非對稱、變勢能阱三穩態壓電振動能量采集器特性研究

鄭友成，朱強國，劉周龍，周 鑠，王光慶

（浙江工商大學信息與電子工程學院（薩塞克斯人工智能學院），浙江 杭州 310018）

引言

壓電振動能量采集器是將環境中的振動能量轉換成電能的新型微機電器件，在低功耗電子產品的自供電系統中有著較好的應用前景。它可以代替電池并解決電池供電所帶來的諸多問題，如更換不方便、污染環境、壽命有限、成本高等問題［1-2］。早期的壓電振動能量采集器（Piezoelectric Vibration Energy Harvester，PVEH）一般是由壓電雙晶片或壓電單晶片懸臂梁構成，它僅在結構的固有頻率點附近有較大的功率輸出。為了拓寬采集器的有效工作頻帶，提高其工作效率，利用非線性結構在多個穩態解之間的非線性突跳特性實現雙穩態或多穩態能量采集器是目前較為有效的解決方法之一［3-8］。孫仲生等［9］研究了雙穩態懸臂梁機電模型，并通過數值仿真和實驗驗證了非線性雙穩態系統在隨機共振下具有更高的輸出電壓。Zhou 等［10］通過實驗驗證了多穩態壓電能量采集器具有良好的動力學特性。Zhou 等［11］從理論和實驗兩方面研究了非線性三穩態壓電振動能量采集器，研究結果顯示三穩態能量采集器比雙穩態采集器的工作頻帶更寬并且有更高的能量輸出。Zhu 等［12］研究了三穩態能量采集裝置在不同勢能阱狀態下的輸出特性。Wang 等［13］考慮了重力因素對三穩態能量采集器輸出特性的影響。李魁等［14］提出了利用有彈性支撐的外部磁鐵，改變勢能阱深度，結果表明外部磁鐵的彈性位移可以有效降低勢能阱深度，使系統更易進入阱間運動。Zou 等［15］提出了一種具有壓縮模結構的寬帶振動能量采集器，仿真和實驗表明該結構有較高能量輸出。當前，非線性三穩態壓電振動能量采集器由于具有較寬和較淺的勢能阱特性，被證明具有更好的能量采集器輸出性能而受到廣泛的關注。然而，典型三穩態壓電振動采集器的勢能阱關于中心平衡位置是對稱的，且勢能阱的深度和寬度隨結構定型而固定不變，這種特性嚴重限制了三穩態采集器輸出性能的提高，特別是對于低激勵水平下振動能量采集輸出性能會大大降低，甚至失效。近期，人們提出非對稱勢能阱振動能量采集器以解決上述問題：李海濤等［16］對帶有非對稱勢能阱的雙穩態能量采集器進行混沌動力學分析；Zhou 等［17］對具有可變勢能函數的非線性柔性雙穩態能量采集器進行了研究，結果表明此結構使系統更易突破勢能阱，能夠產生較大的輸出功率。盡管如此，基于非對稱、變勢能阱的壓電振動能量采集增強機理還未得到深入的研究。為此，本文設計了一種新型帶彈簧結構的非對稱、變勢能阱三穩態壓電振動能量采集器，外部磁鐵通過彈簧的壓縮和拉伸運動，使采集器末端磁鐵間的距離發生改變，從而使勢能阱的深度和寬度發生改變，表現出非對稱、時變特性。通過建立其非線性磁力模型和機電耦合動力學模型，研究了系統參數以及非對稱變勢能阱對系統動力學特性以及能量采集增強機理的影響。

