非厄米哈密頓量中的量子Fisher 信息與參數估計*

李競 丁海濤 張丹偉?

1)(華南師范大學物理學院,原子亞原子結構與量子調控教育部重點實驗室,廣州 510006)

2)(南京大學物理學院,固體微結構物理國家重點實驗室,南京 210093)

量子Fisher 信息給出參數估計的最優精度極限,在量子度量學中有重要的應用.近年來,在量子系統中實現非厄米哈密頓量的理論與實驗研究受到廣泛關注.本文研究基于非厄米哈密頓量本征態的參數估計,給出其中單參數與兩參數估計的量子Fisher 信息及其量子Cramér-Rao 下界,計算與分析非互易、具有增益-耗散的Su-Schrieffer-Heeger 模型,非厄米量子Ising 鏈、拓撲陳絕緣體模型和二能級系統中動量及外場參數估計的量子Fisher 信息.結果表明:在這幾個非厄米模型中,對于單參數估計,量子Fisher 信息在能隙閉合區域和例外點附近顯著增大,從而提高參數估計的精度極限;對于兩參數估計,量子Fisher 信息矩陣的行列式在能隙閉合和例外點附近同樣明顯增大,拓撲區域比平庸區域的整體評估精度更高,且由陳數確定兩參數估計誤差的拓撲下界.

1 引言

1969年,Helstrom[1]提出量子系統中未知參數的測量精度受不確定性原理的影響,確定了基于量子參數估計的量子度量學的理論基礎.在量子參數估計理論中,從給定量子態中提取未知參數的最小誤差由量子Fisher 信息描述,最佳測量精度滿足所謂的量子Cramér-Rao 下界(quantum Cramér-Rao bound,QCRB)[2-5].因此,如何增大量子Fisher信息從而提高未知參數的估計精度是量子度量學領域的一個重要問題.研究發現,可以通過量子Fisher 信息與量子幾何的內在聯系,特別是刻畫參量空間中兩量子態間距的量子度規[6-11],尋找最優化的測量軌跡和評估策略[12-15].利用量子系統特有的量子糾纏性質,用一個初態為糾纏態的探針提取系統的參數信息,也可以提高量子態的量子Fisher 信息[16-18].在具有臨界性質的物理系統,當系統靠近臨界點時,物理參數的微小變化會導致量子態性質的明顯響應,因此可以利用這種臨界增強效應來提高參數評估精度[19-21].此外,近期研究表明選取合適初態以及權衡不同參數的測量誤差可以提高參數估計的精度[22,23].

另一方面,近年來在經典或量子系統中實現非厄米有效哈密頓量的實驗技術蓬勃發展[24-28],引發研究人員對非厄米物理及其應用的廣泛興趣.理論與實驗研究表明非厄米系統具有許多重要的物理性質[29,30].例如,在非厄米系統特有的例外點(exceptional point,EP)附近,本征態能量發生實復或虛復轉變,此時系統對參數微擾有強烈的響應,因此可以利用EP 點實現高精度傳感[31-33].另外,拓撲物態及其量子模擬[34]也從厄米系統推廣到非厄米系統[35-44],并涌現系列新奇非厄米拓撲物理及其應用,包括非厄米Bloch 能帶[38]與非厄米趨膚效應[39]、非厄米拓撲安德森局域化[40-42]等,以及利用非厄米拓撲邊緣態可以實現高精度的量子傳感[43,44].因此,基于量子Fisher 信息,研究非厄米哈密頓量中的參數估計及其與非厄米拓撲的內在聯系,是當前量子精密測量與非厄米物理交叉研究領域的一個重要課題.

