振動波分離引起的能量耗散性能分析

徐文健，王 棟

（1.西北工業大學航空學院，陜西 西安 710072；2.中國航天科工集團八五一一研究所，江蘇 南京 210007）

引言

當前，工程結構所受到的載荷環境更加復雜，工程結構設計日益向集成化和智能化方向發展，因此對其振動響應及噪聲水平的限制也越來越嚴苛［1］。現已有多種方法和技術用來控制結構的振動響應水平、抑制噪聲的傳播。其中被動消（耗）能減振裝置以其穩定性好、設計加工簡單、無需能量供給等優勢而被廣泛采用［2-3］。在汽車、橋梁和飛機等工程結構的振動控制領域，人們提出了通過優化結構設計、局部附加動力吸振器和動力隔離裝置等方法抑制結構的振動。針對寬頻、瞬態外激勵引起的振動問題，可以通過附加非線性沖擊吸振器或能量阱等裝置，將振動能量定向引導至特定區域內并快速有效地耗散掉［4-6］。

通常，振動波通過特定形式在結構內部傳播［7］。對于有限長連續體結構，其振動響應往往以駐波疊加的形式表現［8］。若能從結構振動響應中分離出行波，則振動就可以在有限長彈性體中以波動的形式傳播，從而構造出振動能量在結構內單向傳遞的區域并加以限制和利用［9-12］。而詳細分析結構內部振動波的傳遞現象對于所采取的振動能量耗散策略及其吸收裝置參數的設計至關重要。如在振動系統中引入局部阻尼，結構將產生模態復化效應，振動系統內部將可能發生行波和駐波的分離以及空間定向傳播現象，進而實現振動能量單向傳遞機制，為結構被動控制策略提供新的途徑［12］。

當結構的參數設計不易修改時，還可通過對結構附加支撐的方式改善振動系統的剛度分布及其動態特性，如改善結構的固有頻率和振型［13-14］、抑制結構的振動水平［14］、平衡結構的支撐約束反力［15］等。王棟等［16］通過在輸液管道結構上附加彈性支撐（支架）的方法，有效控制了輸液管道系統的固有頻率值，避免結構與外激勵發生有害的共振，并且探討了附加支承的最小剛度和最優位置對管道系統第一階固有頻率的影響。李煬等［17］研究了兩端帶有彈性支撐的軸向運動梁模型的橫向振動問題，通過計算力傳遞率分析系統的隔振效果。趙小穎等［18］建立了帶有中間彈簧支撐的軸向運動梁的動力學控制方程，發現彈簧能夠顯著改變梁的橫向振動特性。

以上研究大多關注的是結構附加了彈性支撐的固有頻率和振動位移變化情況，并未從振動波傳播和能量傳遞的角度分析振動的傳遞與能量的耗散問題。實際上，振動能量的耗散是抑制振動響應的根本途徑之一。因此，分析附加彈性支撐的結構中振動波的傳播途徑，控制振動波的行進與定向傳播條件，對實現振動能量的定向傳遞和耗散具有非常重要的理論意義，對工程結構附加彈性支撐的設計也具有明確的指導作用。

本文對簡支梁結構附加阻尼彈簧支撐的抑振效果進行研究，探討了系統振動響應達到穩態以后的能量分布情況，分析了振動能量的傳遞規律和耗散過程。采用局部附加阻尼的方法，探討了簡支梁結構在簡諧位移激勵下行波和駐波的空間分離現象，進而實現振動能量的耗散和結構減振。運用功率流理論研究了一維連續體結構的振動，計算了系統振動能量耗散率，并詳細分析了附加支撐的設計參數對行波與駐波發生分離的影響。

1 振動波的描述

波傳播法（Wave Propagation Approach，WPA）是描述位移響應振動波的基本方法之一［19］。吳崇建［19］利用WPA 法分析了梁結構振動功率流的一般表達式，并通過實驗驗證了功率流理論的計算值與實際測量值具有很好的一致性。

