點聲源入射下水下彈性球殼聲散射分析

鄭金焱,陳美霞,董文凱

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院,湖北 武漢,430074)

0 引言

水下球形目標的聲散射特性一直是水聲技術的研究熱點: 降低結構的散射聲場能有效提高潛艇的隱身性能;研究目標的回波強度,可以提升主動聲吶的遠程探測距離。因此,研究目標的聲散射特性具有重要的理論價值和廣泛的工程應用背景。國內外圍繞該問題在聲散射理論、聲散射計算方法以及實驗模型等方面進行了廣泛而細致的研究。

聲波在水下傳播時遇到障礙物時會產生散射。Strutt 等[1]提出了當球體尺寸遠小于聲波波長時散射聲場的近似解。Morse[2]推導了任意頻率的平面波入射下剛性球的散射理論解。Li[3]和劉國利[4]等研究了平面波斜入射情況下無限長彈性圓柱殼體的共振散射問題。對于散射問題,積分方程法也可得到嚴格解,用分離變量法求解Helmholtz 方程可以計算已知表面振速物體的輻射聲場,并得到精確解[5]。Fawcett[6]給出不同流體填充下的彈性殼體散射聲場解。朱鳳芹[7]采用分離變量法推導出平面波入射下內部填充流體的彈性殼體散射聲場表達式,利用數值方法分析了球體、球殼和柱殼的聲散射頻率特性并進行實驗驗證。

近年來,隨著聲散射研究理論和計算機技術的快速發展和不斷深入,莊悅等[8]基于Boit 理論,建立了流體多孔球的散射模型,并采用數值的方法進行計算,簡單討論了不同沙子孔隙率和半徑下沙粒的背向散射情況。Godin 等[9]利用無窮級數展開的形式,研究了低頻球面聲波對球形障礙物的散射問題。梁國龍等[10]從工程實際出發,用數值法分析了4 種情況下彈性球殼散射聲場對矢量水聽器測向影響的規律。李運思等[11]運用邊界元法開展了剛性橢球顆粒的聲散射數值研究,并采取一種聲散射函數近似的計算方法研究了液體顆粒的散射。徐慧等[12]應用聲學仿真軟件,對球殼陣列下水下目標的隔聲性能進行了相關研究。

在以往的研究中,散射體一般都為球形,Juan等[13]將研究方向進行拓展,用解析方法給出了長橢球和扁橢球在平面波作用下的精確解,對散射系數使用算法進行簡化求取,并進行了數值討論。Li 等[14]基于聲散射理論,對具有多層介質覆蓋的彈性球殼聲散射進行研究計算,發現在低頻時隱身效果顯著提高。張健等[15]利用無窮級數中函數的近似形式,推導出了水下低頻球面聲波入射下阻抗球的散射聲壓漸進解的公式。何嘉華等[16]借助鏡像源方法以及等效源原理,研究了阻抗半空間邊界下二維圓柱的聲散射問題。周彥玲等[17]基于經典Rayleigh 簡正級數解的方法和有限元數值方法對水下球體目標進行計算,研究了球體散射的相位特性。吳杰等[18]針對敷設空腔覆蓋層的彈性球殼進行仿真研究,得出敷設空腔覆蓋層能夠有效降低球體的目標強度,發現在一定范圍內增大空腔覆蓋層的物理參數可以有效增強結構的隱身性能。王明升等[19]通過聲散射理論,采用分波序列的方法分析了液體球及彈性球在Bessel 波束作用下聲輻射力的變化規律,并給出不同介質組合及殼層厚度對粒子的聲輻射力的影響。臧雨宸等[20]通過理論推導給出柱面波入射下多層球的軸向聲輻射力表達式,并進行了相應的數值計算。

前人所做的工作證明了研究規則目標的聲散射問題具有工程意義,并且平面波入射下各種規則目標的聲散射研究已經相當充分。然而在實際水聲環境中,聲源的情況復雜(如各種不規則形狀的活塞聲源、陣列聲源),將其簡化處理為平面波并不準確。點聲源輻射的是球面波,在近場與平面波的特性有較大的區別,進而導致目標的散射聲場特性差異較大。求取點聲源入射下的散射聲場,對復雜聲源入射下的聲散射研究工作具有借鑒意義。

