主動電磁軸承-柔性轉子系統的不同位效應

李翁衡，祝長生

（浙江大學電氣工程學院，浙江 杭州 310027）

引言

主動電磁軸承（Active Magnetic Bearing，AMB），簡稱為電磁軸承，是一種旋轉機械轉子新型的支承結構，通過可控的電磁力使轉子穩定懸浮，具有無接觸、無摩擦、無磨損、能在真空和高低溫等特殊環境下應用等特點。得益于這些優點，電磁軸承被廣泛應用于高速電機、壓縮機、渦輪分子泵和飛輪儲能等系統中［1-2］。由于受到轉子材料機械強度的限制，為了滿足設備高效率、高能量密度的要求，各類高速旋轉機械的轉子逐漸向更細、更長、轉速更高的方向發展，這將導致轉子運行在系統一階或更高階的彎曲臨界轉速之上。其中，工作轉速超過其一階彎曲臨界轉速的轉子稱之為柔性轉子。

轉子系統，無論采用何種傳感器，由于結構及電磁兼容性的限制，都難以將傳感器直接安裝在AMB內部，因而產生了傳感器中心的軸向位置與電磁軸承中心的軸向位置的不同位問題，這類系統被稱為不同位系統。對于剛性系統，轉子為剛體，利用簡單的幾何關系就能夠從傳感器位置測量到的轉子振動信息中得到AMB 中心位置轉子的振動信息。但對于柔性轉子系統，由于轉子振型的時變性，不可能通過簡單的幾何關系就從傳感器位置測量到的轉子振動信息中得到電磁軸承中心位置轉子的振動信息。所以電磁軸承-柔性轉子系統的不同位，不僅會影響轉子系統的振動控制性能，還會影響控制系統的穩定性。

實際上，不同位現象在物理系統中廣泛存在，早期一些學者對不同位結構的本質特征做了研究。Spector 等［3］研究了不同位結構模型的敏感性，他們發現系統中的零點對系統參數和邊界條件的擾動比極點更為敏感。此外，傳感器位置的微小變化可能導致零點和極點的順序互換，從而使系統出現不穩定。Miu［4］對零點的物理含義做了研究，闡述了零點在確保控制系統穩定性方面的重要性，發現對于柔性結構，不同位系統的低階模態由于相位相同，系統有交變的零極點對，但是其高階模態可能出現不同相位，不一定有交變的零極點對。極點是系統的諧振頻率，因此從穩定的角度看，同位系統的零點是非常重要的。從物理上看，當系統輸出為零時，外部的能量被完全吸收并“困”在子結構的“內部儲能元件”中，輸出端檢測不到位移，所以零點是這些子結構的諧振。

20 世紀90 年代，許多學者對AMB 系統的不同位進行了研究。Maslen 等［5］在傳遞矩陣法的基礎上研究了一種將AMB 結合到柔性轉子離散模型中的直接方法，該方法能設置傳感器-執行器的不同位，所建的模型能方便地使用其他工具進行穩定性分析。Ramesh 等［6］指出用有限元法建立轉子系統的模型可以方便地處理傳感器的不同位問題，研究發現傳感器從外側向內側移動時，第一階臨界頻率增加，第三階臨界頻率降低，同時第一階臨界處的振幅減小，第三階臨界處的振幅增加。Lefante［7］深入研究了柔性轉子的不同位，用零極點交錯和自由振型等開環特征來預測閉環系統的穩定性。首先，對于某階模態，在無阻尼模態振型中若傳感器位置的位移出現反相，此時閉環系統的對數衰減率也發生變化，由此得到了無阻尼振型與閉環系統穩定性的關系。然后，他指出零極點交錯的系統可在任一補償角度范圍為0°～180°的相位補償器的作用下達到穩定。但與同位系統不同，相位補償器不能在不同位系統中提供無條件的穩定性。Obrzut［8］深入研究了不同位系統的動力學特性，發現如果把零點定義為反諧振頻率，那么同位系統的反諧振頻率在兩個連續的反諧振頻率之間，相位在0°～180°之間變化；不同位系統在兩個諧振頻率之間沒有反諧振。雖然不同位系統每個諧振頻率仍然有180°滯后，但沒有因反諧振帶來的180°超前，所以在第二次共振位置處會出現-270°的滯后現象。從增益根軌跡圖發現，一旦不同位系統缺少反諧振，很小的增益就可能導致控制系統發散。此外，他還發現不同位系統會影響峰值位置，對臨界轉速也有影響。但是，這些工作中沒有解釋，對于一個柔性轉子而言，只要是不同位系統就會有無窮多的不穩定模態，這會造成不同位系統就是不穩定的假象，而實際上AMB-柔性轉子試驗系統仍然是可以運行的。

