鐵路長度投影變形與坐標系統設計研究

楊思山

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,湖北 武漢 430063)

0 引 言

1 鐵路投影長度變形值限值

根據我國鐵路項目的無砟軌道CPⅢ控制網的測量實踐也可以得出,投影長度變形值≤10 mm/km的情況下,CPⅢ觀測邊長不需進行兩化改正處理[1],可以滿足CPⅢ控制網的相鄰點中誤差不超過1 mm的精度要求,達到一定的平順精度。

因此高速鐵路規定:高速鐵路工程測量平面坐標系應采用工程獨立坐標系統,在對應的線路軌面設計高程面上坐標系的投影長度變形值不宜大于10 mm/km[1];普速鐵路規定:鐵路工程測量平面坐標系統應采用基于CGCS 2000基準的工程獨立坐標系,線路設計高程面上的投影長度變形值不宜大于25 mm/km[2];工程測量標準中也規定:平面控制網的投影長度變形值不應大于25 mm/km[3]。

2 鐵路投影長度變形研究

高速鐵路平面坐標系統建立時,通常選擇任意中央子午線和抵償高程面建立工程橢球[4],工程橢球面是一個凸起不可展平的曲面,將地面上邊長觀測值投影到曲面上,或者將曲面上的邊長值投影到平面上,將會變形[5],其邊長值會發生變化;將地面觀測邊長值歸算到參考橢球面需要進行高程歸化改正,將參考橢球面的曲線長投影到高斯平面上則需要進行高斯投影變形改正[6]。

2.1 高程歸化改正

由于地面邊長觀測元素離開參考橢球面一定高度,引起長度高程歸化改正:

(1)

式中:S為歸化到參考橢球面的長度;S0為地面上的觀測長度;ΔS為高程歸化改正值;Hm為觀測邊在參考橢球面上的平均大地高;Rm為邊長范圍內的地球平均曲率半徑。

試劑及耗材：三氯蔗糖（規格1 g，儲存溫度2～8℃，日本和光純藥工業株式會社）；甲醇（色譜純，美國Baker公司）；乙酸銨（分析純，天津市天力化學試劑有限公司）；蒸餾水（廣州屈臣氏食品飲料有限公司，規格600 mL）。

表1 每千米長度的高程歸化改正

從表1可知,要使高程歸化引起的每千米長度變形比<1/100 000或1/40 000,則設計高程面和投影高程面之間的高差值不宜大于63.7 m或159.3 m。

2.2 高斯投影改正

橢球面是不可展平的曲面,將其上的長度S投影到高斯平面上為s,需要按式(2)進行高斯投影變形改正:

(2)

式中:s為改正到高斯平面上的長度;S為參考橢球面上的長度;dS為高斯投影變形改正值;Ym為S在高斯平面上離中央子午線的垂距。

表2 每千米長度的高斯投影變形改正

從表2可知,要使每千米長度的高斯投影變形引起的變形比小1/100 000或1/40 000,則線路測量控制網邊長離中央子午線垂距須不超過28.5 km或45.1 km。

接下來計算每千米長度變形總值,根據式(3)、式(4)和S0≈S可得:

(3)

對于鐵路而言,由于軌道的平順性要求很高,因此其平面坐標系統的投影長度變形值不宜大于±10 mm/km[1]或±25 mm/km:

(4)

由式(4)可知,一定的高程下邊長需要處于離中央子午線一定的范圍內,才能滿足高速鐵路長度變形的限差要求,表3列出Hm為-10～300 m時滿足限差±10 mm/km到中央子午線垂距的范圍值D。

表3 一定高程邊長對應離中央子午線垂距的范圍值(限差±10 mm/km)

表4列出了Hm為0～4 000 m時滿足限差±25 mm/km的到中央子午線垂距的范圍值D。

表4 一定高程邊長對應離中央子午線垂距的范圍值(限差±25mm/km)

由表3和表4可知,投影面高程只能有一定的投影變形抵償,并且隨著投影面高程的線性增加,滿足投影變形要求的坐標系寬度也在急劇減小。

3 投影換帶變形研究

鐵路投影分帶不可避免地會造成換帶計算,高斯投影變形雖然理論上是保角投影,但是其還有如下特點:

(1) 在中央子午線相同、投影面高程不同時,只存在長度變形,沒有方向變形。

(2) 在中央子午線不同、投影面高程不同時,存在長度變形、方向變形,長短分帶銜接邊都有角度變形,且長邊角度變形比短邊角度變形大。

(3) 在中央子午線差值變大時方向變形增大,長短分帶銜接邊的角度變形也增大,且長邊角度變形比短邊角度變形大,角度變形的數值與邊長大致成正比。

(4) 在中央子午線差值保持不變時,方向及角度變形也不變,長度變形隨著投影面的高程不同而改變。

(5) 當分帶位置為東西走向時,中央子午線雖然改變,但長短分帶銜接邊都不會有角度變形。

4 鐵路坐標系分帶研究

4.1 投影高程面選擇

為了減小長度變形,應選擇合適的投影高程面。在坐標帶的中央子午線上,只有高程歸化導致的長度變形。而在坐標帶的邊緣,則存在兩種變形。因此,應需要選擇適當的歸化高程面。

在選擇投影高程面時,高程投影面應該選取在線路設計高程以下,充分發揮高程歸化改正的抵償性,這樣能夠進一步擴大投影帶寬,并以較少的投影帶進行坐標系設計。

4.2 投影分帶注意事項

除滿足投影變形值的要求外,在實際工程獨立坐標系的設計過程中,由于鐵路工程的特殊性,還應注意以下問題:

(1) 換代計算存在方向變形,投影分帶的地方應盡量避開曲線段、車站、隧道、重點難點工程等,其中曲線段和車站必須避開。

(2) 在鐵路勘察設計期間,線位在變化,存在多個對比方案等,因此在每一次的線位變化均應重新進行工程獨立坐標系的設計。

(3) 中央子午線一般精確到分即可,并應保證分能被3整除,以便轉換成十進制時能整除。

(4) 當單個長大隧道需要設計為兩個或者兩個以上投影帶時,須保證該長大隧道所在的所有投影帶中央子午線相同,只改變投影面大地高。

(5) 單個投影帶需要有一點的長度,一般要求單個投影帶的長度須大于4 km;

(6) 投影分帶起止里程不能重疊,以免引起誤解。

5 結束語

通過本文分析高程歸化改正和高斯投影改正對變形值的影響,結合鐵路工程的特殊性,在鐵路坐標系設計的高程面的選擇上,不再拘泥于大地高投影面,以選擇本段工程軌面的平均大地高程面為宜,利用投影面高程的長度變形的補償性,同時也提出了其他分帶注意事項。本文分析成果可以為鐵路工程獨立坐標系的設計提供一定的參考與借鑒。