強驅動單態-三重態量子比特的高保真單比特門*

劉啟沛 張程賢 薛正遠3)4)?

1)(華南師范大學物理學院,原子亞原子結構與量子調控教育部重點實驗室,廣州 510006)

2)(廣西大學物理科學與工程技術學院,南寧 530004)

3)(華南師范大學物理前沿科學研究院,廣東省量子調控與量子材料重點實驗室,粵港量子物質實驗室,廣州 510006)

4)(合肥國家實驗室,合肥 230088)

半導體量子點量子比特是最有希望實現量子計算的候選者之一.其中自旋單態-三重態量子比特因具有全電控制和讀取準確的優良性質而備受關注.為增強對電荷噪聲的免疫,通常引進強脈沖驅動以盡可能加快門操作速度.但是,強驅動脈沖引起的復雜動力學導致旋波近似不再適用,反而會阻礙高保真度比特操作的實現.本文提出了一種增加簡單的正交脈沖的方法,可以很好地抑制強驅動引起的高頻振蕩項的操作錯誤.數值計算結果表明,NOT 門的保真度在無噪聲時可達99.99%且操作時間只需2 ns.特別地,即便電荷噪聲強度到了 2μeV 的水平,NOT 門的平均保真度也可高于99.9%.值得注意的是,該方案同時也適用于任意單比特量子門的優化.因此,本文的脈沖優化方案將有助于獲得快速高保真度的自旋單態-三重態量子比特.

1 引言

基于半導體量子點的量子計算具有全電控操作的優勢以及可結合現代半導體工業的能力[1-3],被認為是實現大規模量子計算的最有潛力的物理系統之一.近年來,技術的進步使得基于單量子點單自旋態的高保真單比特門[4-6]和兩比特門[7-9]得以實驗實現.另外,基于多量子點多個自旋態實現的量子比特方案,通過引入更多的自由度帶來了相干時間或比特操作上的優勢[2,3,10-13].其中,單態-三重態(ST0)量子比特是由束縛于雙量子點的雙電子自旋單態和三重態構成的[11,14],具有快速全電控制和讀取準確率高的優點[11,15,16].近年來,得益于硅基半導體上同位素純化技術的廣泛使用[17,18],核自旋引起的局域磁場擾動可以進一步得到消除,大大增強了量子比特的弛豫時間.然而,高保真量子比特門的實現仍然受限于量子點附近隨機擾動的電荷噪聲[19,20]的影響.因此,有必要引入新方法來保護比特,如在對電荷噪聲不敏感的甜點區域進行操作[21-27],或增強驅動脈沖縮短操作時間[24].

對量子點自旋比特,對稱工作點[21,22]是近來備受關注的一種甜點類型.在該點處,比特能級間距對電荷噪聲一階不敏感,因此其平均單比特門操作保真度可高達99.6%[25].然而,此時對量子比特進行操作的拉比頻率通常被限制在只有幾MHz[25,28]的水平上,使得量子比特變得更易受到噪聲和控制錯誤的影響.此外,近年來一種被稱為橫向甜點區域操作的方案也引發了關注[23,26].在該區域,量子比特的電偶極耦合主要為橫向形式且兼具電偶極矩大和對電荷噪聲一階不敏感的特點,因此更適合實現快速的比特操作,進而提高ST0量子比特在電荷噪聲下的保真度.同時,量子點雜化比特中也存在類似的工作區域[24,27].

另一方面,快速高保真的單比特門不能簡單地通過增大拉比頻率來完成.這是因為,在強驅動下,旋波近似可能不再適用[29-31].為了修正強驅動帶來的比特操控誤差,研究人員提出了一種通過補償Bloch-Siegert 位移的頻率修正方法[24].然而,該修正方法限制了不同單比特門的門速度的選擇,且僅適用于方波脈沖,限制了實驗上脈沖波形的自由選取.本文提出了一種通過增加一個簡單的正交脈沖來抑制高頻振蕩項的方案.這一修正脈沖的求解方法將半經典的驅動場等效為一個光子場[24,30,31],從而將高頻振蕩耦合都轉化為了不同光子數的態之間的耦合,然后抑制邏輯子空間與其他子空間的耦合[32,33],達到高保真量子操控的目標.數值模擬結果表明,在無噪聲時,本方法優于頻率修正方法[24],可將單比特門保真度提高至少一個數量級.因為對強驅動所致控制錯誤的高效抑制,本方法將有助于ST0量子比特在電荷噪聲下實現快速高保真的單比特門.

