交流電機驅動彈性連桿式振動機械的Sommerfeld 效應分析

陳曉哲，劉俊岐，鐘 山，李凌軒

（東北大學秦皇島分校控制工程學院，河北 秦皇島 066004）

引言

在人類生產活動中所應用的機械設備都是由各式各樣的內燃機和電動機等原動機來提供動力輸出的。受能量守恒限制，所有的原動機能夠提供的動力都是有限的，統稱這類提供有限動力的原動機為非理想原動機［1］。在一般機械系統研究中，因電機部分與機械部分無運動耦合關系，往往不考慮機械部分的運動對原動機的影響。但是在振動系統中，由于系統振動運動的變化速度與原動機轉速同頻，系統的振動運動會顯著影響原動機的旋轉運動，進而形成一種機電耦合作用［2］。特別是在近共振區工作的振動機械，由于系統運動振幅較大，需要輸入更多的外部能量，這就會造成原動機的動力不足，最終導致原動機無法升高轉速。當繼續增加能量輸入時，就會出現原電機轉速的跳躍現象，即從共振前直接跳到共振后，這種非線性跳躍現象被稱為Sommerfeld 效應，此類系統也被稱為非理想振動系統［1-2］。因此，在非理想振動系統的研究過程中，需要考慮Sommerfeld 效應。

國外學者在不同機構中對Sommerfeld 效應展開了一定的研究，但是采用的原動機多為直流電機模型。針對單盤轉子系統，Bharti 等［3］研究了轉子二階共振處的Sommerfeld 效應。對于轉子系統中存在Sommerfeld 效應而導致轉速不能升高的問題，Jha 等［4］利用主動磁軸承來衰減系統內阻尼進而控制Sommerfeld 效應的發生。在懸臂梁系統中，Jiang等［5］采用模態法對梁進行離散，研究了彈性質體的Sommerfeld 效應。在曲柄滑塊模型中，Sinha 等［6］對往復機構產生的Sommerfeld 效應進行了分析。顯然一個非理想源可以產生跳躍現象，兩個非理想源有可能會產生自同步現象。基于單質體模型，Kovriguine 等［7］對比了一個偏心轉子和兩個偏心轉子的Sommerfeld 效應。Djanan 等［8］采用兩臺直流偏心電機對彈性矩形板系統的Sommerfeld 效應進行了研究，采用偏心轉子自同步的方式減小了彈性板的振動。針對兩個偏心轉子系統，Zhang 等［9］研究了一類雙質體振動系統中的轉子自同步和Sommerfeld 效應。在動力吸振器模型中，Felix 等［10］基于Sommerfeld 效應研究了能量回收。考慮彈簧非線性，González-Carbajal 等［11］研究了電機機械特性曲線的斜率對Sommerfeld 現象的影響，并且發現了非線性系統中存在霍普分岔。目前，國內學者對Sommerfeld 效應研究較少。孔祥希等［12］對一個質量偏心單盤轉子系統的Sommerfeld 效應及不平衡響應進行了分析。姜嬌等［13］考慮一個偏心轉子作激勵源的單質體振動系統，應用線性系統的解研究了該機構的Sommerfeld 效應。

考慮到彈簧連桿式振動機械在各工業部門應用比較廣泛，并且其采用交流電機作為原動機，有必要對該類型的振動機械進行Sommerfeld 效應的研究。在上述研究基礎上，本文引入交流電機的數學模型，建立該類振動系統的動力學模型，通過理論分析和數值仿真為該類振動系統的設計提供理論依據。

1 機電耦合動力學模型

如圖1 所示，為一類交流電機驅動的連桿式振動機械。交流電機驅動偏心機構使彈性連桿往復運動，彈性連桿上的傳動彈簧（剛度為k1）使振動臺產生振動。振動臺（質量為m）與底座之間采用主振彈簧（剛度為k0）連接。由于有導向桿的限制作用，振動臺只能在垂直于導向桿x方向上運動。其中，r為偏心半徑，φ為偏心軸轉角，c為主振彈簧阻尼系數。