從物理上調整傳感器的位置能減緩不同位效應對轉子特性的影響，滿足轉子正常運行的需求。?timac 等［9］發現不同位效應影響到轉子系統的第二階彎曲模態，通過改變傳感器的位置雖然可以解決二階彎曲模態的問題，但不同位效應仍然影響著更高階模態的特性。Schuhmann 等［10］提出了一種避免不同位問題的方法，即將電容傳感器直接集成到徑向磁軸承的定子鐵芯中，利用卡爾曼濾波器來降低軸承線圈對傳感器的噪聲影響。Yu 等［11］研究了自傳感技術，通過利用開關放大器的高頻電流紋波進行調幅來估計轉子位移，減少了元件數量。但工程應用上最成熟的仍是電渦流位移傳感器。另外，也有不少學者試圖從控制角度通過轉子數學模型來解決不同位問題。Wang 等［12］考慮了不同位效應，提出一種模態分離策略，結合相位補償器補償不同位的影響。Geng 等［13］基于狀態觀測器的位移重構方法，結合相位補償器，有效消除了電磁軸承-柔性轉子系統的不同位問題，抑制了轉子在跨越彎曲臨界轉速區的振動。這些研究均基于轉子精確的動力學模型，并未能進行試驗研究。在試驗中仍缺少簡單有效的方法來抑制不同位效應造成的發散，因此需要對這些抑制方法進行系統地論述。

本文首先建立了AMB-柔性轉子系統的動力學模型；然后從轉子動力學特性、開環傳遞函數的零極點、頻率響應曲線以及閉環系統根軌跡等四個角度分析了AMB-柔性轉子系統不同位對系統特性，特別是對系統穩定性的影響，提出了調節增益和插入式自適應陷波器等抑制由不同位導致不可控彎曲模態發散的方法；最后在試驗臺上進行了不同位條件下轉子的懸浮、掃頻、不平衡激勵和旋轉試驗，對理論分析結論進行了試驗驗證。

1 AMB-柔性轉子系統動力學模型

對于圖1 所示的任意一個帶有多個剛性圓盤的AMB-柔性轉子系統，質量和剛度沿軸向是變化的，對這樣的系統進行動力學分析，需要求解關于時間和空間的偏微分方程，因此通常采用離散化的方法進行建模。在轉子上設n個節點，將AMB 的電磁力作為廣義外力來看待，認為AMB 的電磁力是轉子在AMB 節點所受的外力，只需將其疊加到AMB 位置轉子節點廣義力向量的對應位置處即可。

圖1 AMB-柔性轉子試驗臺Fig.1 Test rig of AMB-flexible rotor

用軸單元模型可以得到AMB-柔性轉子系統的動力學方程為［14］：

式中M，D，G和K分別為4n×4n維質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；Ω為轉速；Fmag為4n×1 維AMB 電磁力向量；Fu為4n×1 維不平衡力向量；Gm為4n×1 維重力向量；q為廣義位移向量為廣義位移的一階導數；為廣義位移的二階導數。

AMB 的電磁力是線圈電流i和位移q的非線性函數。在工作點（q0，i0）附近進行線性展開，得到AMB 電磁力的線性化表達式為：

式中Fmag，0為靜態懸浮工作點（q0，i0）的電磁力，一般情況下，Fmag，0剛好與系統的重力向量Gm平衡；i為控制電流向量；Ki為AMB 的電流剛度系數矩陣；Kx為AMB 的位移剛度系數矩陣。

由于AMB 在x和y兩個方向上是耦合的，所以AMB-柔性轉子系統是一個多輸入多輸出系統。為了利用多輸入多輸出系統的相關分析方法，可以將AMB-柔性轉子系統的動力學方程（1）用狀態空間方程表述為［14］：