2 模 型

考慮限制在雙量子點中的雙電子自旋構成的ST0量子比特,并定義自旋磁量子數為零(ms0)的子空間為比特的邏輯空間.門操作區域在電荷構型(1,1)?(0,2)附近,其中(nL,nR) 表示左(右)量子點中各有nL(nR)個電子.在強外磁場下,極化三重態|T±(1,1)〉將遠離操作空間,因此可以忽略,在{|T0(1,1)〉,|S(1,1)〉,|S(0,2)〉}基矢下,系統的哈密頓量可以寫為[23]

其中 ΔBgμB(BL-BR) 是量子點間的塞曼能量差,g為電子自旋g因子,μB是玻爾磁子,BL(BR)對應左(右)點的磁場強度,并取約化普朗克常數?1(下文亦然);τ代表兩個點之間的隧穿耦合,它可以通過改變雙量子點中間的門電壓進行調節;ε是兩個量子點之間的失諧.這里定義ε0 對應于|S(1,1)〉-|S(0,2)〉相互轉換的位置.

為了保護ST0量子比特免受電荷噪聲的影響,通常在對噪聲不敏感的橫向甜點處進行比特操作.對于給定的隧穿耦合τ0,若存在失諧εss使得該處比特頻率ωq對失諧一階不敏感,即?ωq/?ε0,則{τ0,εss}對應一個橫向甜點.在此處進行單比特門操作,可以施加一個與比特共振的隧穿耦合脈沖τAC(t)Ωx(t)cos(ωqt+?),其脈沖包絡為Ωx(t),相位為?.包含驅動的半經典哈密頓量為

其中σij|i〉〈j|,Vij〈i|?H0/?τ|j〉.當Ωx(t)?ωq時,在驅動場作用下,量子比特可以繞布洛赫球X-Y平面的任意軸線旋轉,而任意單比特門操作可通過復合這些旋轉實現[34].然而,在強驅動下,旋轉繪景中非共振的耦合項不能被忽略,量子比特的動力學將變得復雜.因此,為了實現快速高保真的操作,有必要對控制脈沖進行更進一步的設計.

3 強驅動

本節提供一種同時實現快速單比特門操作和抑制額外強驅動效應的控制脈沖方法.

3.1 全量子化哈密頓量

把驅動脈沖量子化為一個單模光子場,圖1 所示為全量子化哈密頓量對應的裸態能級圖.此時可清楚地闡明強驅動效應引起非共振躍遷的基本過程.為此,擴展(2)式中的經典驅動場到其對應的量子化光子場.比特和光子場的哈密頓量分別記為Hdot和Hph,二者的相互作用哈密頓量為Vint,其量子哈密頓量為

圖1 全量子化哈密頓量的裸態能級圖Fig.1.Energy levels of the full quantized Hamiltonian for the bare states.

其中Hdot,Iph對應光子場的單位算符;類似地,HphIdot?ωqa?a,Idot是比特的單位算符.這里考慮共振驅動的單比特門,所以光子的頻率與量子比特頻率一致,a?(a)是光子產生(湮滅)算符.自由哈密頓量Hdot+Hph的本征態為裸態{|i,n〉|i〉?|n〉},其中|i〉∈{|0〉,|1〉,|f〉},|n〉代表占有數為n的光子數態.