對于長度為L的無阻尼線彈性歐拉-伯努利（Euler-Bernoulli）均勻截面梁，如圖1 所示。假設材料的彈性模量為E，截面慣性矩為I，單位長度的質量為m。用x表示沿梁軸線方向的無量綱坐標。當承受隨空間和時間變化的外載荷p(x，t)作用時，若跨中無附加支撐，則梁的橫向振動位移可用四階偏微分方程表示：

圖1 局部附加阻尼彈簧支撐的簡支梁Fig.1 Schematic for a pinned-pinned beam attached with a damping-spring support

式中EI為梁的抗彎剛度；v（x，t）為梁的橫向位移。若外激勵是簡諧激勵，則其穩態解也是簡諧函數。采用分離變量法將振動位移響應分解為空間和時間函數兩部分：

其中，未知系數An（n=1，2，3，4）可通過梁的邊界條件確定。k為梁彎曲波的波數，k4=。則梁的穩態響應可表示成：

式（4）描述了梁結構的振動彎曲波，式中的A1ekx項和A2e-kx項均為實數，分別表示沿橫坐標軸（梁的軸線）負向和正向的近場波。由于近場波具有不傳播、迅速衰減的性質，因此也被稱為漸逝波或瞬逝波［20］。但在結構的“間斷”點，近場波將會扮演波形轉換的角色。A3ejkx項和A4e-jkx項均為復數，A3ejkx表示沿坐標負向傳播的行進波，而A4e-jkx表示沿坐標正向傳播的行進波，即傳播波。

2 梁內部行波與駐波的空間分離

若在簡支梁跨中某個位置x=a處，附加一個帶阻尼的阻尼彈簧支撐。即梁通過線彈簧Kt和黏滯阻尼器Ct與地面連接，如圖1所示。在梁的左端邊界施加沿豎直方向的簡諧位移激勵v(0，t)=。其中表示位移激勵的幅值。

為了方便以后的研究推導，首先對系統的各參數進行無量綱化處理：

式中c為梁振動的時域無量綱化因子，單位是s-1。

對式（1）進行無量綱化處理，假設簡支梁不受外力作用，即p（x，τ）=0，并將附加支撐作為邊界處理［12］，可在支撐兩側的區域內分別得到系統振動的微分控制方程：

式中v，xxxx表示對x求四階導數；v，ττ表示對τ求 二階導數。

假設簡支梁初始是靜止的，即v(x，0)=v，τ(x，0)=0，在無量綱化坐標系下，其邊界條件可以表示成：

在附加彈簧支撐處，簡支梁兩側的位移和轉角應保持連續：

而在彈簧支撐位置左右兩側，梁截面上的彎矩和剪力應相互平衡：

利用分離變量法分別求解系統的穩態響應。此時k4=ω2，由式（3）可得梁結構每段內的位移穩態響應：

為了實現支撐左側區域內無向左的行進波的傳播，左側梁結構內的左行進波分量（第三項）應為零，即系數A13=0，該系數可由左側邊界和跨中的支撐條件決定。當阻尼彈簧支撐的位置和簡諧位移激勵頻率確定以后，通過約束條件A13=0 可以求得相應的彈性支撐剛度和阻尼系數。為了簡化方程求解，用復系數表示彈性支撐剛度：

此時系統會產生振動局部化的穩態響應。振動能量從簡支梁的左邊界以簡諧激勵的形式輸入，以行波的方式從左向右傳播，無反射地透過支撐，繼續向前傳播至右邊界并發生全反射［12］。由于已經要求在彈性支撐左側（0 ≤x≤a-）向左行進波分量為零，將沒有振動波越過支撐回流到激勵源位置。由行波攜帶的能量將被束縛在彈簧支撐的右側（a+≤x≤1）區域內，并在右側區域形成駐波，從而可實現行波與駐波在空間的定向分離現象［12］。為了能實現上述振動局部化現象，支撐右側區域的右行波和左行波必須具有相同的波數k，從而在該區域形成純粹的駐波。當系統達到穩態后，由左邊界輸入的一部分能量將最終被阻尼單元耗散掉。