本文研究非厄米哈密頓量本征態的量子參數估計.首先證明在定態條件下,傳統量子Fisher 信息的表達式以及單參數估計和兩參數估計的QCRB對于非厄米哈密頓量依然成立.其次結合一維非互易Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型、具有增益-耗散的SSH 模型,以及一維非厄米量子Ising 鏈研究單參數估計,分別計算這3 個非厄米模型中量子Fisher 信息隨動量或單個外場參數的變化.結果表明量子Fisher 信息在能隙閉合點和EP 點附近呈現尖峰,其動量空間積分也顯著增大,從而提高單參數估計的精度.最后研究二維非厄米拓撲陳絕緣體模型和二能級系統中的兩參數估計,此時量子Fisher 信息矩陣的行列式及其動量空間積分在能隙閉合和例外點附近也明顯增大,拓撲區域整體評估精度大于平庸區域.結合貝里曲率及其積分給出的陳數,進一步給出兩參數估計誤差的拓撲下界.

2 非厄米系統中量子態的量子Fisher信息

考慮量子態|ψμ〉依賴待評估參數μ,通常采用正定算符測量的方法進行參數估計.{ 具體過程是將量子態投影到一組正定的完備基底(I 為單位算符),使評估μ轉化為測量量子態在一系列x方向上的概率分布Pμ(x)Tr(ρμΠx),其中密度矩陣ρμ|ψμ〉〈ψμ|.選擇不同的正定算符測量會得到不同的評估精度,由測量值和實際值之間的方差 Δμ刻畫,而方差的下界只由量子態的幾何性質確定,即QCRB[2-5]:(Δμ)2≥1/Fμ,其中FμTr(L2μρμ) 是評估μ的量子Fisher 信息,Lμ2(|?μψμ〉〈ψμ|+|ψμ〉〈?μψμ|)是對稱對數導數算符.對于厄米系統中的量子態,Fμ的表達式可記為[2]:

本質上,評估一個參數的精度正比于參數發生微小變化前后兩量子態的“距離”[6],即相鄰兩個量子態的可分辨度,因此可以從幾何的角度理解量子Fisher 信息.定義一個線微元ds(|ψμ〉,|ψμ+dμ〉)||Dμψμ〉|dμ,其中其模方給出參量空間中量子態的量子度規[6],而Fμ4||Dμψμ〉|2等于量子度規的4 倍.因此,Fμ刻畫相鄰兩個量子態|ψμ〉與|ψμ+dμ〉之間的可分辨度,即越大的Fμ表示兩量子態之間有越高的分辨度,意味著對未知參數μ的估計精度越高.

比較(2)式和(3)式,可得不等式:

以上結論可推廣到多參數評估情況.以兩參數{μ,ν}為例,評估誤差為 2×2 的協方差矩陣Σμν,相應的評估精度極限由 2×2 的量子Fisher 信息矩陣Fμν刻畫.相應的對稱對數導數算符Lμ,ν[1]由?μ(ν)ρ(Lμ(ν)ρ+ρLμ(ν))/2定義,可證明非厄米哈密頓量歸一化本征態下,Fμν的矩陣元表達式為(推導過程見附錄A)

3 基于非厄米系統的量子參數估計

本節研究幾個典型的非厄米模型中量子態的量子Fisher 信息及其參數估計.3.1 節討論一維非厄米模型中的單參數估計,3.2 節討論二維非厄米模型中的兩參數估計.

3.1 單參數估計

首先考慮一維非互易SSH 模型[39,46,47],其原胞內非互易跳躍強度為t±δ,原胞間跳躍強度為t′.在周期邊界條件下,該模型的動量空間哈密頓量為[47]

令t′1 為能量單位,兩能帶為

其中準動量k ∈[0,2π],則能隙可定義為ΔE ≡mink|E+(k)-E-(k)|.如圖1(a)所示,該模型中能隙閉合(ΔE0)對應能帶中出現EP 點以及拓撲轉變[47].

