shí)的求解過(guò)程與β≠1 時(shí)類似，考慮到理論的完整性，β=1 的情況見(jiàn)附錄B。

根據(jù)行波反射過(guò)程［13］可知，在第n個(gè)行波周期期間，左行波G2由初始右行波F1在右邊界反射而來(lái)：

其中，上標(biāo)n表示行波所在的行波反射周期數(shù)，行波反射周期為T=；一個(gè)周期內(nèi)，行波每經(jīng)過(guò)一次，反射下標(biāo)數(shù)字加1（一個(gè)周期內(nèi)，初始左行波為G1，最后一次反射所得的左行波為G3），更詳細(xì)的行波反射說(shuō)明參見(jiàn)文獻(xiàn)［13］。

連續(xù)性條件為：

將式（15）代入到式（16）可得：

同理可得，在第n個(gè)行波周期ta（ta=時(shí)刻之后，左行波G3由右行波F2在右邊界反射而來(lái)，ta為右行波由繩左端點(diǎn)移動(dòng)到右端點(diǎn)的時(shí)間，詳細(xì)定義參見(jiàn)文獻(xiàn)［13］。

連續(xù)性條件為：

式（15）和（18）為右側(cè)邊界的反射方程。

根據(jù)式（2）中的左側(cè)固定邊界條件易得左側(cè)邊界反射方程為：

當(dāng)軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)進(jìn)行自由振動(dòng)時(shí)，由文獻(xiàn)［13］可知，以行波表示的振動(dòng)能量公式為：

3 振動(dòng)抑制

根據(jù)第2 節(jié)，當(dāng)已知非典型邊界的軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的初始條件時(shí)，可以求得其真實(shí)的振動(dòng)響應(yīng)和自由振動(dòng)能量，這對(duì)于系統(tǒng)的振動(dòng)抑制具有指導(dǎo)意義，同時(shí)能夠體現(xiàn)邊界控制對(duì)振動(dòng)抑制的效果。工程實(shí)際應(yīng)用中，在邊界處安裝傳感器、控制器和執(zhí)行器，傳感器用于獲取邊界處的位移、速度等參數(shù)，執(zhí)行器根據(jù)傳感器獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行力控制。振動(dòng)抑制的目的是通過(guò)改變邊界條件，使得一個(gè)行波反射周期后的軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)在無(wú)激勵(lì)時(shí)不再有橫向振動(dòng)，在受激勵(lì)力時(shí)能快速穩(wěn)定且減小振幅。

當(dāng)執(zhí)行器的控制力滿足：

時(shí)，控制力抵消了邊界質(zhì)量、彈簧剛度的影響，調(diào)整邊界阻尼到最優(yōu)值［15］如下：

此時(shí)，右邊界條件為：

右邊界行波反射方程為：

可見(jiàn)右邊界的反射波沒(méi)有橫向振動(dòng)。

4 仿真算例

仿真使用的初始條件為：

式中A0與B0分別表示初始位移與初始速度的最大值。

表1 展示了仿真所用到的基本參數(shù)，其他數(shù)據(jù)均可由這些基本參數(shù)求得。

表1 仿真所選用的參數(shù)Tab.1 Parameters chosen for the simulation

4.1 無(wú)激勵(lì)力

無(wú)激勵(lì)力時(shí)，A=0。當(dāng)有邊界控制時(shí)，邊界控制方法是在右邊界處安裝可以抽象為質(zhì)量、阻尼、剛度和力的控制器和執(zhí)行器，進(jìn)而改變邊界條件，當(dāng)執(zhí)行器采用如式（24）所示的控制規(guī)律時(shí)，此時(shí)右邊界等價(jià)于采用最優(yōu)阻尼控制的邊界；當(dāng)沒(méi)有邊界控制時(shí)，右邊界處不安裝控制器和執(zhí)行器，右邊界處沒(méi)有任何力和約束，右邊界條件（3）變?yōu)椋?/p>

此即自由邊界條件（非邊界控制）。

圖2（a）～（d）分別展示了前5 個(gè)行波反射周期，軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)在不同位置處的橫向位移響應(yīng)。以圖2（b）為例，縱坐標(biāo)u（0.5l0，t）/m 表示移動(dòng)繩在中點(diǎn)處的位移，單位是米，橫坐標(biāo)t/T為周期數(shù)。通過(guò)圖2 可以看出，一個(gè)行波反射周期后，合適的邊界控制對(duì)于軸向移動(dòng)繩的橫向振動(dòng)抑制尤為明顯。

圖2 有無(wú)邊界控制的位移響應(yīng)比較（無(wú)激勵(lì)力）Fig.2 Comparison of displacement response between boundary control and non-boundary control（without excitation）

圖3（a）展示了軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)前5 個(gè)行波反射周期的總能量變化情況，縱坐標(biāo)E/E（0）表示移動(dòng)繩的總能量除以初始能量，為無(wú)量綱坐標(biāo)。從能量的變化幅度可知，總能量中軸向動(dòng)能占比很大，經(jīng)過(guò)一個(gè)行波反射周期后，受最優(yōu)邊界控制的移動(dòng)繩將不再有橫向振動(dòng)，只剩下軸向動(dòng)能=0.9993。通過(guò)邊界控制將邊界條件轉(zhuǎn)化為最優(yōu)阻尼邊界，使得軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)在一段時(shí)間后不再振動(dòng)，結(jié)果與文獻(xiàn)［15］的一致，驗(yàn)證了本文結(jié)果的正確性。圖3（b）和（c）進(jìn)一步展示了左右行波的能量變化，縱坐標(biāo)同樣經(jīng)過(guò)無(wú)量綱化，EF表示式（23）中的右行波能量，EG表示式（23）中的左行波能量。從以上的能量變化同樣可以看出，合適的邊界控制有利于軸向移動(dòng)繩的橫向振動(dòng)抑制。