用一個數值算例來驗證以上結論。如圖1 所示的簡支梁結構，在跨中a=0.2 處附加一個阻尼彈簧支 撐。假設位 移激勵頻率ω=100π，=1。由式（15）可得：=4812.14和=28.12。圖2 所示為簡支梁在一個周期內不同時刻的振動位移響應。

如圖2 所示，簡支梁結構上的振動行波與駐波發生了空間分離現象。行波主要出現在阻尼彈簧支撐的左側區域，然后無反射地透過彈性支撐，傳播至簡支梁的右側區域。由于入射波與反射波振幅相同、頻率相同、振動方向相同，并且在同一直線上沿相反方向傳播，疊加后形成了振動駐波。而彈性支撐左側的左行進波分量為零，右側的反射波未通過彈簧支撐處，因此駐波僅出現在彈簧支撐的右側區域。此時駐波區域梁的最大振幅為0.49，僅為初始時刻簡諧激勵幅值的一半。這主要是由于彈簧支撐內的阻尼對系統振動能量進行了穩定消耗的結果。

附加阻尼彈簧支撐改變了梁的剛度分布，提高了結構的固有頻率。表1 列出了附加彈簧支撐前后簡支梁的前五階固有頻率參數。外激勵頻率與結構的固有頻率有較大差距，不會產生共振現象。由表1 還可以發現結構的基頻增加幅度最大，而第五階固有頻率沒有變化。這是因為附加支撐剛好在簡支梁第五階振型的其中一個節點上。

表1 附加彈性支撐前后簡支梁的固有頻率參數Tab.1 Natural frequency parameters of the pinnedpinned beam with/without the support attachment

為了研究行波與駐波的空間分離現象與激勵頻率的關系，現將激勵頻率改為ω=200π，所得相應的彈簧剛度和阻尼系數如表2 所示。此時簡支梁振動位移響應如圖3（a）所示，在支撐位置右側仍然出現了振動駐波。與圖2 相比駐波的個數由4 個變成了6 個，這是由于在波速不變的情況下，激勵頻率變大將導致波長變小，支撐位置右側出現的駐波個數也隨之變多。

表2 行波與駐波分離情況下振動系統參數及能量耗散率Tab.2 System parameters and energy dissipation ratios when the separation of traveling and standing waves occur in the beam

圖3 局部附加阻尼彈簧支撐的簡支梁一個周期內不同時刻的振動位移響應Fig.3 Displacement responses at different moments in the pinned-pinned beam attached with a damping-spring support

此外，若將彈簧支撐位置改為a=0.52，所得彈簧支撐參數如表2 所示。此時簡支梁在不同時刻梁的振動位移如圖3（b）所示，可以看出支撐位置右側仍然會出現駐波。與圖2 相比駐波的個數由4 個變成了2 個，這是由于彈簧支撐位置更靠近右端，波長不變的情況下右側區域的駐波個數也隨之減少。

通過以上分析可知：改變簡諧激勵頻率或彈簧支撐位置后，梁結構內部仍然可以發生振動行波與駐波的空間分離現象，但駐波的個數和節點出現的位置也會隨之發生改變。如式（15）所示，特定的復剛度系數與激勵頻率ω和彈簧支撐位置a有關。因此改變激勵頻率ω和彈簧支撐位置a后，相應的彈簧剛度和阻尼系數也將發生改變，如表2 所示。

3 結構的振動功率流分析

通常情況下，結構的振動能量與其振動水平密切相關。研究振動能量的傳遞可為結構動力學研究和設計提供新的分析視角，因為結構功率流的空間圖像要比振動加速度分布表征更多有效的信息等［19］。本節運用結構振動功率流理論研究一維連續體結構的振動，分析附加阻尼彈簧支撐的設計參數對行波與駐波發生分離的影響，探尋振動能量的傳遞規律和耗散過程，以期為建立新的能量耗散判定法則提供有益的參考數據。