當AMB-柔性轉子系統的節點較多時，全階模型的計算量很大。實際的AMB-柔性轉子系統只需考慮較低階模態的動力學特性，因此需要對AMB-柔性轉子系統的動力學模型進行降階處理。

應用模態截斷方法［14］，如果只考慮轉子的前r階模態，存在模態轉換矩陣Tm，使模態空間狀態量qR轉換成轉子位移狀態量q：

式中Tm為模態轉換矩陣，Tm=[?1?2…?j]，其中，?j為轉子系統的特征向量，j=1，2，…，r。

值得注意的是，模態截斷方法的目的是減少計算量。模型的節點越多，保留的模態越多，轉子的動力學特性就越復雜，但也就越接近實際的轉子系統。

2 不同位效應

電渦流傳感器及電感傳感器是AMB 系統中最常用的轉子位移傳感器。由于傳感器結構和電磁兼容性的限制，轉子位移傳感器一般只能安裝在AMB的附近，由此產生了所謂的AMB 的中心位置和位移傳感器的中心位置不重合的不同位效應，使得轉子位移傳感器的測量不能正確反映出AMB 處轉子的位移，給系統的穩定性帶來影響。

對于柔性轉子而言，轉子的彎曲狀態隨轉速等參數發生變化，因此無法簡單地從傳感器處轉子的振動推算出AMB 處轉子的振動。在振型較為簡單的低階柔性模態情況下，與AMB 處轉子的真實位移相比，不同位的信號表現為幅值有差，相位滯后的特征。若把振型復雜的高階柔性模態考慮在內，如果有某一些模態振型的節點位于AMB 和位移傳感器中間，當轉子在對應的模態頻率處以這樣的模態振型振動，傳感器處位移與AMB 處位移的相位相差180°，使得模態頻率信號不能有效地衰減，對系統穩定造成隱患。

以下的數值和仿真分析是基于圖2 所示的AMB-柔性轉子模型進行的，它由1 根均質軸、2 個剛性圓盤及2 個AMB 軸頸組成，轉子在徑向上由2個AMB 支承。AMB 的相關參數如表1 所示。

圖2 柔性轉子基本結構及尺寸（單位：mm）Fig.2 Basic construction and size of flexible rotor（Unit：mm）

下面從轉子動力學特性、開環傳遞函數的零極點、頻率響應曲線以及根軌跡四個方面來具體分析傳感器與AMB 不同位對系統特性的影響。

2.1 轉子系統的動力學特性

基于有限元法分析轉子振型可以得到轉子每一階模態的節點信息。本文研究的柔性轉子在靜止懸浮的前5 階彎曲模態振型如圖3 所示。從各階模態的振型圖中可以看出，第五階模態（三階彎曲模態）和更高階彎曲模態在傳感器節點和AMB 節點之間存在模態振型與轉軸中心線的交點（即模態節點）。柔性轉子在0～15000 r/min（250 Hz）轉速范圍內，兩端模態節點的變化如圖4 所示。圖4 的結果表明，在整個轉速范圍內，該三階模態節點一直存在于傳感器和AMB 之間，若該模態被外部激勵激起，在傳感器節點處檢測到的模態頻率分量與AMB 節點處的分量方向相反。

圖3 柔性轉子前五階彎曲模態振型Fig.3 The first to five-order bending mode shape of flexible rotor

圖4 不同轉速下AMB 附近的三階彎曲模態節點變化圖Fig.4 Variation diagram of third-order bending mode nodes near the AMB at different rotational speeds

彎曲模態信號的衰減有兩種方式：一為閉環增益小于1；二為控制器提供正確的反向控制且相位超前。第一種方式主要是因為二階物理系統固有的信號衰減效應，是高階模態一般不容易激起的原因。同位系統中不存在不穩定模態，因為在同位系統中，PID 在整個控制器帶寬內都能使AMB 提供類似機械軸承的正剛度和正阻尼；而在不同位系統中，則需考察彎曲模態信號的衰減條件是否滿足。