1 非對稱、變勢能阱多穩態壓電能量采集器理論模型

圖1 為提出的新型壓電能量采集器的結構模型示意圖，它主要由一個壓電雙晶片懸臂梁和末端磁鐵A 以及可隨彈簧壓縮和拉伸而移動的外部磁鐵B和C 組成。長度為Lp且極化方向相反的兩個壓電片固定于懸臂梁的上、下表面，懸臂梁長度為L。壓電懸臂梁的根部固定在U 形底座的左側支撐板上，尖端磁鐵（表示為磁鐵A）固定在懸臂梁的自由端。外部磁鐵B 和C 對稱粘貼在基板上，一對剛度為k的彈簧連接在U 形底座的右側支撐板上，外部磁體中心距離為2dg，且與磁鐵A 之間的水平距離為d。

圖1 非對稱變勢能阱三穩態采集器結構Fig.1 TEH with linear compressible magnet-spring system

末端磁鐵受到外部磁鐵的排斥力可以利用點磁荷偶極子理論計算得來［18］，末端磁鐵與外部磁鐵之間的幾何關系如圖2 所示。圖中x1，x2分別為磁鐵B，C 的水平位移；y為磁鐵B，C 垂直方向位移；θ=為質量塊旋轉角。

圖2 磁鐵位置幾何關系圖Fig.2 Geometric relationship between the tip and two external magnets

系統動力學方程由拉格朗日方程得出（磁力公式及拉格朗日方程推導見附錄）：

其中，“·”表示對時間t的一階導數，“''”表示對x的二階偏微分。

式中q(t)為主懸臂梁模態坐標；z0(t)為外部激勵；ρ，E，h和b分別為采集器材料密度、彈性模量、厚度和寬度；下標s 和p 分別代表金屬基板和PZT；mt和mf分別為磁鐵和金屬質量塊的質量和分別為含壓電片懸臂梁和未含壓電片懸臂梁的等效質量；?11(x)和?12(x)分別為含壓電元件和不含壓電元件懸臂梁振動模態；V為采集輸出電壓。

將式（1）代入拉格朗日方程：

2 系統的動力學特性分析

本文所用材料和結構參數如表1 所示。

表1 系統材料和結構參數Tab.1 Material and structure parameters

2.1 系統靜態特性分析

系統靜態特性主要表現為系統的勢能特性，其表達式為U=Um+K2+0.5K0q2。

如圖3（a）所示是dg=8mm時，磁鐵間距d分別為20，25，30，40mm時系統的勢能曲線，可以看出，隨著d的不斷增大，能量采集器的運動狀態由雙穩態變為單穩態。當d=20mm時，采集器勢能曲線有兩個零平衡點，表現為雙穩態運動，兩個勢能阱是非對稱的，左側勢阱深度明顯大于右側，兩阱中心坐標分別為（-23.3 mm，6.1 mJ）和（25.3 mm，7.3 mJ）；隨著d的不斷增大，兩個勢能阱深度逐漸減小且保持非對稱性；當d繼續增大到40mm時，由于距離過大，磁力太小，勢能阱變為一個，此時系統只有一個零平衡點，作單穩態運動。

圖3 不同參數條件下采集器系統勢能變化情況Fig.3 Potential energy variables with different system parameters

進一步增大dg到13 mm，磁鐵距 離d分別為20，25，30，40mm時，系統勢能曲線如圖3（b）所示。當d=20mm時，由于dg變大，此時系統能夠表現出三穩態運動狀態，采集器勢能曲線出現三個不對稱的勢能阱，左、右勢能阱呈明顯的非對稱分布，它們的 中心坐標分別為（-27.7 mm，7.2 mJ）和（28.5 mm，8.1 mJ）；隨著d的增大，勢能阱非對稱特性逐漸減弱，當d增大到40mm時，左右勢能阱消失，中間勢能阱變大，穩定點由三個變為一個，系統運動狀態由三穩態變為單穩態。

圖3（c）所示是d=28mm時，外部磁鐵間距dg分別為8，11，14，30mm時的勢能曲線。可以看出隨著dg不斷增大，系統非對稱勢阱由兩個變為三個，最后變為一個。且勢能阱的深度由深逐漸變淺。由此可以看出合適的外部磁鐵間距可以使采集器更容易作三穩態大幅值振蕩。