3.1 輸入功率流

根據振動功率流理論，若結構上任意一點受到簡諧力的激勵，輸入結構的瞬時功率流為［19］：

式中p0為簡諧力幅值；v，τ表示結構的橫向位移響應速度；Re（·）表示對括號里的參數取實部。

由于振動功率流既包含力和速度的幅度，又考慮了兩者間的相位關系，這使得振動功率流分析方法有以下優點：結構振動功率流描述了結構上各點的振動能量，該值對相位不敏感，對頻散現象也不敏感；結構上某點的振動能量是一個正標量值。但振動功率流卻是具有大小和方向性的量。正的功率流表示振動能量沿著坐標軸正向傳播；反之則沿著坐標軸負向傳播。通過分析結構中的波形轉換、能量的儲存和流動，可以明確判斷振動能量的流動方向，建立新的能量耗散性能判定準則。對于圖1 所示簡支梁結構，輸入到系統中的功率流由梁左端邊界的支反力與位移激勵決定。

3.2 傳遞功率流

彎曲波引起梁結構兩種內載荷——剪力載荷和彎矩載荷，這兩種內力都以結構振動波的形式傳播能量。在細長梁中由剪力分量產生的瞬時功率流Ps為：

而由彎矩分量產生的瞬時功率流Pm為［19］：

因此總的瞬時傳遞功率流P為：

為了研究梁內部發生行波與駐波空間分離時能量的傳遞情況，可用截面上總的瞬時傳遞功率流P考察振動能量隨時間和位置的變化情況。對于圖2所對應的系統，總的瞬時傳遞功率流變化如圖4所示。

圖4 a=0.2，ω=100π 時簡支梁的瞬時傳遞功率流時空演變Fig.4 Spatio-temporal evolution of the vibration power flow in the pinned-pinned beam when a=0.2，ω=100π

如圖4 所示，在簡支梁的左端瞬時傳遞功率流較大，這是由于簡諧位移激勵和支反力引起的。在跨中彈簧支撐位置a=0.2 附近，支反力引起的剪力載荷和梁中的彎矩載荷共同作用產生瞬時功率流。支撐位置的右側附近區域瞬時功率流雖然較小，但并不為零。只有在出現駐波的區域瞬時功率流為零。說明在有駐波的區域內振動能量只在波腹和波節間來回振蕩，并不向外傳遞。由于激勵頻率ω=100π 時，位移響應周期為0.02，因此沿縱坐標同一位置瞬時功率流隨著時間變化的周期為0.01。

為了研究能量傳遞情況與激勵頻率和彈簧支撐位置的關系，將激勵頻率改為ω=200π，此時簡支梁的瞬時傳遞功率流的時空演變如圖5（a）所示；將彈簧支撐位置改為a=0.52，此時簡支梁的瞬時傳遞功率流的時空演變如圖5（b）所示。

圖5 局部附加阻尼彈簧支撐的簡支梁的瞬時傳遞功率流的時空演變Fig.5 Spatio-temporal evolution of the vibration power flow in the pinned-pinned beam attached with a dampingspring support

可以看到，不論是改變激勵頻率或阻尼彈簧支撐位置，最大的瞬時傳遞功率流都出現在簡支梁的最左端。從梁的左端到附加支撐位置均有瞬時功率流傳遞，這是振動行波造成的必然結果。附加彈簧支撐位置支反力產生的瞬時功率流也比較大，在支撐位置的右側附近區域瞬時功率流較小。而出現駐波的區域瞬時功率流均為零，能量在動能和勢能之間相互轉換，但不會將能量向外傳遞。

4 振動能量耗散分析

當附加了阻尼彈簧支撐的簡支梁系統振動響應達到穩態以后，在x處梁單位長度的振動能量由動能和勢能兩部分組成［20］。其中動能的計算表達式為：

勢能的計算表達式為：

截面x處的總能量為動能與勢能的和：

通過式（23），（24）可計算系統振動達到穩態后的動能和勢能，動能和勢能的變化情況如圖6所示。

圖6 a=0.2，ω=100π 時簡支梁的能量變化Fig.6 Spatio-temporal evolution of the vibration energies in the pinned-pinned beam when a=0.2，ω=100π

