變厚度旋轉圓柱殼的自由振動研究

李 涵，李欣業，白 斌，錢 毅，桑建兵，李 想

（1.河北工業大學機械工程學院，天津 300401；2.湖南三一工業職業技術學院工程機械學院，湖南 長沙 410129；3.核工業理化工程研究院粒子輸運與富集技術國防科技重點實驗室，天津 300180）

引言

旋轉圓柱殼結構在工業領域中應用廣泛，例如，高速旋轉的離心分離器、航空發動機的轉子系統等。在這些工程裝備中，旋轉圓柱殼結構所處的工作條件日趨嚴苛復雜，此外，為了進一步提高使用性能和工作效率，旋轉圓柱殼結構的壁厚呈現出越來越薄的趨勢，這些因素導致其結構振動問題日益凸顯。此外，由于離心力和科氏力以及初始環向張力的影響，相對于靜止的圓柱殼，旋轉圓柱殼會出現特殊的行波振動現象。因此，對旋轉圓柱殼結構振動特性的研究具有重要意義。

對旋轉圓柱殼結構自由振動分析的求解方法有多種，例如，一些學者采用Galerkin 法對旋轉圓柱殼的自由振動特性進行分析［1-5］，同時，微分求積法也常用于旋轉圓柱殼的自由振動研究［6-11］。此外，與有限元方法相比，雖然Ritz 法難以分析幾何形狀復雜的結構，但其計算過程比較簡單，且能保持較高的精度，因此仍被廣泛應用于旋轉圓柱殼的振動特性研究中。例如，李文達等［12］通過Ritz 法，采用改進的傅里葉級數位移形式，對彈性約束邊界下的旋轉薄壁圓柱殼結構的自由振動進行分析；還有研究利用Ritz 法，采用Gram-Schmidt 多項式構成近似函數，對旋轉圓柱殼的自由振動進行分析［13-14］；Lei 等［15］運用無單元kp-Ritz 法，對旋轉圓柱殼的自由振動進行了分析；Qin 等［16］通 過Ritz 法，采 用Chebyshev 多 項式構成近似函數，研究了旋轉圓柱殼的自由振動。但是，在上述研究采用Ritz 法對旋轉圓柱殼振動特性進行求解的過程中，多采用傅里葉級數和Gram-Schmidt 多項式構成近似函數，較少采用Chebyshev 多項式，而Chebyshev 多項式在數值運算中具有正交性、快速收斂性和穩定性的優點［17］，比較適合構成近似函數。

此外，上述研究都未考慮旋轉圓柱殼厚度變化的影響，然而在實際應用中，為了進一步減輕重量，旋轉圓柱殼結構有時需要設計為變厚度的形式，即厚度沿軸向變化。因此，已有學者對變厚度旋轉圓柱殼的行波振動特性進行了分析。Quoc 等［2］采用Galerkin 法對處在熱環境下的變厚度旋轉圓柱殼的振動特性進行了研究，但是該研究只考慮了一種厚度變化形式。

基于上述討論，本文將考慮3 種厚度變化形式，并采用Chebyshev-Ritz 方法，比較不同厚度變化形式下旋轉圓柱殼的自由振動，討論轉速、厚度變化參數和圓柱殼長徑比等參數對變厚度旋轉圓柱殼自由振動的影響，該研究將對旋轉圓柱殼結構的輕量化設計具有一定意義。

1 理論建模

為了研究變厚度旋轉圓柱殼結構的行波振動特性，首先對其進行理論建模。如圖1 所示，圓柱殼結構以轉速Ω繞其中心軸旋轉，其長度為L，平均半徑為R，（x，θ，z）為建立在圓柱殼中曲面上的正交坐標系，u，v，w分別為圓柱殼上任意一點沿x，θ，z三個方向上的位移分量。本文假定旋轉圓柱殼的厚度h（x）沿其軸向線性變化，如圖2 所示，可分為3 種變化形式，分別記為V1，V2 和V3。在這3 種不同的厚度變化形式下，圓柱殼上、下表面在坐標軸z方向上的坐標會發生變化，具體表達式如下：

圖1 旋轉圓柱殼結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of a rotating cylindrical shell

圖2 變厚度旋轉圓柱殼的3 種厚度變化形式Fig.2 Three varying forms of thickness for a rotating cylindrical shell with variable thickness

V1 厚度變化形式：

式中h1（x）和h2（x）分別表示圓柱殼上、下表面在坐標軸z方向上的坐標；h0表示圓柱殼初始厚度，即在x=0 時的厚度；kh表示厚度變化參數。

V2 厚度變化形式：

V3 厚度變化形式：

1.1 動能與勢能求解

為了對所建模型進行固有頻率的求解，本文采用Chebyshev-Ritz 法對變厚度旋轉圓柱殼結構進行研究，因此首先需給出圓柱殼的動能方程與勢能方程。

旋轉圓柱殼上任意一點的速度向量可以表示為：

式中r表示旋轉圓柱殼在坐標系（x，θ，z）上的任意一點的位移向量，可以表示為r=ui+vj+wk，其中，i，j，k 分別為沿x，θ，z方向的單位向量為r的一階導數。