圖3（d）給出了在d=28 mm，dg=13mm時不同彈簧剛度對系統勢能的影響。當彈簧剛度較小時，磁鐵排斥力將使彈簧產生較大幅度的位移，出現明顯的不對稱勢能阱；而當剛度變大，彈簧受磁鐵間作用力的影響逐漸減小，外部磁鐵水平位置變化逐漸減弱，系統勢能阱非對稱現象也逐漸減弱；當彈簧剛度增大某個臨界值（如k=3000 N/m）時，此時由于剛度過大，磁力對彈簧的壓縮和拉伸作用消失，外部磁鐵的水平間距保持一致，最終系統勢能阱變成對稱的。

2.2 系統動態特性分析

為了研究dg對系統輸出特性的影響，圖4給出了加速度A=10 m/s2，頻率f=5 Hz，d=28 mm，dg=8，12 和18mm時的系統動態輸出響應。從圖4中可以看出，當dg由小變大，系統運動狀態由雙穩態到三穩態，再到單穩態的變化。如圖4（a）所示，當dg=8mm時，由于非對稱勢能阱的緣故，采集器很容易逃脫勢能阱的束縛，作大幅值的雙穩態運動，采集器末端振動速度和位移較大，采集電壓為2.6 V；如圖4（b）所示，當dg增大到12 mm，采集器由雙穩態運動跳轉到三穩態運動，末端最大振動速度增大到0.9 m/s，最大振動位移為0.038 m，采集電壓達到2.5 V。如圖4（c）所示，繼續增大dg到18 mm，由于磁鐵間距過大，非線性磁力較小，能量采集器被束縛在中心勢能阱內作小幅單穩態運動，采集器振動位移和輸出電壓只有2.8mm和0.2 V。

圖4 dg對采集器振動特性與電壓輸出波形的影響Fig.4 Effects of dg on the dynamic performance and voltage waveform of the harvester

為了研究d對系統動態特性的影響，取A=10 m/s2，頻率f=5 Hz，dg=12 mm，d=28，32 和40 mm時的系統動態輸出響應。由圖5 可知，增大d采集器運動狀態依次從三穩態轉變為單穩態。如圖5（a）所示，當d=28mm時，由于采集器末端與外部磁鐵間距離較小，采集器末端振動位移和速度較大，此時兩者間有較大的作用力，會使外部磁鐵產生左右的位移，使系統表現出三穩態運動狀態，振動位移和電壓分別為39mm和2.5 V；如圖5（b）所示，當d增大到32mm時，距離增大使外部磁鐵與采集器末端之間的作用力減小，采集器末端振動位移減小為35 mm，輸出電壓為2.2 V，系統表現為雙穩態運動狀態。如圖5（c）所示，繼續增大d到40 mm，由于磁鐵間距過大，作用力過小，采集器由雙穩態運動變為單穩態運動，振動位移和采集電壓減小為25mm和2 V。

圖5 d 對采集器振動特性與電壓輸出波形的影響Fig.5 Effects of d on the dynamic performance and voltage waveform of the harvester

進一步對采集器的頻率特性進行分析，圖6 所示是采集器在d=28 mm，dg=10 mm，k=900 N/m，加速度A分別為2 m/s2和 8 m/s2時的頻 率響應 特性。如圖6（a）所示，當激勵加速度幅值較小（A=2 m/s2），由于加速度過小，采集器動能不足，采集器末端位移始終為負值，沒有產生大幅運動，此時采集器作小幅阱內振動，對應的采集電壓及功率都很小。如圖6（b）所示，當加速度增大到8 m/s2，在頻率為4～5.6 Hz 時，采集器進入三穩態振動，采集器末端產生較大的振動位移，對應的采集輸出電壓達到2.5 V，功率達到0.075 mW。從以上結果可以看出，增加激勵加速度可以使能量采集系統進入大幅振蕩狀態，提高系統采集效率。