基于圖2的轉子在Simulink平臺建立了AMB-柔性轉子系統狀態方程模型（式（3））進行研究，電磁力采用式（2）的線性化模型。

首先，分別向同位和不同位系統的AMB 的一個通道注入0～1000 Hz 的掃頻電流，對掃頻過程中轉子對應通道的位移應用短時傅里葉變換進行時間-頻域分析，提取其中逐漸發散的頻率分量，其結果如圖5 和6 所示。

圖5 同位系統掃頻結果Fig.5 Frequency sweep result of collocated system

圖6 不同位系統掃頻結果Fig.6 Frequency sweep result of non-collocated system

通過對比圖5 和6 可以看出，掃頻電流依次激起各階彎曲模態信號。一段時間后，同位系統的模態信號均能衰減，而不同位系統的三階彎曲模態信號被激起后呈發散趨勢。四階和五階彎曲模態雖然也受不同位效應影響，但因其頻率高，閉環回路增益小，因此信號激起后逐漸衰減。因此，所研究轉子的第三階彎曲模態受到不同位效應影響最大，對系統穩定性影響也最大。

然后，進行恒速旋轉仿真，對失穩過程中轉子的位移進行時間-頻域分析，其結果如圖7所示。在靜態懸浮時，不穩定頻率分量為380 Hz；在轉速為100 Hz時，不穩定頻率分量約為340 Hz；在轉速為150 Hz時，不穩定頻率分量約為310 Hz。值得注意的是，雖然該柔性轉子的轉速較低，并沒有跨越到第三階臨界轉速，但低階模態信號在仿真開始或起浮瞬間仍然能被激起。不受不同位影響的低階模態（一階、二階彎曲）在PID的控制下迅速衰減，而三階彎曲模態因不滿足衰減條件而發散。

圖7 不同轉速下轉子發散位移的時間-頻域分析結果Fig.7 Time-frequency analysis results of rotor divergent displacement under different rotational speeds

基于AMB-柔性轉子系統的動力學模型，可以計算得到轉子系統在不同轉速下考慮陀螺效應時的各階正向及反向渦動頻率［15］，如表2 所示。

表2 柔性轉子系統不同工作轉速下的正、反向渦動頻率（單位：Hz）Tab.2 The positive and negative vorticity frequencies of flexible rotor system at different working rotational speeds（Unit：Hz）

一般來說，除了轉子與定子間的碰摩會引發轉子的反向渦動外，不平衡激勵不會激發轉子系統的反向渦動。將表2 中柔性轉子系統在不同工作轉速下的正反向渦動頻率與圖4 中對失穩過程中轉子的位移時間-頻域分析提取出的不穩定頻率進行對比可以發現，不同轉速下的兩個不穩定的頻率分量剛好等于轉子的第三階彎曲反向渦動頻率。因此，存在不滿足衰減條件的不同位彎曲模態時，轉子激發出對應模態下的反向渦動信號。

2.2 轉子系統開環傳遞函數的零極點

根據AMB-柔性轉子系統的動力學模型可以得到從電磁力輸入到傳感器位移輸出的開環傳遞函數為：

式中s為拉普拉斯算子。

根據Cramer 法則，式（5）可寫成：

那么開環傳遞函數的極點與零點分別為：

可見，轉子系統的極點由質量、阻尼、陀螺矩陣、剛度等轉子自身的動力學特性決定，與傳感器位置無關。轉子系統的零點不僅與轉子自身動力學特性相關，還與AMB 的位置（Ts矩陣）和傳感器的位置（Cm矩陣）有關。與同位系統相比，不同位系統僅改變了開環傳遞函數的零點位置和增益，不會影響系統極點的位置。

為了研究傳感器位置對轉子開環傳遞函數的零極點的影響，先不考慮陀螺效應，將傳感器位置按圖8 所示的方式，從兩邊逐漸向中間移動，其中，第④種情況為同位系統情形。轉子從電磁力輸入到傳感器位移輸出的開環傳遞函數的零極點圖如圖9所示。

圖8 位移傳感器的不同位置分析Fig.8 Analysis of different positions of displacement sensors

圖9 中的叉代表極點，圓圈代表零點。轉子的零極點圖關于實軸對稱，因此只列出零極點圖中的正虛軸部分。對于每一張圖，從下到上共有4 個極點和4 個零點，對應著一到四階彎曲模態的頻率。