文中首先從理論上推導出平面波與點聲源球面波的關系,然后基于平面波入射下彈性球殼的散射聲場,運用疊加法推導出在球面波激發下球體散射聲壓的精確解。同時,利用有限元軟件驗證理論結果的準確性。然后計算了球面波入射下剛性球、彈性球和彈性球殼的目標強度。以目標強度為出發點,對點聲源與球心的距離進行量化,提出球面波近似為平面波入射的條件,并進行了相關討論,最后以球體和球殼為例對球面波入射時的散射特性進行了分析。文中研究擴充了復雜聲源入射下規則目標聲散射特性的內容。

1 理論推導

1.1 折算因子

圖1 所示為球坐標系 (r,θ,φ),其中坐標原點為球心O,點聲源距離球心矢徑為r1,聲壓測量點距球心矢徑為r,點聲源位于z軸上,平面波從z軸方向入射。

圖1 球面入射幾何模型Fig.1 Geometry model of spherical incidence

截取球體的xOz剖面進行分析,由三維無限大空間的Green 函數在球坐標系中的展開式,利用加法定理可以將點聲源發散的球面波展開

式中:Pn為n階Legnedre 函數;jn為n階球Bessel函數;hn(1)為第1 類球Hankel 函數;k為流體自由波數。為簡化分析,取單位點聲源距離球心1 m 處聲壓為1 Pa,并略去時間因子exp(-iωt)。由于所研究問題為軸對稱,所以式(1)中的球諧函數與方位角φ無關。

取r

由于Pn(-cosθ)=(-1)nPn(cosθ),所以入射波勢函數化簡為

式中,?in=i2n+1k(2n+1)(kr1)。

將入射平面波按球面波分解,勢函數表達為

其中: φin=in(2n+1)。

將兩者入射波勢函數逐項相除,就可將球面波和平面波聯系起來,得到折算因子

1.2 平面波入射下彈性球殼聲散射

對于如圖2 所示的彈性球殼,整個空間被分為3 個區域: 區域1 是外部流體空間,其密度、聲速分別為ρ1、c1;區域2 是彈性球殼,其外半徑為a,內半徑為b,球殼密度為ρ0,縱波波速為CL,剪切波速為CT;區域3 是殼內流體介質,其密度和聲速分別為ρ2、c2。

圖2 彈性球殼及入射平面波Fig.2 Elastic spherical shell and incident plane wave

考慮一單位振幅的平面波沿z軸入射,將聲波按球面波分解可表示為

式中,k1=ω/c1為殼體外部區域波數。

同理將散射聲場Ps和內部聲場P2寫成球面波展開的形式

式中:k2=ω/c2為殼體內部區域波數;Bn和Gn為待定系數。

在彈性介質中引入標量勢Ф和向量勢Ψ,考慮到球體的軸對稱性,標量勢Ф和向量勢Ψ可表示為

式中:Cn、Dn、En和Fn為待定系數;nn為球Neumann函數。

根據球坐標中應力與應變的關系，應用殼體表面上應力與振速連續的邊界條件，可以列出確定上述各待定系數的矩陣方程

式中:D為6×6 階矩陣;X為待求系數矩陣。

D和A中相應元素在文獻[7]給出,根據Cramer法則,Bn的解為

式中:fn是用A代替D中的第1 列所得到的行列式;dn為方程的系數行列式。若球殼內部為真空,則去掉行列式fn、dn中第5 行第6 列即可。

若球殼內半徑為0,彈性球殼退化為彈性球,此時彈性介質中的勢函數去掉球Neumann 函數,矩陣D以及矩陣A變為3×3 階的行列式,相應的系數Bn也發生變化,矩陣元素在這里不列出。

1.3 球面波入射下彈性球殼聲散射

取球坐標 (r,θ,φ),坐標原點在球心O,球殼相關參數與平面波入射時一致,點聲源距離球心距離為r1,同樣截取模型的xOz剖面,建立如圖3 所示的數學模型。

圖3 彈性球殼及入射球面波Fig.3 Elastic spherical shell and incident spherical wave

球面波的入射聲壓取r

與平面波入射彈性球殼的散射聲場表達類似,點聲源入射下彈性球殼的散射聲場在引入折算因子后表達為

式中:Qn為折算因子;系數Bn為平面波入射彈性球殼時的散射系數。

由于平面波入射下剛性球以及彈性球的散射理論已經相當成熟,這里引入折算因子后直接給出對應球面波入射下散射聲壓的解析解

式中:Ps1和Ps2分別為剛性球和彈性球的散射聲壓;bn為彈性球散射系數[7]。

1.4 球體近遠場散射度量

為了描述目標的回聲強弱或者反射能力的大小,定義回聲強度

式中:SES為回聲強度;r為測量點與目標的距離;θ為探測方位角;psca和pinc分別表示散射聲壓和入射聲壓。

考慮平面聲波入射彈性球殼的問題,平面波的入射聲壓

代入回聲強度的計算公式,可以得到相應的表達

由于球面波的聲壓幅值隨距離不斷衰減,為了方便與平面波的回聲強度進行對比,對點聲源的入射聲場進行修正,可得

在聲散射計算中,常用的另外一個量是目標強度STS,STS可由SES推出,在式(19)和式(20)取θ=π,r取一個足夠大的距離,即可得到平面波和球面波遠場處的目標強度