圖6 不同加速度時采集器位移（左列）、電壓（中列）和功率（右列）頻率響應特性Fig.6 Displacement（left column），voltage（middle column）and power（right column）of harvester with different A0

圖7 是不同彈簧剛度下系統輸出響應特性仿真結果，其中dg=12 mm，d=28 mm，A=5 m/s2，彈簧剛度k分別為100，250，1000，5000 N/m。如圖7（a）所示，當彈簧剛度較小時，彈簧壓縮位移較大，采集器容易產生非對稱勢能阱，致使采集器在較大范圍內均能從低能軌道突跳進入高能軌道，產生大幅振蕩。采集器大幅值阱間運動的頻率范圍為2～10 Hz，對應的采集電壓可以達到10 V；如圖7（b）所示，當彈簧剛度增大到 250 N/m 時，彈簧壓縮量減小，勢能阱的不對稱性減小，采集器大幅值振蕩的頻率范圍逐漸減小，采集器大幅值振蕩的頻率范圍為2.1～6.7 Hz；采集器輸出電壓減小為5 V；進一步增大彈簧剛度至1000 N/m，如圖7（c）所示，彈簧壓縮繼續減小，且采集器的頻帶范圍變窄，僅為3.5～4.3 Hz。如圖7（d）所示，當k=5000 N/m 時，由于彈簧壓縮量達到極限值，其輸出特性和圖7（c）所示結果基本一致，采集器大幅值阱間振動頻率為3.5～4.2 Hz，采集器輸出電 壓和功率分別為1 V 和0.003 mW。由此可見，彈簧的剛度會影響能量采集系統的輸出性能，彈簧剛度過大，非線性磁力對系統影響較小，彈簧壓縮位移較小，采集器動態特性降低；當彈簧剛度達到某個臨界值時，采集器動態特性保持不變；相反，小的彈簧剛度有利于產生非對稱勢能阱，從而提高采集器的綜合輸出性能。但是，太小的彈簧剛度加工制造比較困難。經過試驗和仿真論證，本文選用彈簧剛度k=900 N/m。

圖7 彈簧剛度k 對采集器動態特性的影響Fig.7 Effects of k on the dynamic performance of the harvester

2.3 與TPEH 性能對比

為了進一步揭示非對稱、變勢能阱三穩態系統的優越性，比較了非對稱勢能阱系統（TPEH-K）與傳統三穩態能量采集器（TPEH）的動態輸出響應。取dg=13 mm，d=28 mm，f=5 Hz，彈簧剛度k=900 N/m 條件下，其勢能曲線、相圖及輸出電壓圖如圖8～10 所示。

圖8 TPEH-K 和TPEH 勢能對比結果Fig.8 Potential energy of TPEH-K and TPEH

圖8 為勢能曲線對比結果，對于TPEH 來說，其勢能阱具有對稱性，其勢阱深度為7.342 mJ。而對于外部接入彈簧的三穩態系統，當懸臂梁末端發生運動時，外部彈簧受到的非線性磁力發生改變，使外部磁鐵的位置隨彈簧的運動發生實時改變，從而發生可變勢阱，此時左側勢阱較深，右側較淺，出現不對稱的情況，其勢能阱深度分別為4.796 mJ 和2.686 mJ，更淺的勢阱使系統更易躍過勢壘。

