以一道中考試題的解答引發的思考

鄒翠香

一、試題呈現

題目：如圖1，在?ABCD中，∠DAB＝30°。

（1）實踐與操作：用尺規作圖法過點D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與計算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長。

參考答案：

解：（1）如圖2所示線段DE就是所求作的高。

（2）在Rt△ADE中，AD＝4，∠A＝30°，

∴DE＝[12]AD＝2。

由勾股定理得

AE＝[AD2-DE2]＝[42-22]＝2[3]

∴BE＝AB－AE＝6－2[3]

二、試題分析

本題考查了尺規作圖——過直線外一點作已知直線的垂線，三角函數、勾股定理，掌握過直線外一點作已知直線的垂線的方法和30度角的余弦值，或利用30度角所對的直角邊長等于斜邊的一半和勾股定理是解題的關鍵。通過畫圖，考查了學生的作圖能力及動手能力，明確尺規作圖的意義。但是題目中又增加了一個特殊角30°，讓圖形有了更多不同的作法，考查了學生的創新思維及發散思維能力。

三、學生答題分析

學生的答題情況如下：全市47235人，0分有18251人，滿分有12525人，占比分別為38.78%和26.69%，另外占比比較大的是5分，占比13.47%，顯示學生要么兩問都不會，要么兩問都會或者只會做第（2）問；從上面的答題得分情況可以發現有將近六成的考生不會作圖，出現部分學生理解錯誤，作出角平分線或垂直平分線幾種錯誤作法，也有不少學生直接用三角板畫出AB邊上的高，但欣喜的是出現不少新穎的作法。

四、解法收集

方法1：參考答案是基本尺規作圖：過一點作已知直線的垂線，如圖2；

方法2：根據直徑所對的圓周角是直角，又出現了圖3，圖4和圖5這3種作法；

方法3：利用到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上，得到圖6的作法；

方法4：先作線段AB（或CD）的垂直平分線，再過點D作垂直平分線的平行線，出現了圖7，圖8，圖9和圖10這4種作法；

方法5：先作線段AB的垂直平分線，延長CD，得到AB與CD之間的距離，以點D為圓心，所得距離為半徑作弧，與AB的交點即為點E，如圖11；

方法6：以A為圓心，AD的長為半徑畫弧，再在AB的下方作∠FAB＝∠DAB，如圖12所示，連接DF，DF與AB的交點即為點E；

方法7：以D為圓心，AD的長為半徑畫弧與AB的延長線交于點G，在作∠ADG的平分線，如圖13；

方法8：以點D為圓心，任意長為半徑畫弧與線段AD交于點F，再以點F為圓心，DF的長為半徑畫弧，兩端弧的交點為點G，連接DG與AB的交點即為點E，如圖14；分別以A和D為圓心，AD的長為半徑畫弧，兩弧交點為點F，連接DF與AB的交點即為點E，如圖15；

方法9：做線段AD的垂直平分線，與AD交于點O，再以點D為圓心，DO的長為半徑畫弧，與AB的交點即為點E，如圖16；

方法10：以D為頂點作∠ADE＝2∠A，如圖17。

五、思考

（一）耐心傾聽利于寶貴資源的生成

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出“認真聽講是學習數學的重要方式”。從教師角度講，其也應包括教師認真聽取學生的發言，耐心傾聽既是捕捉教學資源的一種手段，也是對學生的一種尊重。在閱卷評卷中發現的除參考答案以外的其他方法說明很多學生上課并沒有認真聽老師講課，但在閱卷評卷中發現的很多滿足作圖原理的方法說明學生有了“運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力”（簡稱“四能”），所以，教師要善于傾聽學生的各種發言，充分暴露學生的思維過程，在學生的發言中發現有價值的教育因素，開發教學資源，實現師生共同研究、共同發展。

（二）問題引導探究，注重活動經驗的積累和學科本質的考查

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出“在尺規作圖中，學生應了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法”。在閱卷評卷中發現很多作圖軌跡有想法但圖形做的不完整，這個就需要教師在平時的教學中將尺規作圖出現的所有滿足作圖原理的方法都能講解一下，這個過程不僅能讓學生掌握基本的尺規作圖，還可以利用所學發現一些新的作法，在上面收集的方法中，每種方法都有考到一些數學知識點。例如：方法2，就考到圓的知識點：直徑所對的圓周角是直角，圖2還用到平行四邊形的性質：對角線互相平分；方法3，就考到垂直平分線的判定：到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上；方法4，使用了兩個基本尺規作圖：作垂直平分線和作一個角等于已知角，還考到了平行線的性質；方法5，考到了兩條平行線之間的距離：是指從兩條平行線中的一條直線上的一點作另一條直線的垂線段的長，還利用了它的2個拓展：①能表示兩條平行線之間的距離的線段與這兩條平行線都垂直，②平行線間的距離處處相等；方法6和方法7都用到了等腰三角形的性質：三線合一；方法8、方法9和方法10都是∠A＝30°的特殊作法，比如方法8作出的△DFG和△ADF是等邊三角形，即∠FDG＝∠ADF＝60°，∴∠AED＝180°－30°－60°＝90°，即DE⊥AB；方法9利用的是30°所對的直角邊等于斜邊的一半，∴以AD的一半為半徑，點D為圓心作的圓與直線AB相切，即DE⊥AB；方法10與方法8的理由相同。

（三）教學建議

1. 在閱卷評卷中發現有些學生作圖工具準備得不太理想，圖象不清晰，軌跡忽隱忽現，以后在教學中應該提醒學生所用工具作出的圖形要清晰、完整，平時要多些訓練作圖題，讓學生對基本尺規作圖熟練掌握。

2. 從本題的尺規作圖中，還能發現學生的創新能力，以后在尺規作圖的訓練中，可以利用特殊角、特殊邊等，讓學生不僅限于課堂所教的方法去解決問題，培養學生的思維能力，即針對作圖題也要進行一題多解訓練。

3. 教學生作圖時，提醒學生要規范作圖，該用圓規的地方要用圓規，不能徒手畫弧，用圓規作圖時要記得多畫兩遍，加粗軌跡。

4. 學生的圓規，作圖用的鉛筆必須是要2B鉛筆芯，否則掃描會出現不清晰的情況。

5. 對本題也可以進行一些改編后讓學生訓練。

改編一：如圖18，在?ABCD中，∠DAB＝30°。

（1）實踐與操作：用尺規作圖法在AD上找到點E使得AE＝BE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與計算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求DE的長。

改編二：如圖18，在?ABCD中，∠DAB＝30°。

（1）實踐與操作：用尺規作圖法過點D作DE⊥AD交AB于點E；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與計算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長。