圖1 彈性連桿式振動機械Fig.1 The elastic connecting rod vibration machine

綜合考慮振動系統的機電耦合作用，引入交流電機數學模型［14］，基于拉格朗日方程建立機電耦合系統的動力學數學模型為：

其中，ωs=2πf為定子角頻率，ω為轉子角頻率；k=k0+k1，“?”表示d(?)/dt，“??”表示=d2(?)/dt2，Te為電機電磁力矩，其他電機參數詳見表1。

表1 電機參數表Tab.1 Parameters of motor

2 理論分析

2.1 理論推導

對比電機運動方程［14］，可知式（2）中等號右端第二項為負載力矩，其中k1rxcosφ為機電耦合項。根據非理想源特性［1］，需要研究x為最大時，是否會使原動機無法提供足夠的動力。眾所周知，只有當系統運動處于共振區時，系統響應x接近最大。因此，接下來將研究系統共振時的情況。

系統運動在共振區時，阻尼項和外部激勵項均可以認為是小項［15］。通過引入小參數ε，將式（1）進行無量綱化，得：

如果系統處于穩態運動，即ε=0 時，系統的振幅A和相角Θ應為常數，可以設式（3）的解為：

如果ε≠0 時，A和Θ都將隨著時間t緩慢變化，此時系統頻率為=Ω，因此應為：

所以，x對時間t的二次導數可化簡為：

將式（4）和（7）代入式（3），得：

式中εχ2=k1r/J，εσ1=ωn-Ω。

根據dφ=Ωdt，對上述方程組進行換元表達：

式中εTm(Ω)=[Te(Ω)-c1Ω)]/J；?'=d(?)/dφ。

雖然Ω，A和Θ是t或φ的函數，但是它們是隨時間緩變的，仍可以看作平均變化量與小的振動變化量疊加而成，所以可以設成如下形式［15］：

式中fΩ，fa和fθ為小的振動項。

因此，可取在周期2π 內Ω，A和Θ的平均值來作平均變化量部分：

式中εσ2=ωn-ω。

整理式（16）～（18），可得一次近似解：

當振動系統處于穩態運動時，響應的狀態量應為常量，可以得到如下條件［15］：

將式（22）代入式（12）～（14），得：

聯立式（24）和（25），可得振動系統一次近似的振幅和相角：

將式（26）和（27）代入式（23），得系統穩態運動時，電機的運動方程：

式中TL(ω)=c1ω+cωna2/2 為電機總負載力矩。

值得注意的是式（28）是關于角速度ω的超越方程，本文在第3 節的討論中采用了數值方法。

2.2 穩定性分析

接下來研究振動系統運動的穩定性。將式（12），（13）和（14）表達成如下形式：

根據一次近似穩定性判別法，求式（29）的Jacobi 矩陣［15］，得：

式（30）的特征方程為：

根據Routh-Hurwitz 定理，得到振動系統穩定性條件：

根據式（32），可得第一穩定性條件：

從式（33）中可以看出，由于實際機械系統參數均為正值，所以第一項和第三項必為正值。如果滿足dTe(ω)/dω<0，第一穩定性條件就必然得到滿足。顯然，根據交流電機機械特性曲線［1］，此條件很容易得到滿足。

根據式（32），可得第二穩定性條件：

由于式（34）中括號內項均為平方項，因此可以得到進一步簡化后的第二穩定性條件：

根據式（32），可得第三穩定性條件：

觀察式（36）可知，除中括號項外，其余項均為正值。如果滿足Tn=d(Te-c1ω)/dω<0，只須要求ωn>ω，第三穩定性條件也一定滿足。

3 數值分析

本節將通過數值法對所研究的對象進行定量的分析，其中振動參數為m=20 kg，k=30 kN/m，c=54.22 N·s/m，r=0.1 m，k1=1 kN/m，其余相關電機參數如表1 所示。