為了比較TPEH-K 和TPEH 兩種采集器在不同激勵情況下的頻域輸出特性，圖9 給出了加速度A0分別為2.5，4 和8 m/s2時兩種采集器的位移和電壓頻率響應特性。從圖9（a）中可以看出，當A0=2.5 m/s2時，激勵加 速度較 小，TPEH-K 和TPEH 系統在大部分頻域內均作小幅值的阱內振動，TPEH-K 僅在較小頻率范圍3～3.1 Hz 內作大幅振動。增大加速度至A0=4 m/s2，如圖9（b）所示，TPEH-K 大幅值阱間振動的頻率范圍增大至2.87～3.47 Hz，而TPEH 僅在3.08～3.13 Hz 作大幅值阱間振動；兩種采集器阱內間振動時輸出電壓到達1.5 V。繼續增大加速度至A0=8 m/s2，如圖9（c）所示，此結果表明，在低激勵條件下，TPEH-K 的阱間振動頻率范圍擴大至0～4.5 Hz，而TPEH 的阱間振動頻率范圍為2.5～3.5 Hz。此外，TPEH-K 的振動位移和輸出電壓也都大于TPEH。可見，由于非對稱勢能阱的加入，TPEH-K 系統可以在更低加速度和更寬的頻率范圍內產生更大的輸出。

圖9 不同加速度下TPEH-K 和TPEH 位移（左列）和電壓（右列）頻率響應特性Fig.9 Displacement（left column）and voltage（right column）of TPEH-K and TPEH with different A0

圖10 給出了TPEH-K 和TPEH 采集器隨激勵加速度的跳轉特性。由圖10 可知，對于非對稱勢阱系統TPEH-K，在加速度為8 m/s2時產生突跳，從低能軌道進入高能軌道運動，此時，采集器開始出現大幅振動位移，輸出功率會急劇增大。而TPEH 則在加速度10 m/s2激勵作用下產生突跳進入高能軌道運動。這說明非對稱勢阱系統能量采集器更容易在較低激勵水平作用下產生更大的能量采集器輸出。

圖10 TPEH-K 和TPEH 跳轉特性Fig.10 The snap-through behaviors of TPEH-K and TPEH

3 實驗研究與結果分析

圖11 為研制的非對稱勢能阱壓電振動能量采集器樣機，實驗樣機的懸臂梁（70 mm×10 mm×0.15 mm）由不銹鋼片制作，兩個壓電片（PZT-5A，10 mm×10 mm×0.5 mm）粘貼在其根部上下表面，左側固定在基座上，右端通過高強度膠粘貼一磁鐵A，外部磁鐵B 和C 粘貼在基板上，基板通過彈簧固定在可調節基板上。

圖11 實驗樣機Fig.11 Experimental prototype

圖12 為搭建的實驗測試平臺。信號發生器產生正弦信號用來模擬環境中的振動，經過功率放大器放大后傳輸到激勵器，以激勵采集器產生振動；由安裝在基座上的加速度傳感器測得其基礎加速度；激光位移傳感器位于懸臂梁上方檢測能量采集器振動位移信號，后進入動態信號分析系統處理；由示波器獲取采集電壓，將所得信號通過動態信號分析儀分析后輸出；直流電源為測試系統提供電能。

首先，對采集器的動態輸出特性進行實驗測試。圖13為激勵加速度A=9 m/s2，激勵頻 率f=5 Hz，水平距離d=28 mm，不同外部磁鐵間距下的采集器動態輸出性能的實驗結果。從圖13 中可以看出，實驗結果與仿真結果基本吻合。由圖13（a）得到dg=8mm時的實驗結果可知，采集器表現出雙穩態運動特征，懸臂梁末端最大振動位移和速度分別為0.04m和0.5 m/s2，最大輸出電壓為1 V；調整采集器外部磁鐵間距dg=18 mm，從圖13（b）的實驗結果可知，采集器系統表現為單穩態運動，懸臂梁末端最大振動位移和速度分別為0.01m和0.05 m/s2，最大輸出電壓為0.1 V。