2 有效性驗證

2.1 收斂性分析

為了保證SES、STS和散射聲壓計算結果的精性,需要對無限級數n進行截斷,進行收斂性分析。

由式(19)和(20)可知,目標強度即回聲強度固定一個θ,由此可知當目標強度滿足收斂條件時,回聲強度和散射聲壓也能夠保證計算的精度,所以這里對目標強度進行相關討論。

取點聲源距離球心r1=4.4 m,測量距離球心r=1 000 m 處的聲壓幅值,球殼參數為外半徑4 m,內半徑0.04 m,外部流體介質為水,內部真空,計算當無因次頻率ka=50 時,n=50、65、68 時的目標強度隨ka變化曲線,結果如圖4 所示。

圖4 不同截斷數下ka<50 時距離球心1 000 m 處目標強度Fig.4 Target strength at a distance of 1 000 m from spherical center with ka<50 under different truncation numbers

可以看出,ka>46,n=50 時和n=65 時目標強度曲線不一致,說明n=50 并不滿足收斂性要求,而n=65 和68 時曲線保持不變,說明目標強度曲線已經收斂,即n=65 即可滿足要求。為保證計算結果的準確性以及計算速度的快速性,后文計算結果涉及ka<50 的計算時,均取n=65。

2.2 仿真驗證

在COMSOL Multiphysics 軟件中,建立彈性球殼模型如圖5 所示。

圖5 彈性球殼幾何建模Fig.5 Geometric modeling of elastic spherical shell

采用二維軸對稱方法建立該模型,基本參數如下: 1) 單位點聲源激勵,入射頻率為10 kHz;2) 點聲源與球心距離為4 m,球殼材料為鋁,縱波波速CL=6 040 m·s-1,橫波波速CT=3 040 m·s-1,密度ρ0=2 700 kg·m-3;3) 球殼外部流體介質為水,聲速c=1 500 m·s-1,密度ρ=1 000 kg·m-3,為了模擬無反射邊界條件,在水域最外層設置完美匹配層(perfect matched layer,PML)。

驗證方案: 保證球殼外半徑a=0.5 m 不變,改變內半徑b和球殼內部填充情況,計算距離球心10 m 的散射聲壓。為了方便曲線更加直觀顯示,對散射聲壓取級,即Lp=20lg(Ps/P0),P0=10-6Pa,并與前述的理論解進行對比,如圖6 所示。

圖6 有限元與理論解對比Fig.6 Comparison of the finite element method and theoretical solution

圖6 中多組方案的理論計算結果與有限元(finite element method,FEM)結果對比顯示,兩者幾乎完全吻合。由此證明,該理論方法用于計算水下彈性球殼的散射特性是可行且有效的。

3 數值計算與討論

3.1 目標強度分析

3.1.1 各類球形目標的頻響曲線

在工程中,彈性球殼通常內部不充水,鑒于此,文中考慮的彈性球殼內部均為真空。

在前述定義下,先計算了相同尺寸的剛性球、鋁球和鋁球殼的目標強度頻響曲線。球體參數為外半徑0.5 m,殼厚0.02 m,點聲源距離球心4 m,外部流體介質為水,如圖7 所示。

圖7 各類球形目標的目標強度Fig.7 Target strength of various spherical targets

對比剛性球和彈性球的目標強度曲線,可以發現,在低頻時,實心彈性球的散射主要貢獻為剛性散射,彈性散射的貢獻相對較少,隨著頻率的增加,彈性散射的貢獻便體現出來,而且隨著ka的不斷增大,彈性散射的貢獻更突出;對比剛性球和彈性球殼的頻響曲線,可以看到,彈性球殼的目標強度曲線更加曲折,隨著ka的增加,共振峰值越來越密集。而彈性球與彈性球殼對比顯示,由于球殼剛度更低,球殼的彈性振動更容易被激發,在低頻時就已經被激發引起共振峰。

