考慮碾壓狀態的振動壓路機-路基耦合動力學分析

孫述鵬，王鋒會，馮維明，郭 超，張茂鋒

（1.山東大學土建與水利學院，山東 濟南 250061；2.山東省共同體工程機械有限公司，山東 濟寧 272073）

引言

振動壓路機作為一種道路施工機械，被廣泛用于高等級公路、鐵路、機場跑道、大壩、體育場等大型工程項目的填方壓實作業。振動壓路機的壓實作業是壓路機鋼輪與路基填筑體相互作用的過程，研究鋼輪在此相互作用過程中的動態響應，無論是對路基壓實質量的控制還是壓路機本身的設計，都具有重要的意義［1-4］。然而，由于壓路機鋼輪（剛體）與路基填筑體（彈塑性體）接觸問題的復雜性，以及碾壓過程的動態性，對壓實過程中振動壓路機鋼輪動態響應的研究一直是工程界面臨的難題。

長期以來，由于車-路/橋相互作用既影響到行車安全與駕駛舒適性，又牽涉到路/橋等結構物的維護保養，因此在汽車、軌道交通、道橋工程等領域，開展了大量關于車-路/橋耦合動力學的研究［5-9］。相比之下，振動壓路機作為一種相對特殊的道路施工車輛，關于振動壓路機-路基耦合動力學的研究則較少。Anderegg 等［10］建立了一個單自由度的振動壓路機-路基耦合動力學模型，通過仿真計算，發現了鋼輪在壓實作業后期的混沌運動。van Susante等［11］采用集總參數建模，對于鋼輪在壓實過程的非線性耦合動力學行為進行了分析。Paulmichl 等［12］提出了一種鋼輪-路基相互作用的模型，利用其捕捉到了工程現場觀測到的鋼輪-路基相互作用系統的基本特征。管迪等［13］利用諧波線性化方法將滯回非線性力線性化為等效阻尼和等效剛度，建立了土壤非線性力學模型，通過數值仿真分析了鋼輪的動力學特性。Shen 等［14］利用由Bouc-Wen 微分方程導出的非對稱滯回模型，研究了不同壓路機參數引起的鋼輪的動態響應，提出了避免混沌振動的方法。上述關于鋼輪動態響應的研究中，路基多采用彈性路基模型或非對稱滯回模型來表征，然而考慮到路基在壓實過程中會經歷大塑性變形-小塑性變形-近彈性變形的演化過程，彈性路基模型可以用于鋼輪在壓實末期（路基近彈性階段）的動態響應分析，但是并不能很好地反映前期彈塑性階段路基的特性；而非對稱滯回模型能較好地刻畫鋼輪與路基的非線性相互作用，但不能直接反映被壓實材料的塑性變形，故而無法直接評判壓實效果。

為盡可能真實地反映整個壓實過程中路基的力學特性，Pietzsch 等［15］考慮路基的塑性變形，提出了黏彈塑性振動壓實模型，并對壓實過程中鋼輪動態響應進行簡單的研究，但該模型較復雜，應用起來比較困難。Kordestani［16］簡化了黏彈塑性路基模型，并基于該模型對鋼輪動態響應進行了初步分析，但未對鋼輪隨壓實作業的進行，路基碾壓狀態發生變化時的動力學行為演化規律進行深入研究。

本文考慮路基在壓實作業過程中力學特性的演變，引入狀態向量σ來描述鋼輪與路基之間的相互作用，引入塑性參數ε來描述路基的彈塑性狀態，建立了描述振動壓路機鋼輪運動狀態的機-路耦合動力學模型，系統地研究了壓實作業各個階段振動壓路機鋼輪動力學響應及其演化規律，詳細分析了鋼輪在不同壓實階段的運動狀態。