圖2 為不同供電頻率下，電磁力矩Te與負載力矩TL隨電機轉速的變化曲線。從圖中可以看出，交流電機的機械特性曲線具有非線性特征，Te隨著電機輸出角速度ω先升后降，這點是不同于直流電機的。兩種力矩的交點代表著可以滿足式（28）的平衡狀態，即可以保證系統實現穩態運動。同時也能看出交點都處于Te的下降區，這正好符合第一穩定性條件要求的dTe(ω)/dω<0。由于TL曲線在共振區會出現非線性變化，即出現波峰狀態。這就會導致兩種力矩曲線在共振區內可能存在三個交點。圖中五條曲線，21 Hz 和26.3 Hz 的Te與TL只有一個交點，這說明并非所有頻率都存在Sommerfeld 效應，該現象在共振區工作的頻率有可能出現。22.3 Hz 和25 Hz 的兩條曲線給出該電機參數可能會存在該現象的頻率界線。根據第三穩定性條件，兩種力矩的交點在共振前，即ω<ωn，就是穩定的點。

圖2 角速度-力矩Fig.2 Angular velocity-torque

為了更一步分析Sommerfeld 效應的產生機理，將兩種力矩做差后繪圖，如圖3 所示。根據能量守恒，當Te=TL時，系統達到穩態。因此，曲線的0 點所對應的角速度就是系統最終穩態對應的角速度。值得注意的是，23.6 Hz 曲線存在三處等于0 的點。根據第二穩定性條件，兩種力矩差的導數應為負值才能保證點是穩態點。23.6 Hz 曲線中間0 點處的導數為正值，所以該點是不穩定的點。

圖3 角速度-力矩差Fig.3 Angular velocity-torque difference

通過上述分析解釋了Sommerfeld 效應的產生機理，接下來將針對Sommerfeld 效應對系統穩態運動的影響進行討論。

圖4 給出了系統的一次近似振幅a和角速度ω在不同供電頻率f下的變化規律。在圖4（a）中，a的曲線在共振區出現了波峰，但是不同于線性系統，a的曲線出現了硬式非線性特征。隨著f的增加，a由p1點跳到p2點；隨著f的減小，a由q1點跳到q2點。上述現象產生的原因可見圖4（b）所示，ω隨f的增大而升高，但是在共振區卻出現非線性變化，即頻率俘獲。從能量守恒的角度來分析，系統共振時需要更多的能量來維持運動，這就增加了電機的總負載力矩。電機在升速過程中得到的外部能量幾乎全部用于維持系統共振運動。因此，電機輸出的角速度即使增加，供電頻率也不會提升，出現了一種角速度被俘獲的現象。當電機獲得足夠的能量后，可以克服共振時負載力矩需要的能量，根據電機運動方程，電機的角速度得到了增加。由于角速度產生了變化，系統外部激振頻率也相應跟著變化，并且遠離了共振點。這樣就會導致系統不再需要這么多的能量來維持共振運動，而已經獲得的這部分能量由共振運動再次傳遞回電機的升速運動。最后，大量的能量全部用于角速度的提升，就會造成其曲線產生跳躍現象。同理當減小供電頻率，系統的共振運動出現滯后現象，即經過升頻的跳躍點時，也沒有產生共振。當再次降低到一定頻率時，由于系統產生共振運動，瞬間需要較大的能量。因此，原先用于維持電機旋轉運動的能量再次被轉移至共振運動，就會造成電機轉速的突然下降。上述分析從能量轉換的角度再次解釋了Sommerfeld 效應。圖4（c）為第二穩定性條件，從圖中可以看出只有p1～q1段是大于0的，因此該段內的所有運動均是不穩定的。接下來為驗證理論解的正確性，對式（1）和式（2）進行數值仿真。