旋轉圓柱殼的動能計算公式為：

式中ρ表示密度。

然后，將公式（4）代入公式（5），得到旋轉圓柱殼的動能方程為：

根據Sanders 殼理論，旋轉圓柱殼上任意一點的應變可以表示為：

旋轉圓柱殼的應力應變關系表示為：

其中，E為材料彈性模量，μ為材料泊松比。

由旋轉圓柱殼結構的變形引起的應變能可描述為：

由離心力引起的旋轉圓柱殼的應變能表達式為［19］：

因此，變截面旋轉圓柱殼的總勢能方程可以表示為：

1.2 固有頻率及模態振型求解

在上一小節得到的旋轉圓柱殼動能方程與勢能方程的基礎上，本小節利用Chebyshev-Ritz 方法求解旋轉圓柱殼固有頻率及模態振型，并給出求解過程。

首先，旋轉圓柱殼結構的位移場可表示為：

式中w1為旋轉圓柱殼的固有頻率；n為旋轉圓柱殼行波模態的環向波數；U（x），V（x）和W（x）為模態函數，在本文中，這些模態函數通過Chebyshev 多項式和其對應的邊界函數的乘積近似展開，具體公式為：

式中ai，bj和ck為未知系數；nmax表示在計算中被截斷的項數；Pi(ξ)，Pj(ξ)和Pk(ξ)為第一類Chebyshev 表達式，可以用三角函數的形式表示為：

通過Chebyshev 多項式可以以較低的計算成本實現較快的收斂速度，并保持較高的精度，但是它定義在區間［-1，1］上，并在區間［-1，1］上才具有正交性，所以需要進行坐標變換，即ξ=2x/L-1。fu(ξ)，fv(ξ)和fw(ξ)表示沿ξ方向的邊界函數，這些邊界函數需要滿足相應的旋轉圓柱殼的幾何邊界條件，具體表達式如表1 所示。

表1 不同邊界條件下的邊界函數Tab.1 The boundary function for different boundary conditions

其次，由公式（6）和（12）可獲得變厚度旋轉圓柱殼的能量表達式為：

根據瑞利原理，最可能的近似值通過使關于未知系數的能量表達式Π最小而被確定，因此對能量表達式Π關于未知系數進行求導運算：

然后，公式（17）可以進一步轉化為矩陣形式下的特征值問題：

式中P為由未知系數組成的特征向量，即旋轉圓柱殼的振型，表達式為：

K為剛度矩陣，M1和M2為質量矩陣，具體表達式分別為：

其中，各矩陣的第i行、第j列元素分別為：

式中i0=d=h（x），Q66=G。求解方程（18），即可得到與固有頻率相對應的振型。

2 數值結果與討論

本節首先將計算結果與文獻［18］和［20］中的結果進行對比，并對其收斂性進行研究，以驗證本文建模方法的準確性與收斂性，然后通過參數研究分析變厚度旋轉圓柱殼的自由振動行波特性。在本文中，除特別提及外，旋轉圓柱殼的長度L=1 m，初始厚度h0=0.02 m，厚度變化參數kh=0.5，密度ρ=1072 kg/m3，彈性模 量E=172 GPa，剪切模 量G=4.2 GPa，泊松比μ=0.31，平均半徑R=0.2，轉速Ω=25 r/s，無量綱頻率參數w*=wR，無量綱轉速Ω*=ΩR，下標“b”和“f”分別表示后行波與前行波。

2.1 比較與收斂研究

為了驗證本文建模方法的準確性與收斂性，本小節進行了兩個算例研究。

2.1.1 算例1

如表2 所示，分別給出了兩端固定（C-C）邊界條件下厚度均勻的旋轉圓柱殼的后行波和前行波無量綱頻率參數，并與文獻［20］中的結果進行了對比，而且還進行了收斂性研究，列出了不同截斷項數下的計算結果。在本算例中，旋轉圓柱殼的長徑比L/R=10，厚徑比h/R=0.05，泊松比μ=0.3，無量綱頻率參數w*=wR，無量綱轉速Ω*=，這里Ω*取0.0025。

2.1.2 算例2

如表3 所示，算例2 給出了兩端簡支（S-S）邊界條件下厚度均勻的旋轉圓柱殼的固有頻率（Hz），并與文獻［18］中的結果進行了對比。本算例中，圓柱殼長度L=0.256m，平均半徑R=0.16 m，厚度h=0.0025m，彈性模量E=110 GPa，泊松比μ=0.31，密度ρ=4480 kg/m3，軸向半波數m=1，轉速Ω=20000 r/min。

表3 旋轉圓柱殼固有頻率的比較Tab.3 Comparisons of natural frequencies for a rotating cylindrical shell

由表2 可知，本文得出的結果與文獻［20］中的結果基本相符，研究表明計算結果隨著截斷項數nmax的增加而收斂到某一個值，當截斷項數為11 時，計算結果已經收斂到一個足夠準確的數值，因此在下列計算中截斷項數nmax取11。