圖14 所示為TPEH-K 和TPEH 采集器突跳特性的實驗與理論仿真結果，其中圖14（a）為可變非對稱勢阱TPEH-K 系統，圖14（b）為固定勢阱三穩態TPEH 系統。由圖14 可以看出，實驗和理論仿真結果基本吻合，證明本文模型是正確的。此外還可以看到，隨著激勵加速度的增大，TPEH 采集器在A=9.7 m/s2時發生跳變，從小幅值阱內振動跳轉到大幅值阱間振蕩，輸出較大電壓；而TPEH-K 采集器在A=8 m/s2時就發生跳躍，進入大幅值阱間運動，產生較大電壓。實驗結果與仿真分析相符，由此可見，非對稱、變勢能阱的加入能夠降低采集器做大幅阱間振動所需的激勵加速度，提高能量采集效率。

圖14 TPEH-K 與TPEH 跳轉特性實驗與理論對比結果Fig.14 Experimental and theoretical results of snap-through of TPEH-K and TPEH

為了進一步驗證激勵加速度對兩種能量采集器動力學特性的影響，取水平距離d=28 mm，外部磁鐵間距dg=13 mm，激勵加速度為A=8.5 m/s2，激勵頻率f=5 Hz。從圖15 的實驗結果可知，相同激勵加速度條件下，非對稱變勢能阱TPEH-K 系統表現為三穩態大幅振動，采集器最大振動位移為0.05 m，最大輸出電壓為1.8 V；而固定勢阱采集器TPEH 做阱內小幅振動，最大振動位移為0.01 m，最大輸出電壓為0.12 V。

圖15 TPEH-K 和TPEH 動態特性實驗結果比較Fig.15 Experimental compaison of the dynamic performances betwen TPEH-K and TPEH

為了驗證彈簧剛度對能量采集器輸出性能的影響，圖16 為采集器在彈簧剛度分別為300，900，3000 N/m 時正向掃頻得出的輸出電壓幅值的實驗結果。從實驗結果可知，當k=900 N/m，在2.1～5.4 Hz 時采集器有較大的輸出電壓，最大輸出電壓達到6.8 V，與固定勢阱的三穩態能量采集器相比有更高的輸出電壓和更寬的工作頻帶。

4 結論

設計建立非對稱、變勢能阱能量采集器的非線性磁力模型和機電耦合動力學模型。利用龍格-庫塔算法進行仿真分析，研究了能量采集器的動態特性，以及彈簧剛度對系統能量采集性能的影響。得到以下結論：

（1）外部磁鐵在水平方向的振動使非對稱勢能阱深度降低，大幅值振蕩運動更容易產生，有利于提升能量采集效率。

（2）磁體間距會對系統運動狀態產生影響，隨著距離的增大，采集器會經歷雙穩態、三穩態、單穩態的運動狀態。增大加速度幅值可以有效提高能量采集器的輸出性能，拓寬其有效工作頻帶。

（3）彈簧剛度是影響能量采集器輸出性能的關鍵因素，選擇適當的彈簧剛度，可以得到最大的輸出電壓及較寬的有效工作頻帶。

（4）k=900 N/m 時，TPEH-K 采集器大幅值阱間運動的頻率范圍為2.1～5.4 Hz，最大輸出電壓達到6.8 V，結果均優于TPEH。

附錄：磁力及拉格朗日方程推導

磁鐵i（i=B or C）在A 處的磁通密度為：

式中μ0為真空磁導率，?為向量梯度，mi為磁偶極子i的磁矩，且mi=MiVi，Mi為磁鐵i的磁化強度，Vi為磁鐵i的體積，riA為磁鐵i到磁鐵A 的方向向量。

末端磁鐵A 與外部磁鐵B 之間的磁勢能為：

由圖2 中磁鐵間的幾何關系可知：

式中 i 和j 分別代表水平方向和垂直方向的單位向量，將式（A1）和（A3）代入式（A2）可得UmBA，同理可得UmCA。所以磁場勢能為：

系統動力學方程可由拉格朗日方程得出：

將式（A4），（A8）～（A12）代入式（A7）可得拉格朗日方程式（1）。