圖1 基于非互易SSH模型的單參數估計(a)能隙ΔE 隨t 和δ的變化;(b) δ 0.2時利用右本征矢|ψR〉評估k的量子Fisher 信息 Fk 隨k 和t 的變化(上圖)及其積分 Mk 隨t 的變化(下圖實線);(c)利用|ψR〉評估δ時Mδ 隨δ 的變化(實線);(d)利用|ψR〉評估t時Mt 隨t的變化(實線).圖(b)—(d)中的數據點表示利用左本征矢|ψL〉評估k,t 或δ時相應 的數 值結果.圖中t′ 1,Fk和Mμ 做對 數處理Fig.1.Single-parameter estimation based on the non-reciprocal SSH model:(a) Energy gap ΔE as functions of t and δ;(b) Fk by the right eigenstate|ψR〉as functions of k and t for estimating k(top) and the integration Mk by|ψR〉as a function of t(solid line in the bottom)with δ 0.2 ;(c) the integration Mδ by using|ψR〉(solid line) as a function of δ for estimating δ;(d) the integration Mt by using|ψR〉(solid line) as a function of t for estimating t.The data points in panels(b)-(d) denote the corresponding numerical results for estimating k,t or δ by using the left eigenstate|ψL〉.t′ 1 is set and Fk and Mμ are logarithmically plotted in the picture.

考慮實部能量較小的歸一化本征態|ψ-〉.|ψ〉(無特別說明時默認為右本征矢|ψR〉),首先對參數μk進行評估,其量子Fisher 信息為Fk4(〈?kψ|?kψ〉-〈?kψ|ψ〉〈ψ|?kψ〉).選取δ0.2 而改變t≥0,可以發現當t0.8,1.2時,在kπ 處出現EP點,對應本征態能量發生虛復轉變.在這兩處EP 點附近,Fk呈指數增長的趨勢,如圖1(b)中的上圖所示.為表征Fμ在整個動量空間的大小,定義積分.對于μk情況,Mk隨t的變化如圖1(b)下圖中的實線所示.可以看出,Mk在t0.8,1.2 處出現峰值,說明在能隙閉合點附近對參數k的估計具有最高精度.考慮評估參數μδ,量子Fisher 信息及其積分分別為Fδ和Mδ.圖1(c)實線給出t0和t0.2時Mδ隨參數δ的變化.當t0時,在δ≥0 的區域中只有一個能隙閉合點,對應Mδ在δ1 附近出現尖峰.當t0.2時,在δ0.8,1.2 處能隙閉合,則Mδ出現兩個尖峰.考慮評估參數μt時,圖1(d)中的實線給出Mt隨參數t的變化.類似地,當δ0 和δ0.2時,Mt分別在t1和t0.8,1.2 的能隙閉合點附近呈現峰值,表明量子Fisher 信息在非厄米和厄米(δ0) 系統中的能隙閉合點附近都會指數增大.非厄米系統具有獨特的EP點,其附近量子Fisher 信息也會指數增大,從而提供額外的提高參數估計精度的策略.在圖1(b)—(d)中,進一步數值驗證了對于歸一化左本征矢|ψL〉,其量子Fisher 信息和整體評估精度具有與右本征矢|ψR〉相同的特征.原因在于當靠近能隙閉合點或EP 點時,無論對于左本征矢還是右本征矢,系統性質都會隨參數的變化而顯著變化.圖1 結果表明,非厄米系統中本征態在EP 點或能隙閉合點附近的量子Fisher 信息顯著增大,從而可以提高未知參數的估計精度.