表3 的結果顯示，本文所用建模方法得到的結果與文獻［18］中的結果基本吻合，而且最大誤差保持在1%以下。

總之，上述兩個算例，驗證了本文建模方法的正確性與收斂性。

2.2 參數研究

為了得到不同厚度變化形式下變厚度旋轉圓柱殼的振動特性，本節在兩端簡支的邊界條件下，討論了不同的厚度變化形式、轉速、厚度變化參數、圓柱殼長徑比對變厚度旋轉圓柱殼自由振動行波特性的影響，結果如圖3～6 所示。

圖3 變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數隨環向波數n 的變化情況Fig.3 Variation of the nondimensional frequency parameter for a rotating cylindrical shell with variable thickness with respect to the circumferential wave number n

圖3 表示不同厚度變化形式下變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數和隨環向波數n的變化情況。圖中V0 表示kh為0，即旋轉圓柱殼的厚度是均勻的，在x軸方向上保持不變。

由圖3 可知，所有厚度變化形式下的旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數和都隨環向波數n的增加而增加，并且V0 厚度變化形式下的旋轉圓柱殼無量綱頻率參數值最大，V1 厚度變化形式下的無量綱頻率參數值最小。當不考慮特殊的V0 厚度變化形式時，V2 厚度變化形式下的旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數值高于其他兩種厚度形式下的無量綱頻率參數，且比較接近V0 厚度變化形式下的無量綱頻率參數值。從圖3 中還可以明顯看出，4 種厚度變化形式下的旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數隨著環向波數n的增加先由相同的初始值分散后又收斂于同一數值。

圖4研究了當轉速分別為0，25 和50 r/s 時，旋轉圓柱殼在3 種厚度變化形式下的無量綱頻率參數和隨厚度變化參數kh的變化情況。由圖4 可以看出，不同轉速以及不同厚度變化形式下的變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數都隨著厚度變化參數kh的增大而逐漸減小，其中，V2 厚度變化形式下的無量綱頻率參數的變化最小，且明顯小于其他兩種厚度變化形式下的無量綱頻率參數的變化。此外，由圖4 還可以發現，轉速對無量綱頻率參數隨厚度變化參數kh增加而減小的變化趨勢幾乎無影響。

圖4 變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數隨厚度變化參數kh的變化情況Fig.4 Variation of the nondimensional frequency parameter for a rotating cylindrical shell with variable thickness with respect to the thickness variation parameter kh

為了進一步研究轉速對變厚度旋轉圓柱殼自由振動的影響，圖5 給出了變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數w*隨轉速Ω的變化情況，圖中BW 表示后行波，FW 表示前行波。由圖5 可知，變厚度旋轉圓柱殼的后行波無量綱頻率參數隨轉速的增加而逐漸增大，而前行波無量綱頻率參數隨轉速的增加而逐漸減小，其中V0 厚度變化形式下的前行波無量綱頻率參數值和后行波無量綱頻率參數值在不同轉速下都是最大的，其次是V2 厚度變化形式。

圖5 變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數隨轉速Ω 的變化情況（kh=0.5）Fig.5 Variation of the nondimensional frequency parameter for a rotating cylindrical shell with variable thickness with respect to the rotational velocity Ω（kh=0.5）

最后，研究了幾何參數對變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數的影響。圖6 給出了變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數隨長徑比L/R的變化情況。

圖6 變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數隨長徑比L/R的變化情況Fig.6 Variation of the nondimensional frequency parameter for a rotating cylindrical shell with variable thickness with respect to length-to-radius ratio L/R

由圖6 可以看出，變厚度旋轉圓柱殼的無量綱頻率參數隨長徑比L/R的增大而逐漸減小，具體而言，當長徑比小于3 時，無量綱頻率參數隨長徑比L/R的增大而迅速減小，當長徑比大于3 時，無量綱頻率參數隨長徑比L/R的增大而緩慢減小。而且，V0 厚度變化形式下的無量綱頻率參數值在不同長徑比下仍然是最大的，其次是V2 厚度變化形式，V1厚度變化形式下的無量綱頻率參數值最小，且與V3厚度變化形式下相近。

3 結論

（1）通過比較與收斂研究，驗證了建模方法的正確性與收斂性，證明了本文模型可以有效的預測變厚度旋轉圓柱殼結構的自由振動行為。

（2）在3 種厚度變化形式下旋轉圓柱殼的行波頻率都隨環向波數n的增加而增加，當不考慮均勻厚度時，V2 厚度變化形式下的旋轉圓柱殼行波頻率高于其他兩種厚度形式下的行波頻率。此外，4 種厚度變化形式下的旋轉圓柱殼行波頻率隨環向波數n的增加先由相同的初始值離散后又收斂于同一數值。

（3）不同轉速以及不同厚度變化形式下的變厚度旋轉圓柱殼的行波頻率隨厚度變化參數kh的增大而逐漸減小，其中，V2 厚度變化形式下的行波頻率變化程度最小，且明顯小于其他兩種厚度變化形式下行波頻率的變化，此外，變厚度旋轉圓柱殼的行波頻率隨長徑比L/R的增大而逐漸減小。