由圖9 可知，當傳感器位置變化時，轉子開環傳遞函數的極點位置始終不變，而零點位置改變。同位系統（序號④）傳遞函數的零極點交錯出現，即零點-極點-零點-極點。而不同位系統（序號①～③和⑤～⑦）中，這種交錯現象就被打亂。當某階彎曲模態的節點位于位移傳感器節點與AMB 節點中間時（稱為“跨節點”），該模態對應的零點就會跨越到極點的另一邊。如序號為①～③的三種情況，對應第三、四階彎曲模態（跨節點）的零點轉移到極點上方，與第一、二階彎曲模態（不跨節點）的零點在極點下方恰好相反。

當考慮陀螺效應時，設定轉速為6000 r/min，傳感器和AMB 位置變化時對轉子零極點的影響如圖10 所示。由于陀螺效應的影響，雖然轉子的各階固有頻率分化成前向渦動和反向渦動兩個頻率，轉子每一階均具有兩對零極點。但不難發現，轉子系統的零點移動方向與極點的相對位置均具有與不考慮陀螺效應影響時傳感器不同位置下轉子系統的零極點分布相同的規律。

圖10 考慮陀螺效應時傳感器不同位置下轉子系統的零極點分布Fig.10 The zeros and poles distribution of the rotor system at different positions of sensors when considering gyro effect

2.3 轉子系統開環傳遞函數的頻率響應曲線

以電磁力為輸入，位移為輸出得到轉子系統開環傳遞函數的響應伯德圖如圖11 所示。開環傳遞函數幅頻響應曲線上的峰和谷分別對應傳遞函數的極點和零點，極點表示轉子的固有頻率，零點表示傳感器檢測到的位移為0 時所對應的頻率，即轉子振型剛好位于傳感器位置時所對應的頻率。

圖11 轉子系統的開環頻率響應曲線Fig.11 Open loop frequency response curves of the rotor system

對圖11 進行分析可得到如下結論：

（1）從固有頻率處的峰-谷順序來看，不同位系統中不跨節點的模態與同位系統相同，都是先出現谷，再出現峰，對應于先零點后極點的順序；而不同位系統中跨節點的模態由于零極點相對位置相反，所以出現了先峰后谷的順序。

（2）從臨界區的相位上看，不同位系統中不跨節點的模態與同位系統相同，在幅頻尖峰下降后迅速降為0，而跨節點模態沒有上升過程，與同位信號保持有180°相位差，直至臨界區結束。

因此，AMB-柔性轉子系統開環傳遞函數頻率響應曲線上先極點后零點的錯位使得跨節點的相位在臨界區有180°相位差。當轉子振動時，對應的模態頻率信號與傳感器測得的轉子位移信號剛好相反，這是不同位效應產生特殊相位行為的根源。

（3）從AMB-柔性轉子系統整個開環傳遞函數幅頻響應曲線來看，不同位系統的增益比同位系統更高，在尖峰處幅值更大。圖12 為單通道注入電流激勵的情況下，不同位效應導致轉子系統位移信號發散過程中，傳感器節點和AMB 節點輸出的時間-頻域圖像。與AMB 節點對比，傳感器節點（不同位信號）具有更多的高階模態分量。

圖12 不同位效應導致系統振動位移發散過程中的時間-頻域圖像Fig.12 Time-frequency image of divergent process of system vibration displacement caused by non-collocated effect

2.4 不同位系統狀態方程分析

AMB-柔性轉子系統動力學方程的狀態空間方程為：

式中Am為模型降階后的系統特征矩陣；Bm為輸入矩陣；Bum為不平衡力輸入矩陣；Cmm為位移傳感器輸出矩陣；Fum為降階系統的不平衡力矩陣。

設分散PID 控制器的傳遞函數為：

式中Kp為比例系數；Kir為積分系數；Kd為微分系數；Ti為微分時間常數。

將單通道分散PID 控制器的傳遞函數改寫為狀態空間方程的形式：

轉子系統的輸出y為PID 的輸入uc項，輸出yc為轉子系統的輸入u項，合并四個通道的PID 方程，化簡得到閉環系統的特征矩陣為：

式中Ac=diag［Ac1，Ac2，Ac3，Ac4］，Cc=diag［Cc1，Cc2，Cc3，Cc4］，Dc=diag［Dc1，Dc2，Dc3，Dc4］。

該閉環系統狀態方程包括了四路分散PID 控制和完整的轉子系統，屬于多輸入多輸出系統分析，相比于傳統簡化成單路的單輸入單輸出傳遞函數分析，其充分考慮了轉子系統x和y方向的耦合作用，更能反映出閉環系統的特性。