非互易SSH 模型在開邊界和周期邊界條件下具有不同的能譜特征[39],因此進一步考慮開邊界系統中的參數估計.實空間中N個原胞的非互易SSH 模型的哈密頓量為

圖2 原胞數 N 20 的非互易SSH 模型在不同邊界耦合常數Γ 下的單參數估計(a)和(b)分別是開邊界情況 Γ 0 時本征能量的實部 與虛部隨參數t 的變化;(c)為開邊界條件下 利用中間 能態|ψmid〉和基態|ψground〉評估參數t 的量子Fisher 信息 Ft 隨t的變化,圖中EP 表示例外點,GP表示能隙閉合點;(d)和(e)分別是Γ 0.1,0.6 時本征能量實部隨t 的變化;(f)和(g)為不同邊界耦合常數Γ下Ft隨t的變化.圖中t′ 1, δ2/3,Ft 做對數處理Fig.2.Single-parameter estimation based on the non-reciprocal SSH model with different boundary coupling coefficients Γ and the unit cell of N 20 :(a) The real part and(b) the imaginary part of the eigen-spectrum as functions of t under open boundary condition with Γ 0 ;(c) Ft as a function of t by the mid-spectrum eigenstate|ψmid〉and the ground state|ψground〉for estimating t with Γ 0.Here EP and GP denote exceptional point and gapless point,respectively;(d) and(e) the real part of energy as a function of t with Γ 0.1,0.6,respectively;(f) and(g) Ft as a function of t different values of Γ.In the figure,t′ 1, δ 2/3,and Ft is logarithmically plotted.

進一步考慮邊界耦合參數Γ對能譜和量子Fisher信息Ft的影響.選取Γ=0.1,0.6,相應本征能譜的實部分別如圖2(d)和圖2(e)所示.可以看出,增大Γ對跳躍強度t0 附近的能譜影響比較明顯.從圖2(f)進一步看出,對于中間能態|ψmid〉,增大Γ除了移動能譜中4 個EP 點的位置,還會使得t0 處出現能隙閉合點.當Γ較大時(如Γ0.6),Ft會在t0 處出現峰值.相反地,如圖2(g)所示,隨著Γ的減小,能譜中心兩側的EP 相互靠攏;當Γ0 時合并于t0處,此時Ft在t0 附近指數增大.因此,該非互易模型中邊界條件的變化可以通過能譜和量子Fisher 信息反映出來.

接下來考慮具有增益-耗散的非厄米SSH 模型[48,49],其動量空間哈密頓量為

令t′1,兩能帶為

能隙 ΔE隨t和γ的變化如圖3(a)所示.在ΔE ＞0和 ΔE0 區域,本征態能量分別為實數和復數,能隙閉合對應能帶出現EP 點.考慮本征態|ψ-〉評估參數μk,主要結果如圖3(b)所示.選取γ0.5,當t0.3和t1.7時,即圖3(a)中的實能量區域,量子Fisher 信息Fk隨參數k的變化較為平緩.當t1時,復能譜中k ≈0.84π,1.16π 兩處有EP點,對應Fk在這兩點附近呈現尖峰.而且Mk也反映了在具有EP 點的復能量區域,k的整體估計精度更高.

圖3 基于具有增益-耗散的SSH 模型((a),(b))和非厄米量子Ising 鏈((c),(d))的單參數估計(a)能隙 Δ E 隨t 和γ 的變化,有能隙區域能譜為實,無能隙區域能譜為復且存在EP 點;(b) γ 0.5和t{0.3,1,1.7} 時評估k 的量子Fisher 信息 Fk 隨k 的變化;(c)能隙 ΔE 隨λ 和h 的變化,能隙關閉處為復能量的鐵磁態和順磁態的相邊界;(d)評估λ 時的 Mλ 隨λ 的變化.圖中 t′ 1 和J 1Fig.3.Single-parameter estimation based on the gain-and-loss SSH model((a),(b)) and the non-Hermtian quantum Ising chain((c),(d)):(a) Energy gap ΔE as functions of t and γ,and the gapped(gapless) region contains real(complex) eigen-spectrum(with exceptional points);(b) Fk as a function of k for estimating k with γ 0.5 and t{0.3,1,1.7} ;(c) energy gap ΔE as functions of λ and h,and the gapless line denotes the phase boundary between the ferromagnetic and paramagnetic states with complex energies;(d) Mλ as a function of λ for estimating λ.t′ 1 and J 1 are set.

本節最后考慮一維非厄米量子Ising 模型[50,51],其近鄰格點自旋耦合強度為J,外加橫場為復數場λ+ih(λ和h均為實數),模型哈密頓量為

其中準動量k ∈[0,π].令J1,本征能量為

能隙 ΔE隨參數λ和h變化如圖3(c)所示.考慮能量為E-的本征態,在參量空間λ-h中可分為鐵磁態和順磁態[50,51],其能量均為復數,但兩者之間的轉變伴隨能隙的閉合.類似地,可利用此能量閉合特性提高參數估計的精度.如圖3(d)所示,考慮參數μλ,選取h0.4,0.8,計算積分Mλ隨λ的變化,可見Mλ分別在λ ≈0.92 和λ0.6的能隙閉合點附近形成尖峰.