圖3 有無(wú)邊界控制的能量變化比較（無(wú)激勵(lì)力）Fig.3 Comparison of energy variation of boundary control and non-boundary control（without excitation）

4.2 均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)力

本小節(jié)在移動(dòng)繩受均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件下，將有邊界控制和無(wú)邊界控制的兩種情況進(jìn)行對(duì)比。

首先，研究沒(méi)有邊界控制時(shí)的共振現(xiàn)象，由文獻(xiàn)［3］可知，固定-自由邊界軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的K（正整數(shù)K=1，2，3，…）階固有頻率ωK為：

根據(jù)表1 所給參 數(shù)，計(jì)算出ω1=4.35 rad/s，ω2=13.05 rad/s。

取均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)力幅值A(chǔ)=0.01 N/m。圖4（a）～（d）分別展示了不同頻率激勵(lì)時(shí)，固定-自由邊界軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)前10 個(gè)周期內(nèi)的橫向位移響應(yīng)，X軸坐標(biāo)x/l0為無(wú)量綱空間坐標(biāo)；Y軸坐標(biāo)t/T為無(wú)量綱時(shí)間；Z軸坐標(biāo)u(x，t)/m 表示對(duì)應(yīng)軸向位置處的橫向位移，單位是米。

圖4 不同激勵(lì)頻率作用時(shí)的位移響應(yīng)Fig.4 Displacement response for different excitation frequencies

可以看出對(duì)于軸向移動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)均布簡(jiǎn)諧載荷的頻率為一階共振頻率ω1（4.35 rad/s）時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，之后隨著共振頻率的增加，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值減小。值得注意的是在圖4（d）中，當(dāng)均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)的頻率為系統(tǒng)的二階固有頻率時(shí)共振并不會(huì)發(fā)生，這種非共振現(xiàn)象是由系統(tǒng)的軸向移動(dòng)引起的。軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)是一種變質(zhì)量系統(tǒng)，繩子在邊界處的流入與流出影響控制體能量的變化率［24］。

其次，就軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)發(fā)生共振的情況（ω=ω1），采用邊界控制的方法抑制其橫向振動(dòng)。當(dāng)軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)受均布簡(jiǎn)諧載荷Asin(ωt)作用時(shí)，經(jīng)過(guò)式（24）的力控制，右邊界反射方程最終變?yōu)槭剑?7）。

圖5（a）～（d）分別展示了前10 個(gè)行波反射周期內(nèi)，軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)受頻率為ω1的均布簡(jiǎn)諧載荷激勵(lì)時(shí)，不同位置處的橫向位移響應(yīng)。可以看出，在軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)所受均布簡(jiǎn)諧載荷的頻率為一階共振頻率時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，本文提出的邊界控制方法依然可以明顯降低系統(tǒng)的振動(dòng)幅值，振動(dòng)抑制效果明顯。

圖5 有無(wú)邊界控制的位移響應(yīng)比較（受均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)力，頻率ω=ω1，幅值A(chǔ)=0.01 N/m）Fig.5 Comparison of displacement response between boundary control and non-boundary control（subject to the uniform harmonic force with frequency ω= ω1 and amplitude A=0.01 N/m）

5 結(jié)論

本文應(yīng)用行波法，精確求解了具有非典型邊界的定長(zhǎng)度軸向移動(dòng)繩受特定激勵(lì)力作用時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)，在邊界處通過(guò)控制器和執(zhí)行器的組合控制抑制軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的橫向振動(dòng)，得到結(jié)論如下：

（1）所提出的軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)橫向振動(dòng)的行波反射疊加法可以拓展到任意周期，可獲得響應(yīng)及能量的解析式，增加了方法的實(shí)用性。

（2）行波反射疊加法不僅可求自由振動(dòng)解析解，將激勵(lì)力轉(zhuǎn)化為行波函數(shù)后也可求受迫振動(dòng)解析解，拓展了方法的應(yīng)用范圍。

（3）當(dāng)邊界控制器的阻尼取最優(yōu)值且執(zhí)行器作用力滿足抵消控制器及激勵(lì)力的影響時(shí)，繩移系統(tǒng)從第二個(gè)周期起，無(wú)激勵(lì)時(shí)的橫向振動(dòng)被完全抑制；在受均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)發(fā)生共振時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅比無(wú)邊界控制時(shí)有大幅降低。所提出的控制方法振動(dòng)抑制效果明顯。

附錄A 運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件的推導(dǎo)

對(duì)圖1 模型應(yīng)用修正的哈密頓原理［22］可得到：

動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep分別為：

結(jié)合式（A2）和式（A3），式（A1）可化簡(jiǎn)為：

根據(jù)分部積分法，式（A4）的前五項(xiàng)可分別化為：

因?yàn)槭堑葧r(shí)變分，所以δu(x，t1)=δu(x，t2)=0。

將式（A5）～（A9）代入式（A4）得到：

因?yàn)棣膗是任意的，所以最終得到運(yùn)動(dòng)方程和右側(cè)邊界條件為：

附錄B β=1 時(shí)的行波解

根據(jù)行波反射過(guò)程可知：

根據(jù)連續(xù)性條件（16）可得：