考慮到驅動是由單模的交變電壓產生的,可擬設相互作用哈密頓量為VintVDQD?(a+a?),VDQD對應于作用在雙量子點部分的算符.該哈密頓量應滿足經典-量子對應原則[24],即

注意到經典驅動場對應的光子數態為相干態,其分布滿足泊松分布,且平均光子數N是一個大數,光子數偏差 ΔN遠小于N,所以可以聚焦在光子數在N附近的態上,n ∈[N-ΔN,N+ΔN].則任意兩個裸態間的耦合強度滿足

單比特門操作對應的就是裸態|1,n〉和|0,n+1〉之間的拉比振蕩.然而,如圖1 所示,上述態還會和其他光子數相差1 的態耦合,這對應于半經典哈密頓量中的高頻振蕩項.在強驅動下,這些額外的耦合將導致不可忽略的相位錯誤和泄漏.可以看到,將哈密頓量全量子化后,處理高頻振蕩項的問題轉變為了抑制邏輯子空間與其他能級之間的耦合的問題.

3.2 修正脈沖

本文通過引入額外的自由度來修正強驅動引起的控制誤差.而對于比特頻率,我們希望保持其為常數,一是因為量子比特定義在最低的兩個能量本征態上,改變比特頻率可能引發泄漏等問題;二是為了保證ST0比特受橫向甜點的保護.因此,我們考慮額外增加一個正交的脈沖,現在總的脈沖為Ωx(t)cos(ωqt+?)+Ωy(t)sin(ωqt+?).擬設對應的全量子化哈密頓量為HQHdot+Hph+.由經典-量子對應原則,上述哈密頓量可緊湊地表示為

式中的各個記號分別為

我們操作的目的在于實現裸態|0,n+1〉和|1,n〉之間拉比振蕩的同時,可以同步消除這兩個態向其他態的泄漏.由于光子數相差1 的裸態間才有直接耦合,下面只關注光子數屬于{n-1,n,n+1,n+2}的子空間.為了抑制泄漏,我們希望找到一個繪景變換算符U(t),在該變換下的哈密頓量

要滿足以下3 個要求:首先,它的邏輯子空間部分為目標哈密頓量.其次,邏輯子空間和泄漏空間之間沒有耦合,即

這里|q〉屬于邏輯子空間,而|k〉為泄漏態.最后,該變換在比特操作末時刻tg是一個單位算符

以保證在門操作結束時回到原繪景.

實踐中,U(t)和Ωx(y)(t) 可以通過微擾法進行求解[32].為了做到這一點,引入微擾參量δ,并將全量子化的哈密頓量展開為

對(7)式使用Baker-Campbell-Hausdorff 展開和Taylor 展開,可得到Heff的級數展開式,其第l階的系數為

而無泄漏條件(8)式的微擾形式為

由(9)式和(14)—(17)式可迭代求得控制脈沖的微擾解.

具體地,取目標哈密頓參數hx(t)2η10,x/V10.對于一階微擾解,由無泄漏條件(17)式,S(t) 應該滿足

容易發現,通過簡單地改變脈沖的相位?即可實現繞不同軸的比特旋轉,所以,上述方法適用于任意單比特量子門操作的優化.

4 數值模擬

為研究本方案修正脈沖的效果,對于NOT 門的表現,與文獻[24]中的頻率修正方案及未修正情況做比較.注意到,雖然修正脈沖方案是通過求解全量子化哈密頓量得到的,但也同樣適用于半經典哈密頓量,下文中的數值模擬結果都基于半經典哈密頓量給出,其中 ΔB/(2π)2 GHz[35],τ01.25ΔB對應的是平坦區域較寬的甜點[23].量子門平均保真度由公式[36]

計算得出,其中單比特操作對應d2,而U0為目標量子門,E為實際的量子比特操作,Ui代表泡利算符I,X,Y和Z.

驅動脈沖以實驗上常用的截斷高斯脈沖

和三角函數型脈沖

為示例,對應NOT 門操作,其中高斯脈沖的半峰全寬取σtg/4,γπ,V01為甜點處對應的耦合系數(見(2)式),還有Ωmax為三角函數型脈沖峰值.