本文采用分次截斷的方法分辨出各階模態對應的特征值。閉環系統特征值的運動軌跡如圖13 所示，符號曲線的顏色從淺到深表示轉速從低到高。同位系統的前五階特征值軌跡在左半平面，說明對于同位系統而言，簡單的PID 控制就可以穩定系統的各階彎曲模態。但非同位系統的第三階和更高階彎曲模態的特征值全部位于右半平面，處于不穩定狀態，當這些不穩定模態信號的閉環增益大于1 時會影響系統的穩定性。

圖13 同位和不同位系統的特征值沿轉速的運動軌跡Fig.13 The motion trail of eigenvalues of collocated and non-collocated systems along the speed

3 不同位效應的抑制

為了穩定不同位系統，應抑制控制器對相關模態分量的增益，這通常有微分濾波、減小微分系數和低通濾波三種方法。

3.1 微分濾波

重寫PID 中的微分環節的傳遞函數為：

式中N為濾波系數，與前述微分時間常數互為倒數對應。

在一般PID 控制器的設計中，為了得到理想的微分信號，通常將N取得很大，得到的PID 控制器在相當高頻率時都有增益。為了抑制因高頻增益過大導致的不同位系統的不穩定，應采取減小N的策略。

不同濾波系數N條件下PID 控制器的伯德圖如圖14 所示。N越小，PID 控制器對高頻增益越低，但同時相位超前量小會引發阻尼不足的問題，特別是在跨越臨界轉速區時，若阻尼不足會引起強烈的共振。

圖14 不同濾波系數N 的PID 控制器伯德圖Fig.14 Bode plot of PID controller under different filter coefficients N

圖15 為0～250 Hz 運行區間，不同濾波系數N的閉環系統特征值的運動軌跡。由圖15 可見，濾波系數N取較小值能讓位于右半平面的不穩定特征值向虛軸方向移動，等效于減小了這些不穩定模態的增益。但與此同時位于左半平面的穩定特征值也向虛軸移動，即削弱了這些模態的控制信號，造成穩定過渡過程變長。

圖15 不同濾波系數N 的閉環系統特征值運動軌跡Fig.15 The motion trail of eigenvalue of closed-loop system under different filter coefficients N

3.2 減小增益系數

比例系數Kp影響PID 控制器全頻段的增益，而微分系數Kd主要影響高頻段的增益。在系統運行速度緩慢或在靜態懸浮時，PID 控制器的增益主要由比例系數Kp決定；系統運行在柔性區間時，PID控制器的增益則主要由微分系數Kd決定。因此，對于運行在柔性區間的轉子系統，減小微分系數Kd是一種有效的方法。

圖16 為不同微分系數Kd的閉環系統特征值的運動軌跡。由圖16 可知，小微分系數的作用與微分濾波相類似，能讓位于右半平面的不穩定特征值向虛軸方向移動，減小了這些不穩定模態的增益。但與此同時位于左半平面的穩定特征值也向虛軸移動。這一方法實際上是通過輔助微分環節濾波來達到縮減整體微分增益的目的。

圖16 不同微分系數Kd的閉環系統特征值運動軌跡Fig.16 The motion trail of eigenvalue of closed-loop system under different differential coefficients Kd

3.3 插入式自適應陷波器

為了降低控制器對不穩定模態的增益，可用陷波器有針對性地對某階模態頻率進行陷波。常用的陷波器為串聯二階陷波器，其傳遞函數表達式為：

式中α為阻尼因子，用于調節陷波器尖峰的陡峭程度；ωr為中心頻率。

該二階陷波器直接串聯在PID 控制器后，若陷波頻率較低時（400 Hz 以內），會對系統穩定性造成影響。為了避免此類問題，可采用插入式自適應陷波器。基于LMS（Least Mean Square）算法的自適應陷波器在t=kT時刻的迭代表達式為：