3.2 兩參數估計

對于兩參數估計,首先考慮二維非厄米陳絕緣體模型[38,53,54],其動量空間哈密頓量為

其中準動量kx,ky ∈[0,2π],δ是非厄米強度.兩能帶記為E±(kx,ky),當能隙ΔE|E+(kx,ky)-E-(kx,ky)|＞0時,該非厄米模型的能帶拓撲性質仍可用陳數C刻畫[38,54]:

圖4 基于非厄米陳絕緣體模型的兩參數估計(a)拓撲相圖,包括有能隙的拓撲和平庸區域,分別對應陳數 C 1和C 0,以及無能隙區域;(b) δ 0.2和t{1.4,2,2.6}(依次從上到下)時評估 {kx,ky} 的量 子Fisher 信息矩陣行列式 隨kx,ky 的變化;(c) δ 0.2 時評估 {kx,ky}的 和評估 {t,δ} 的Mtδ 隨t的變化.圖(c)中 Mμν 和圖(b)中間圖做對數處理Fig.4.Two-parameter estimation based on the non-Hermtian Chern-insulator model:(a) Topological phase diagram with gapped topological(C 1),trivial(C 0),and gapless regions;(b) determinant of quantum Fisher information matrix as functions of kx and ky for estimating {kx,ky} with δ 0.2 and t{1.4,2,2.6}(from top to bottom);(c) the integration for estimating {kx,ky} and Mtδ for estimating {t,δ} as a function of t with δ 0.2.Mμν in panel(c) andin the middle of panels(b) are logarithmically plotted.

考慮兩評估參數為μkx,νky,對應的量子Fisher 信息矩陣由方程(5)給出.圖4(b)從上至下分別給出了t{1.4,2,2.6}和δ0.2時,行列式在動量空間中的分布.當t1.4 和t2.6時,分別對應有能隙的C1和C0 情況,det()在整個動量空間中變化較為平緩.當t2時,det() 在兩個EP點kyπ 和kx ≈0.94π,1.06π附近呈指數增大.為表征整體評估精度,定義二維動量空間的積分

圖4(c)給出了評估參數μkx,νky和μt,νδ兩種情況下,Mμν隨t的變化.可看出和Mtδ都在1.8 ?t?2.2 的無能隙區域取得更大值,表明此時兩參數估計的整體精度更高.此外,相較于平庸區域,在拓撲區域的整體評估精度更高.

最后考慮具有等效增益-耗散項的非厄米二能級系統[26-28],其哈密頓量表達式為

其中仰角θ ∈[0,π] 和方位角φ ∈[0,2π] 給出歸一化量子態在Bloch 球面上的位置,r代表沿z方向的偏置場強度,δ是非厄米強度.考慮實部能量較小的本征態,可定義陳數刻畫系統的拓撲性質[10,11].如圖5(a)所示,當r2+δ2＜1時C1,對應拓撲區域,而r2+δ2＞1 對應C0 的平庸區域.考慮評估參數μθ,νφ,從Mθ?在r-δ參量平面中的變化可看出,相比平庸區域,拓撲區域的整體評估精度更高.由于拓撲轉變伴隨能隙關閉,因此Mθ?的分布在r2+δ21附近出現尖峰.

圖5 基于非厄米二能級系統的兩參數估計評估 {kx,ky}時,(a) 和(b)V 隨r 和δ 的變化.圖(a)中 做對數處理Fig.5.Two-parameter estimation based on the non-Hermitian two-level system.(a) and(b) V as functions of r and δ for estimating {kx,ky} . in panel(a) is logarithmically plotted.