1 壓路機-彈塑性路基耦合動力學模型

根據壓路機的機械結構特征以及工作特點，對模型做如下假設：（1）將振動壓路機的鋼輪視作剛性體，簡化為集中質量；（2）忽略壓路機車架慣性力的影響，建模中只考慮其質量；（3）將振動壓路機和路基模型簡化為二維模型；（4）振動壓路機鋼輪上產生的激振力可以分為水平方向和豎直方向的分力，由于對路基起主要壓實作用的是豎直方向的力，為了簡化模型，只考慮壓路機鋼輪豎直方向上的運動。

圖1 所示為壓路機-彈塑性路基耦合動力學模型，分為上下兩部分，分別為振動壓路機的模型和路基的模型。對于振動壓路機，將鋼輪等效為一個內部有偏心質量塊旋轉的剛體，將機架等效為一個集中質量；對于路基，考慮了路基的彈塑性特性，通過加入塑性元件來表示在壓實過程中路基產生的塑性變形。其中，模型的主要參數為：xd為鋼輪豎向位移，xe為路基的彈性變形，xp為路基的塑性變形，kp為路基的塑性剛度，ke為路基的彈性剛度，ce為路基的黏彈性阻尼，md為鋼輪質量，mf為車架的等效質量，me為鋼輪內部偏心質量塊質量，re為偏心質量塊偏心距離，Ω為偏心質量塊旋轉角速度，其中Ω=2πf，f為質量塊的旋轉頻率也是鋼輪壓實的激振頻率。

圖1 振動壓路機-路基耦合模型Fig.1 Vibratory roller-subgrade coupling model

本模型以路基靜平衡位置為坐標原點，方向豎直向下為正，對振動壓路機鋼輪進行豎直方向的受力分析，由牛頓第二定律，可得其動力學方程：

式中A0為名義振幅，A0=mere/md；t為時間；Fs為路基的動態作用力，Fs=FT-(md+mf)g，其中FT為路基與鋼輪之間的接觸力。

路基的動態作用力Fs可分別根據路基的塑性變形和彈性變形得出：

模型的靜平衡位移us為：

引入塑性參數ε描述路基彈塑性特性：

該參數可以反映路基的壓實程度，在路基壓實過程中，塑性參數ε隨著壓實遍數的增加逐漸增大，從0 逐漸趨近于1，具體數值根據試驗確定。

將方程式（3）等式兩端均乘以ε，結合式（5）整理可得鋼輪位移xd與路基彈性變形xe的關系：

如圖2所示，根據路基與鋼輪之間的接觸力和鋼輪速度方向，將鋼輪的一個壓實周期的運動狀態歸為三類：

圖2 三種壓實狀態Fig.2 Three compaction status

（a）加載狀態：鋼輪向下壓實路基，位移速度方向向下，此時鋼輪與路基持續接觸，路基產生彈塑性變形，直到鋼輪速度為0，如圖2（a）所示。

將式（2）代入式（1）可得：

式（7）兩端均乘以ε，并求導，結合式（5）整理可得：

將方程（7）和（8）等式兩端分別相加，結合式（6），消去xe和相關項，整理可得關于xd及其導數的運動方程：

（b）卸載狀態：鋼輪由最大彈塑性變形位置向上運動，位移速度方向向上，路基在加載狀態時產生的塑性變形不可恢復，路基只恢復彈性變形，直到路基完全恢復其彈性變形，同時鋼輪保持與路基的接觸，如圖2（b）所示。將式（2）代入式（1），可得系統動力學方程：

（c）脫離狀態：分為兩種工況，一種為鋼輪與路基的實際表面失去接觸，但是鋼輪位移未超過未被壓實的路基表面，此時鋼輪與路基之間是周期性失去接觸的狀態；另一種工況則是鋼輪位移超過未被壓實的路基表面，為跳振狀態。狀態示意圖如圖2（c）所示。脫離狀態路基與鋼輪之間的接觸力FT=0，由式（1）可得：

為了更加簡明地描述振動壓實過程中振動壓路機鋼輪的運動狀態，引入狀態向量σ=（σ0，σ1，σ2，σ3，σ4，σ5）來表征鋼輪與路基相互作用狀態，取值如表 1所示。其中σ0為狀態標識，σ1，σ2，σ3，σ4，σ5對應狀態量。進而，鋼輪的動力學方程可統一表示為：