如圖6（a）所示，系統的最大動能出現在簡支梁的左端。當左端簡諧位移為波節時，振動速度最大，動能亦最大。此時勢能為零，能量全部以動能的形式存在。當該點簡諧位移為波峰（腹）時，速度為零，動能也為零。可以看到彈簧支撐的左側區域動能較大，右側區域的動能變小，但勢能略有增加。駐波區域的最大動能為2.36×108，最大勢能數值為2.30×108，數值比較接近，但并不完全相等。這是因為從左側傳遞的能量與阻尼耗散僅僅在一個周期內達到平衡的結果。由式（24）可以計算當振動系統達到穩定后的總能量變化情況，如圖7 所示。

圖7 a=0.2，ω=100π 時，簡支梁振動能量變化狀況Fig.7 Vibration energy evolution in the pinned-pinned beam when a=0.2，ω=100π

由圖7（a）可以看出，簡支梁的最左端振動能量最大，附加支撐位置左側區域系統的振動能量相對較強。而在支撐右側駐波產生的區域內，振動能量被有效削減。靠近支撐位置右側的第一個能量峰值隨著時間τ略有輕微變化，這是因為在支撐附近存在漸逝波的緣故，而后面的能量峰值基本保持不變［20］。在駐波的波節處振動能量不隨時間變化，一直保持為零。而在波峰處的能量始終為極大值狀態。為了研究系統能量的耗散性能，圖7（b）繪制了簡支梁不同位置的振動能量峰值變化曲線，可更加清楚地認識振動能量衰減狀況。

由振動能量峰值曲線可以明顯看出簡支梁的左端能量最大，這是簡諧位移激勵作用的位置，可用該值表示系統的輸入能量Ei。當系統振動達到穩態以后，駐波區域的能量峰值可以表示系統剩余的振動能量。用最后一個波峰位置的能量表示系統剩余的振動能量Er，則可定義振動系統能量損耗率D為：

當彈性支撐的位置a=0.2，激勵頻率ω=100π時，系統能量耗散率達到了72.89%。改變激勵頻率或彈性支撐的位置，振動能量仍有較大的耗散率，計算結果如表2 所示。可以看到，支撐越靠近簡支梁的左端，振動能量耗散率越高。運用附加阻尼彈簧支撐，通過耗散系統的振動能量的方式能有效地抑制結構的振動響應。

5 結論

本文采用局部附加阻尼彈簧支撐的方法，研究了歐拉-伯努利簡支梁結構在端點簡諧位移激勵作用下的穩態振動響應。利用非經典阻尼引起的模態復化效應使系統振動產生局部化現象，描述了梁結構中振動彎曲波的傳播過程和分離現象。探討了在簡諧激勵作用下附加彈性支撐的梁結構中實現振動波定向傳播的條件，實現了行波和駐波的空間分離和振動能量的定向傳播。運用結構振動功率流理論，詳細分析了阻尼彈簧支撐構件對梁結構振動能量的耗散作用，揭示了行波與駐波分離發生時刻振動能量的傳遞過程和變化規律。討論了系統振動響應達到穩態后的能量分布情況，詳細分析了實現振動行波和駐波分離的情況下，梁結構中振動能量的耗散規律。通過典型算例，充分展示了彈簧阻尼支撐抑制結構振動響應的效果。研究結果如下：

（1）阻尼彈簧支撐設計可以使系統發生振動局部化的穩態響應。改變簡諧激勵頻率或彈簧支撐位置后，梁內部仍然可以發生行波與駐波的空間分離現象。但是駐波的個數和出現的位置也會隨之發生改變。

（2）系統的最大瞬時傳遞功率流出現在簡支梁的最左（輸入）端。附加彈簧支撐位置附近的瞬時功率流也比較大。在支撐位置的右側區域瞬時功率流較小，而在駐波形成區域瞬時功率流為零。振動能量只在動能和勢能之間相互轉換，不會將能量傳遞至支撐位置的左側區域。

（3）改變激勵頻率、支撐剛度系數、位置、阻尼系數等因素，振動能量的耗散率也將有所變化，但仍然能達到50%以上。說明這種方法能夠較好地抑制結構的振動響應。