式中x為輸入；u為步長；y為輸出；T為采樣時間；w1和w2為迭代權重系數。

插入式自適應陷波器的結構如圖17 所示。

圖17 插入式自適應陷波器的結構Fig.17 The structure of plug-in adaptive notch filter

串聯二階陷波器（α=1/6）和插入式自適應陷波器的控制器伯德圖如圖18 所示。可見兩個陷波器的頻率響應特性是類似的，但在試驗應用時，若采用串聯二階濾波器，當陷波頻率較低時，陷波器陷波頻率之前的相位滯后可能會影響懸浮穩定，同時還會增加系統階數。另外，輸出不可限幅很有可能導致試驗失敗。插入式自適應陷波器應用了LMS 算法，其輸出信號是以一個頻率為算法中心頻率的正弦波，不包括其他頻率段的分量，因此不會對系統相位產生影響。可方便地對權重系數進行限幅，靈活調控輸出以避免陷波器對系統產生影響。

圖18 加入陷波器前后系統的伯德圖Fig.18 Bode plot of system before and after adding notch filter

4 試驗研究

為了驗證AMB-柔性轉子系統不同位效應的抑制方法，搭建了如圖19 所示的AMB-多盤柔性轉子試驗臺。兩個AMB 安裝在試驗臺兩端的軸承座內部，電渦流位移傳感器安裝在軸承座側邊的端蓋上。本文進行了靜態懸浮、掃頻、不平衡電流激勵和旋轉試驗。

圖19 AMB-柔性轉子試驗臺Fig.19 Test rig of AMB-flexible rotor

4.1 靜態懸浮試驗

首先進行靜態懸浮試驗，偏置電流設定為1 A，PID 控制器設置一組初始參數（Kp=7，Kir=3，Kd=0.009），1 號軸承懸浮成功，2 號軸承x方向懸浮失敗。系統的位移信號如圖20 所示。嘗試兩次懸浮，均在系統即將運動到中點位置時發散而碰撞保護軸承。

圖20 系統懸浮失敗的位移信號Fig.20 Displacement signal of system suspension failure

圖21 為靜態懸浮試驗過程中轉子位移信號的時間-頻域分析結果。可以發現，發散的信號頻率為第三階模態的頻率，且在控制過程中被反復激勵，為失穩模態信號。

圖21 系統懸浮失敗的位移時間-頻域分析圖Fig.21 Displacement time-frequency analysis diagram of system suspension failure

多次調整參數后發現，只能采用小增益（Kp≤5.5）的方式才可以實現轉子的靜態懸浮，懸浮的位移信號如圖22 所示。在懸浮時，Kp對第三階模態信號影響大，Kd對第三階模態信號影響小，為了穩定懸浮，必須將Kp減小。

圖22 小增益下系統懸浮的位移信號Fig.22 Displacement signal of system suspension under small gain

在系統臨界發散時，啟動插入式自適應陷波器，調節陷波器的中心頻率至三階模態信號附近，試驗結果如圖23 所示。結果表明，插入式自適應陷波器可在一定程度上衰減三階模態信號，抑制系統發散。

圖23 插入式自適應陷波器的試驗結果Fig.23 Experimental results of plug-in adaptive notch filter

4.2 掃頻激勵試驗

設定較小的PID 值穩定懸浮后，掃頻儀依次向系統中的每個通道注入掃頻電流，如圖24 所示。

2 號AMB 的x方向掃頻試驗結果如圖25 所示。在經過第三階柔性模態頻率時出現了發散失穩，導致掃頻儀在350～400 Hz 獲得的數據有誤，停止控制信號重新懸浮才可恢復正常。掃頻結果與仿真相符，說明受不同位影響的低階模態對系統穩定性產生重大影響。