為便于數值求解，進一步可將三階常微分方程（12）寫成狀態空間方程的形式：

表1 狀態向量數值Tab.1 State vector values

圖3 表示出了文中的鋼輪壓實位置關系，其中“路基的實際表面”為壓實過程中任意時刻路基與鋼輪接觸的位置；而“未被壓實的路基表面”則是路基還未被鋼輪壓實、處于自然狀態下的表面位置。

圖3 壓實位置關系Fig.3 Compacting position relationships

2 數值仿真

針對某型號振動壓路機進行仿真，壓路機參數如表2所示。仿真中塑性參數ε與壓實遍數之間的關系參考文獻［16］，如圖4所示，工程中具體可根據試驗確定。在振動壓路機壓實過程中，隨著壓實遍數的增多，路基塑性參數在不斷增大，壓路機鋼輪在不同塑性參數路基的情況下，動力學響應特征也存在差異。選取壓實第1，4，7和12遍時的路基參數來研究振動壓實過程中鋼輪的動力學響應，路基參數的選取如表3 所示，其中的路基剛度以及路基阻尼都是根據壓路機施工現場歷史數據所得。

表2 壓路機仿真參數Tab.2 Simulation parameters of the vibratory roller

表3 彈塑性路基仿真參數（ce=130 kN·s/m）Tab.3 Simulation parameters of elastoplastic subgrade（ce=130 kN·s/m）

圖4 塑性參數與壓實遍數的關系Fig.4 Relationship between plastic parameters and compacting times

壓實初期第1 遍壓實，塑性參數ε=0.34，此時鋼輪的動態響應如圖5 所示，可以從時間歷程的圖像中看到路基顯著的彈塑性變形，頻譜圖中只有一個主頻存在，其中0 頻率成分對應鋼輪壓實時的靜變形，Poincaré 截面圖中只存在一個孤立相點。由圖6 可知，壓實力FT是連續的曲線，說明鋼輪在壓實過程中一直與路基保持接觸，鋼輪運動是處于加載（σ0=1）-卸載（σ0=2）不斷交替的狀態。

圖5 塑性參數ε=0.34Fig.5 Plasticity parameter ε=0.34

圖6 塑性參數ε=0.34Fig.6 Plasticity parameter ε=0.34

壓實中期第4 遍壓實，塑性參數ε=0.72，此時鋼輪的動態響應如圖7 所示，從時間歷程上可以看出鋼輪仍然是在未被壓實路基表面以下運動，但是在圖8 中FT隨時間變化會出現周期性為零的情況，即在壓實過程中鋼輪出現周期性脫離路基的運動。因此壓實中期階段振動壓實處于加載（σ0=1）-卸載（σ0=2）-脫離（σ0=3）不斷切換的狀態。盡管有脫離地面振動的情況，但是鋼輪的運動沒有超出未被壓實路基表面，因此不會對路基產生有害壓實。

圖7 塑性參數ε=0.72Fig.7 Plasticity parameter ε=0.72

圖8 塑性參數ε=0.72Fig.8 Plasticity parameter ε=0.72

壓實后期第7 遍壓實，塑性參數ε=0.87，鋼輪的動態響應如圖9 所示，此時路基被壓實到一定程度，塑性剛度很大，處于倍周期運動的狀態，頻譜中出現次諧波成分，鋼輪出現明顯的“雙跳”現象。據圖10 可知，此時振動壓實處于加載（σ0=1）-卸載（σ0=2）-脫離（σ0=3）不斷切換的狀態，且鋼輪運動會超出未被壓實路基表面，會對路基產生有害壓實。