3.1.2 彈性球目標強度

由于彈性球殼散射特性復雜,這里首先對彈性球進行分析,討論點聲源與球心距離改變時的目標強度曲線與平面波激勵下的關系。

圖8為a=0.5 m,ka<50,不同r1時的情形,材料為鋁,外部流體介質為水。

圖8 平面波入射下點聲源離球心不同距離時彈性球目標強度Fig.8 Target strength of elastic sphere under different distances from point sound source to spherical center under plane wave incidence

從圖中可以發現,當點聲源與球心距離越來越遠時,球面波的目標強度逐漸向平面波靠近,當距離足夠遠時,點聲源發散的球面波波陣面已與平面波一致,球面波入射的TS可以用平面波代替,而且發現,當點聲源在球體表面附近時,散射體的目標強度峰值相對于平面波會向左進行偏移。

為了確定點聲源可以近似為平面波入射時距離球心的具體數值,也為了討論點聲源入射時與平面波的不同散射特性,做出如下定義,當點聲源目標強度的聲能量與平面波入射下的目標強度聲能量相差小于等于10%時,認為此時點聲源可以用平面波來近似。

保證ka不變的條件下,通過對目標強度總級進行對比,改變r1與a,對于彈性球發現存在如下關系

式中,rp為聲能量相差等于10%的臨界值,后文均求取該臨界值并對其討論分析。即在ka<50 條件下,點聲源與球心的距離r1>14 倍鋁球的半徑時,點聲源入射到散射球表面的聲場已經非常接近平面波。

3.1.3 彈性球殼目標強度

對于彈性球殼,由于目標的聲散射特性會隨球殼的內外半徑發生變化,所以將其分為2 類——薄殼和厚殼。為討論方便,定義

式中,h為殼厚比,當h<0.01 時為極薄殼,0.010.1 時為厚殼。在聲散射研究中更關注的是薄殼的聲散射。相關參數設置除球殼內外半徑發生變化,其他與彈性球保持一致,如表1所示對殼厚比進行不等間隔選取進行相關計算。

表1 殼厚比及球殼外徑參數設置Table 1 Parameter setting of shell thickness ratio and outer diameter of spherical shell

對于不同半徑,以h為橫坐標,rp為縱坐標的曲線如圖9 所示。

圖9 不同殼厚比下rp 變化曲線Fig.9 rp corresponding to different shell thickness ratios

以單位半徑的彈性球殼為例,從圖中可以發現彈性球殼的規律與彈性球體的大有不同,當h=0.01 時,由于球殼太薄,點聲源近似為平面波入射的距離減小,隨著h的不斷增加,rp會不斷波動,這是因為激起了球殼不同的共振散射模態,當h越來越大時,rp與a的關系式趨近于彈性實心球。

另外還可以發現,不同半徑的球殼點聲源與球心臨界距離的曲線趨勢變化一致,從此圖也可以得出同一厚度比下rp與a的關系。以h=0.01為例,可以得到彈性球殼的rp與a的關系為

同理也可以得到其他厚度比下的rp與a的關系式,繪制rp與a的曲線如圖10 所示。

圖10 不同外半徑下rp 變化曲線Fig.10 rp corresponding to different outer radius

從圖中可以觀察到,在保持h一定的情況下,rp與a呈線性關系,當h=0.01 時,直線斜率較小,這是因為殼體厚度太薄,模態頻率發生改變,臨界距離出現了畸變現象;當h增大時,直線斜率會產生波動,即出現圖9 所示的曲線曲折,當h足夠大時,rp與a的關系式將退化為彈性球體的關系式,從此圖中也反映了球殼計算過程中的相似性特征,即對于較大的球殼模型,可以縮比為半徑較小的球殼進行實驗分析。

3.2 散射特性分析

回聲強度可以表達散射聲場的周向強度分布。散射聲場的分布不僅與點聲源到球心的距離、聲波的頻率有關,也和球殼的參數相關,這里研究材料仍為鋁,外部流體介質為水。由于上節求取了點聲源近似為平面波的條件,此處分別計算了彈性球與彈球殼的回聲強度指向性分布圖,并進行分析。

3.2.1 彈性球回聲強度

在點聲源離球心距離分別為1.2a、4a和14a情況下,計算單位彈性球高中低頻的回聲強度,并與相應頻率的平面波進行對比分析。圖11(a)、(b)和(c)分別對應ka=0.5、ka=10 和ka=30 時的情形。

圖11 平面波入射下不同ka 及點聲源距球心不同距離時彈性球回聲強度Fig.11 Echo strength of elastic sphere with different distances from point sound source to spherical center and different ka under plane wave incidence