此外|ψ-〉滿足關系 det(Fθφ),從而給出此非厄米兩能級系統中兩參數估計的拓撲下界.為進一步討論拓撲下界,可定義量子Fisher 信息矩陣行列式的積分:

結果如圖5(b)所示,在拓撲區域中,貝里曲率Ωθφ在整個Bloch 球面上同號,可得VC1.在平庸區域,Ωθφ不滿足同號條件,則 1＞V ＞C0.因此,量子Fisher 信息矩陣行列式可表征非厄米系統的拓撲轉變.類似Mθ?,V的結果也表明在拓撲區域中進行參數估計具有更高的精度,相應的量子Fisher 信息矩陣給出兩參數估計誤差的拓撲下界為陳數C.

4 結論與展望

本文基于量子估計理論,首先證明了對于非厄米哈密頓量歸一化本征態,量子Fisher 信息(矩陣)的表達式以及單參數估計和兩參數估計的QCRB 關系依然成立.在此基礎上,計算了一維非互易、具有增益-耗散的SSH 模型和非厄米量子Ising 鏈中,量子Fisher 信息隨動量或單個外場參數的變化.結果表明,基于這3 個非厄米模型的單參數估計,量子Fisher 信息在能隙閉合區域和EP 點附近呈現峰值,其動量空間積分也顯著增大,因此可用于提高參數估計的精度.最后基于二維非厄米拓撲陳絕緣體模型和二能級系統進行兩參數估計,同樣地,量子Fisher 信息矩陣行列式及其動量空間積分在能隙閉合或EP 附近也明顯增大.此外,量子Fisher 信息矩陣行列式在拓撲區域整體大于平庸區域,說明利用非厄米拓撲態進行參數估計的精度比平庸態更高,同時確定了兩參數估計誤差的拓撲下界.這些結果揭示了非厄米EP 點和拓撲特性在量子參數估計中的應用,有助于開展基于非厄米系統的量子精密測量研究.

目前已經有多個量子系統實驗實現了非厄米有效哈密頓量,如單光子[24,25]、冷原子[26]、金剛石NV 色心[27]和超導量子比特[28]等.與此同時,最近已有實驗報道了厄米系統量子Fisher 信息或量子度規的測量,如在金剛石NV 色心中測量單參數估計[12]和多參數估計[13-15]的量子Fisher 信息(矩陣),在核磁共振系統[18]中測量量子Fisher 信息,在超導量子比特系統[9-11]中測量量子度規等;甚至通過光子系統實驗測量了非厄米有效哈密頓量中EP 點附近的量子度規[32].結合這些實驗進展,本文基于非厄米系統的量子參數估計方案有望在實驗中實現.最后需要指出的是,本文研究局限于非厄米哈密頓量本征態,如何基于非幺正演化動力學和開放系統中的混合態進行最優化參數估計需要進一步探索.另外,利用非厄米量子多體效應進行量子精密測量也是值得深入研究的課題.

附錄A

考慮量子系統密度矩陣ρ|ψ〉〈ψ|,對于未知參數μ,ν的評估誤差為 2×2 的協方差矩陣Σμν,相應的評估精度由 2×2 的量子Fisher 信息矩陣Fμν刻畫.對于厄米系統中的量子態|ψ〉,量子Fisher 信息矩陣元為

其中{,}表示反對易關系,對稱對數導數算符Lμ(ν)由?μ(ν)ρ(Lμ(ν)ρ+ρLμ(ν))/2 定義.考慮定態情況中非厄米系統量子態|ψ〉,滿足歸一化條件〈ψ|ψ〉1以及相同的保留對稱對數導數算符,其量子Fisher 信息矩陣元為

其中用到了關系 〈?ψ|ψ〉-〈ψ|?ψ〉.這里只利用非厄米系統特定本征態做參數評估,因此不受本征態的非正交性以及非幺正演化的影響.此時兩參數估計的QCRB 仍滿足Σμν≥1/Fμν,可以由矩陣的跡的柯西不等式得到:

而Fμν的非對角元與貝里曲率滿足關系式