圖9 塑性參數ε=0.87Fig.9 Plasticity parameter ε=0.87

壓實末期第12 遍壓實，塑性參數ε=0.93，鋼輪動態響應如圖11 所示，從時間歷程、相圖中可以看出，鋼輪運動無規則，頻譜圖有一條連續的譜線，并且Poincaré 截面中存在吸引子，說明鋼輪已經進入混沌運動狀態。從圖12 中可以清楚地看到，此時鋼輪與路基之間的接觸力FT的變化也是無序的，易造成壓實不均的情況，對路基產生有害壓實。

圖12 塑性參數ε=0.93Fig.12 Plasticity parameter ε=0.93

為了研究鋼輪在路基接近彈性狀態時的動態響應，取ε=0.93 繪制以路基彈性剛度ke為參數的分岔圖，范圍為70～90 MN/m，路基阻 尼ce=130 kN·s/m，如圖 13 所示。從圖13 中可以看出，路基剛度范圍為70～75.3 MN/m 之間時，鋼輪在進行單周期運動，而在75.3～85.1 MN/m 之間時，鋼輪處于多周期運動窗口，在路基剛度大于85.1 MN/m 之后，鋼輪的運動通過倍周期分岔進入混沌。

圖13 ε=0.93 時以剛度為分岔參數的分岔圖Fig.13 The bifurcation diagram with stiffness as bifurcation parameter ε=0.93

圖13 分析了路基參數對鋼輪動響應的影響，由于在ε=0.93 時，路基彈性剛度達到一定程度，鋼輪容易發生“跳振”工況，圖 14 進一步研究了壓路機參數對鋼輪動響應的影響。圖14中給出了由九幅分岔圖（L1～L9）組成的三維圖像，這些分岔圖以激振頻率為分岔參數，激振頻率的變化區間為10～35 Hz，名義振幅的取值區間為0.5～2 mm，繪制時路基剛度和阻尼分別設定為70 MN/m 和130 kN·s/m。如圖14 所示，當名義振幅在0.5～1.25mm的時候，在圖示頻率范圍內，鋼輪運動通常呈現單周期運動的狀態；當名義振幅在1.5～2.5mm時，隨著激振頻率的增加，鋼輪的動態響應由單周期轉向多周期，甚至進入混沌狀態，最終又會恢復到單周期運動。另外，隨著名義振幅的增加，出現“跳振”時的激振頻率數值逐漸變小。

圖14 不同名義振幅下以激振頻率f 為分岔參數的分岔圖Fig.14 Bifurcation diagrams with excitation frequency f as bifurcation parameter under different nominal amplitudes

3 結論

本文引入狀態向量σ來描述鋼輪與路基之間的相互作用，引入塑性參數ε來描述路基的彈塑性狀態，建立了描述振動壓路機鋼輪運動狀態的壓路機-路基耦合動力學模型。基于該模型，采用數值積分的方法，對壓實各個階段壓路機鋼輪的響應特征進行了分析。主要結論如下：

（1）本文通過引入描述鋼輪與路基之間的相互作用的狀態向量σ和塑性參數ε，建立了壓路機-路基耦合動力學模型，考慮了振動壓實過程中路基力學特性的變化，可以用于分析振動壓實作業各階段壓路機鋼輪的動響應。

（2）隨著壓實作業的進行，振動壓路機鋼輪會經歷“單周期運動-倍周期運動-混沌運動”的動力學演化，在單周期運動時存在與路基持續接觸和周期性失去接觸的工況，在倍周期以及混沌運動時出現“跳振”現象。

（3）在壓實作業的初期和中期，振動壓路機鋼輪運動呈現單周期運動的特點，盡管也有脫離路基的情況，但鋼輪運動始終在未被壓實路基表面以下，不會出現有害壓實；而在壓實的后期，無論是倍周期還是混沌運動，鋼輪均會出現超出未壓實路基表面的情況，對路基產生有害壓實，應在現場施工時盡量規避。

（4）在路基接近彈性的情況下，隨著路基剛度的增加，振動壓路機鋼輪呈現“單周期運動-倍周期運動-混沌運動”的運動響應特征，與采用彈塑性路基模型分析的結果類似。