圖11(a)為頻率較低時的曲線圖,可以發現在低頻時,隨著點聲源與球心距離的增大,球面波的回聲強度向平面波靠攏,圖形曲線逐漸趨近為心形,在距離較近時,球面波在θ=0°處幅值較大,在θ=180°處幅值較小,與平面波的情況恰好相反;圖11(b)為中頻情況,可以發現隨著距離的增大,回聲強度曲線圖在θ=0°處開始出現較寬的主瓣,呈現出一定的指向性,同時出現旁瓣,對比主瓣和旁瓣,旁瓣聲能分布較多,在距離為1.2a時,聲能分布分散;圖11(c)為高頻情況,在距離球心較近時,聲能也分散嚴重,隨著距離的增加,聲能分布集中,開始出現較多的旁瓣,同時出現主瓣,主瓣呈扁平狀,在θ=0°處指向性最強,同時與平面波入射的曲線指向性相同。對比圖11(b)和(c)可知,隨著頻率的增高,回聲強度的前向散射角度逐漸變小,指向性趨近尖銳,指向性增強。

3.2.2 彈性球殼回聲強度

對于彈性球殼,選取h=0.05為例進行分析,a=1 m,經前述計算可知點聲源距離球心距離與球殼外徑的關系為rp=20.71a,選取r1=1.2a、4a、21a繪制出不同ka的回聲強度指向性分布圖,并與相應頻率的平面波進行對比,如圖12 所示。

圖12 平面波入射下不同ka 及點聲源距球心不同距離時彈性球殼回聲強度Fig.12 Echo strength of elastic spherical shell with different distances from point sound source to spherical center and different ka under plane wave incidence

從圖12(a)中可以發現當點聲源距離球殼較近時,回聲強度曲線圖呈葫蘆形,形狀類似偶極子源,具有周向方位分辨的能力,但與平面波對比看出曲線在頭尾處有所區別,在距離為1.2a時,曲線形狀不變,幅值增大;圖12(b)為中頻情況,當點聲源距離球心較近時,回聲強度指向性并不明顯,聲能分布分散,當距離越來越遠時,聲場指向性在軸線方向上出現主瓣,開角較大,主瓣形狀呈扁紡錘形;圖12(c)為高頻情形,此時回聲強度指向性較明顯,可以觀察到在θ=0°處存在主瓣,指向性最強,但是在其他方向上同時存在旁瓣,旁瓣聲能分布較多,峰值較大,點聲源距離球心較近時,曲線的旁瓣峰值更大,主瓣的寬度變窄,當點聲源與球心距離越來越大時,回聲強度曲線圖向平面波靠攏。對比圖12 的(b)和(c),發現隨著頻率的增高,曲線的波瓣數量也逐漸增多,主瓣的寬度變窄,指向性增強,主瓣逐漸變成扁平狀,指向性趨近尖銳。

綜合以上分析可以觀察到回聲強度隨方位角的各種變化,數值討論結果表明對于鋁球體和鋁球殼,回聲強度曲線的幅值在相同方位角處不相同,指向性也有所變化,如果材料發生改變,或者球殼內部充液,指向性也會發生改變,這是由于不同材料的縱波、橫波波速不相等,以及液體的存在,會引起殼體的不同共振散射模態。

4 結論

基于球諧函數展開的方法,獲取了點聲源球面波到平面波的折算因子,隨后基于平面波入射下彈性球殼的散射聲場,推導出點聲源入射下球體散射的表達公式,并進行了有限元驗證。在此基礎上,基于目標強度給出了球面波可近似為平面波時,點聲源與球心距離關系,得出以下結論。

1) 基于球諧函數展開解決了典型球狀目標對球面波的聲散射問題,并利用有限元驗證了該方法的正確性。

2) 針對球面波可以近似為平面入射的問題,利用目標強度曲線的聲能量差求取點聲源到球心的臨界距離,對于彈性球,臨界距離與球體外徑呈線性關系;對于彈性球殼,殼厚比和球殼外徑是影響臨界距離的重要因素,在保持殼厚比不變的情況下該距離與球殼外徑呈線性關系;在殼厚比變化的情況下,該距離隨外徑的變化趨勢一致。

3) 當點聲源離障礙物較遠時,散射體的回聲強度指向性可以采用平面波入射時替代,但距離較近時,回聲強度應利用折算因子來求取,同時得出了在無窮遠處球面波可用平面波近似的論證。

文中工作對水下目標探測以及復雜聲源入射下目標的聲散射特性研究具有重要意義。后續將考慮利用疊加原理求解復雜聲源入射下規則物體的聲散射問題。