首先考慮無噪聲情況,如圖2(a)所示,修正脈沖方案的失真度比未修正的情況至少降低了一個數量級.特別地,即便平均拉比頻率Ω高至0.25×2π GHz(對應門時間2 ns),我們方案的失真度也能低于 10-4.此外,與文獻[24]提出的頻率修正方法進行比較,可以看到,本文的方案比頻率修正方案的失真度更低,這是因為本文方案可以靈活使用不同的拉比頻率,并且對脈沖包絡有著較少的限制,有利于強驅動與其他優化方案相結合.可見,通過修正脈沖方案,強驅動引起的控制誤差將大為緩解.

圖2 (a)無噪聲時和(b)電荷噪聲下的NOT 門表現.頻率修正和脈沖修正分別指文獻[24]和本文所用的修正方案.實線和虛線分別對應 Ωx 脈沖的包絡為高斯型和三角函數型.圖(a)右下角的插入圖為高斯型 Ωx 及其對應的 Ωy 的示 意圖.所用參數為V01 0.6402,V0f 0.5309,V1f=0.0014Fig.2.NOT gate performance under(a) noise-free and(b) charge noise.The frequency correction and the pulse correction refers to the correction scheme used in Ref.[24]and this work,respectively.The Gaussian and trigonometric Ωxpulse envelopes are represented by the solid and dashed lines,respectively.The bottem right insert in panel(a) is a diagram of Gaussian Ωx and its corresponding Ωy.Parameters:V01 0.6402,V0f 0.5309,V1f 0.0014.

ST0量子比特的相干性主要受失諧噪聲的影響.對準靜的失諧噪聲εss→εss+δε,其分布滿足標準偏差為σε的高斯分布.為計算準靜噪聲的影響,數值模擬的基矢為哈密頓量H0(εss+δε) 的本征態,并按高斯分布采樣20 個不同的δε數值進行平均.對高頻的失諧噪聲,通過主方程[37]進行模擬,其中耗散超算符為D[c]ρcρc?-c?cρ/2-ρc?c/2,γ?為退相干速率.

圖2(b)模擬了未修正、頻率修正方案和脈沖修正方案中NOT 門在準靜噪聲和高頻噪聲共同作用下的表現.取準靜噪聲標準為典型值σ?2 μeV[38,39],退相干時間T21/γ?7μs[40].對比脈沖修正方案與其他方案的表現,脈沖修正的效果在一定區域內隨著拉比頻率的增加而變得更加顯著.這是因為,一方面,高頻振蕩項的影響在強驅動下更明顯;另一方面,強驅動縮短了門時間,減弱了噪聲的干擾.考慮到求解修正脈沖時微擾展開的有效性,門保真度不會一直隨著拉比頻率的增大而增大,脈沖修正方案下NOT 門的保真度始終高于99.9%,而未修正方案門保真度則低于99.9%,這展示了脈沖修正方案對減弱電荷噪聲影響的作用.對比頻率修正方案,脈沖修正的效果不僅對控制脈沖的限制更少,且利于進一步與其他優化方法的兼容.

5 結論

研究表明,以橫向甜點作為工作區域,不僅可以實現對ST0量子比特的快速單比特操作,同時也可以保證量子比特對電荷噪聲的一階不敏感.另一方面,在橫向甜點工作處,強驅動下的高頻振蕩同時也將導致不可忽略的控制誤差.本文提出了一種通過增加一個簡單的正交脈沖的方法,以減少由強驅動引起的控制誤差,并以NOT 門為例進行了數值模擬.結果表明,在本文的脈沖修正下,即便電荷噪聲強度在 2μeV 的水平,也可獲得保真度高于99.9%的單量子比特門操作.值得注意的是,該方案同時也適用于任意單比特量子門的優化.因此,本文的脈沖優化方案將有助于獲得快速高保真度的ST0量子比特.此外,這種方法也可應用于實現其他量子系統的快速精確操作.