圖25 轉子掃頻結果Fig.25 Frequency sweep results of rotor

4.3 模擬旋轉的不平衡試驗

在兩個AMB 中施加干擾電流，以等效旋轉過程中的不平衡激勵。圖26 為干擾電流的頻率逐漸增大過程中轉子的位移信號，在8 s 時開始加入模擬旋轉的不平衡力，在34 s 時，不平衡激勵接近300 Hz，系統出現劇烈振蕩。為了研究減小增益系數能否抑制不同位效應，保持激勵幅值和頻率不變，分步調整Kp和Kd值，發現模擬旋轉激勵條件下，不穩定模態信號受Kd影響大，而受Kp影響小。最終，通過大幅度減小Kd值（Kd=0.0065），削弱了失穩現象。圖27 為施加模擬不平衡激勵過程中轉子位移信號的時間-頻域分析結果。可見失穩時激起了強烈的第三階模態信號和其他模態信號。多次降低Kd的值后，發散信號逐漸減小，但對系統正常運行仍有明顯影響。

圖26 施加不平衡激勵的位移信號Fig.26 Displacement signal of applying unbalanced excitation

圖27 施加不平衡激勵的位移時間-頻域分析圖Fig.27 Displacement time-frequency analysis diagram of applying unbalanced excitation

靜態懸浮和模擬旋轉的不平衡試驗的結果說明，不同位效應致使控制系統失穩，縮小了PID 參數可調范圍。在靜態懸浮或系統運行頻率較低時，應減小比例系數；在系統運行頻率較高時，應減小微分系數。

圖28 為加入300 Hz 模擬不平衡電流時，改變微分濾波系數的結果。從N=2000 的發散狀況開始，逐漸降低N的數值，直到N=800。可見與減小Kd的效果相似，發散在一定程度上被抑制。

圖28 改變濾波系數N 的位移信號Fig.28 Displacement signal with different filter coefficients N

4.4 旋轉試驗

為了驗證不同位效應會激起反向渦動，下調偏置電流至0.5 A，將Kp調至4.5，Kd調至0.0065，可讓轉子在小剛度下穩定運行并跨越二階彎曲臨界轉速至最高運行轉速250 Hz。2 號軸承的x方向在升速和降速過程的振動如圖29 所示，時間-頻域分析如圖30 所示。

圖29 轉子升速和降速過程的振動曲線Fig.29 Vibration curves of rotor accelerating and decelerating process

圖30 轉子升、降速過程的時間-頻域分析圖Fig.30 Time-frequency analysis diagram of rotor accelerating and decelerating process

從圖30 中可以看到，在小剛度下，轉子位移中仍然含有三階彎曲模態信號。在轉子開始加速時，三階模態信號分為兩支，其中隨著轉速上升而升高的前向渦動分支信號很小，而隨著轉速上升而降低的反向渦動分支信號較為明顯。當轉子各倍頻與該反向渦動分支信號相交時，交點顏色變深，證明轉子倍頻會激發三階彎曲模態的反向渦動。但由于此時剛度小，閉環增益小，激發起來的不穩定信號很快在回路中被削減，沒有影響穩定性。

5 結論

在電磁軸承支承的柔性轉子系統中，由于各種因素的限制，轉子的位移傳感器無法安裝在電磁軸承的中心位置，因而產生了傳感器中心位置與電磁軸承中心位置不同位。本文從轉子動力學特性、開環傳遞函數的零極點、頻率響應曲線以及根軌跡等四個方面分析了傳感器與電磁軸承不重合的影響；然后提出了不穩定模態信號的抑制方法；最后，對不同位效應的影響和抑制方法進行了試驗驗證。理論和試驗結果可得到以下結論：

（1）高階模態信號的穩定具有兩個方式，高階模態信號在二階物理系統得到自然的衰減，而低階模態信號需要控制器提供反向控制和相位超前。

（2）受不同位效應影響的彎曲模態振型節點位于傳感器和電磁軸承之間，導致轉子系統的開環傳遞函數零極點交錯的規律被破壞。該模態信號分量一旦被激起，就存在不能得到衰減的可能性。

（3）受不同位效應影響的彎曲模態對應頻率下的閉環增益大于1 時，將會發散而導致失穩，發散信號為反向渦動模態信號。

（4）抑制不同位效應的方法主要是降低控制器對不穩定彎曲模態的增益，本文提出的降低剛度、減小PID 參數和采用插入式自適應陷波器的方法，可有效抑制不穩定模態信號的發散。