圖4 供電頻率-不同參數Fig.4 Power frequency-different parameters

圖5 選用23 Hz 作為電機的供電頻率進行數值仿真。考慮到22.3 Hz 和25 Hz 為頻率界線，為了方便對比，本例選用3 Hz作為調節頻率步長。如圖5（a）所示，電機在增頻過程中，因23 Hz<25 Hz，仍處于共振前階段，對應角速度約為38 rad/s。當增頻至26 Hz，大于共振點，角速度產生很大的跳變，約為45 rad/s。為了驗證硬式非線性特征，將頻率下調回23 Hz，而角速度卻下降得很少，約為44 rad/s。這說明了相同供電頻率下，系統存在兩個穩定工作點，共振點前后各存在一個，這個現象也可以從圖5（b）中發現。最后，再次將頻率下降至20 Hz。由于離開了Sommerfeld效應區間，角速度躍至約37.5 rad/s，再次回到共振點前。本例展示了角速度的跳躍、系統頻率俘獲和系統響應的遲滯共振等現象，同時也驗證了本文所采用的解析方法的有效性和準確性。

圖5 時域響應Fig.5 Time domain response

通過前面關于Sommerfeld 效應的研究可知，角速度跳變的最終狀態是由電機提供的能量在轉子旋轉運動和系統振動運動之間互相傳遞來決定的。下面，將結合不同的振動參數對Sommerfeld 效應進行定量的研究，從而給相關機械系統參數設計提供理論支持。如圖6 所示，圖6（a）為不同參振質量m下，電機負載力矩TL的變化情況。從圖中可以看出，隨著參振質量增大，TL的波峰逐漸左移，并且波峰變窄。這些變化均是由于固有頻率變小導致的。但值得注意的是，僅改變參振質量對避免發生Sommerfeld效應影響規律不一。雖然m=30 kg 處于中間位置，可是不存在Sommerfeld 效應。圖6（b）為不同主振剛度k條件下，電機負載力矩TL的變化情況。因為改變主振剛度也會導致系統固有頻率的變化，進而可以避免Sommerfeld 效應的發生。因此，選擇工作在近共振區的機構，需要慎重選擇電機型號，從而避免主振剛度變化引起Sommerfeld 效應發生。圖6（c）為不同偏心半徑r條件下，電機負載力矩TL的變化情況。因為偏心半徑影響激振力，從而影響系統振幅的峰值，從圖中可以看出，適當減小r的數值，可以避免Sommerfeld 效應的發生。圖6（d）為不同傳動剛度k1條件下，電機負載力矩TL的變化情況。同r變化一致，k1也影響著激振力。但是過小的k1會影響激振力的傳遞。圖6（e）為不同電機阻尼系數c1條件下，電機負載力矩TL的變化情況。電機阻尼系數本質上不同于其他振動參數。該系數過大會影響系統的有效功率，應盡可能地減小。從圖中也可以看到，如果減小該參數后，也會避免Sommerfeld 效應的發生。

圖6 不同參數情況下負載力矩曲線Fig.6 The load torque curves with different parameters

4 結論

本文以一類彈性連桿式振動機械為研究對象，考慮其為非理想振動系統，引入交流電機模型，建立了該系統的機電耦合動力學模型，通過解析和數值仿真兩種方法定量地研究了該振動系統的Sommerfeld 效應。相關結論如下：

（1）驗證了交流電機驅動的彈性連桿式振動機械也存在Sommerfeld 現象，即電機轉速呈現跳躍式突變現象，并且振動系統的幅頻特性曲線也呈現出硬式非線性特征。

（2）證明了Sommerfeld 效應的本質是由于穩態電機運動方程的多根特征導致的。由于該方程是超越方程，當接近共振區時，方程會存在三個解，其中一個解對應著不穩定狀態。

（3）針對關鍵性系統參數進行了定量分析發現，參振質量對Sommerfeld 效應影響規律不統一；偏心半徑、傳動剛度及電機阻尼對Sommerfeld 效應影響較大，且變化特征基本一致；而系統剛度因其變化影響系統固有頻率，所以對Sommerfeld 效應影響最大。