非厄米格點模型的經典電路模擬*

徐燦鴻 許志聰 周子榆 成恩宏? 郎利君2)?

1)(華南師范大學物理學院,廣州 510006)

2)(華南師范大學,廣東省量子調控工程與材料重點實驗室,廣州 510006)

量子模擬是研究和理解量子世界中奇異物理現象的重要手段.近年來,人們發現除了量子平臺,經典系統(如光子晶體、聲子晶體和機械振子等) 也能通過類比薛定諤方程的方式模擬量子模型.其中,經典電路因具有成本低廉、技術成熟和易于擴展等特點,成為一個新興的模擬平臺,并成功模擬了許多重要的量子現象.與此同時,非厄米物理突破了傳統量子力學中系統哈密頓量的厄米性,為人們理解量子系統,尤其是開放量子系統中的物理,提供了一種新的視角.非厄米系統由于展現出不同于厄米系統的新奇現象,在物理學的多個領域中成為新興的研究對象.然而,許多非厄米現象所要求的奇異構型在量子平臺上實現的技術門檻相對較高,例如非厄米趨膚效應通常需要系統具備非互易的格點間躍遷.因此,利用操控靈活的經典電路模擬非厄米物理成為一種自然的選擇.本文旨在通過簡要介紹非厄米物理的相關知識(包括數學基礎和新奇現象) 以及經典電路的模擬理論(包括對格點模型的映射理論、非厄米的引入和物理量的測量等),概述當前經典電路模擬非厄米格點模型的實驗進展,為相關研究工作提供參考,以推動該領域的進一步發展.

1 引言

量子模擬的概念最早由著名物理學家費曼提出[1],以解決復雜量子系統無法用經典計算機模擬的問題,從而更好地理解奇異的量子世界.隨著低溫、超導等極端技術的發展,人造量子平臺(如冷原子[2-4]、離子阱[5-7]、超導量子比特[8-10]等)表現出系統純凈、可控性強等優勢,成功模擬了許多重要的量子現象.然而,量子模擬平臺對技術條件要求苛刻且容易受環境影響而發生退相干[11],導致實驗成本很高.近些年,研究者們發現主導經典系統的物態方程在一定條件下可以與量子系統所遵循的薛定諤方程相對應[12],因此,經典系統(如光子晶體[13-18]、聲子晶體[19-24]、機械振子[25-30]等)同樣可以用來模擬量子現象,并且具有成本低廉、技術成熟和擴展性強等特點.尤其是近期興起的經典電路系統[31,32],原則上可以模擬任意維度和任意邊界條件下具有任意格點間躍遷的量子緊束縛模型(即格點模型).利用經典電路,人們已經成功模擬了許多量子現象[33-49],比如拓撲邊緣態[35,39,46,48]以及高階拓撲角態[36,40,43,47]等.

另一方面,非厄米系統作為量子開放系統的一種有效描述[12,50,51],本身帶來許多不同于傳統厄米系統的獨特現象,比如復能譜的出現、宇稱-時間反演對稱(parity-time-reversal symmetry,PT 對稱)破缺[52-56]、傳統體邊對應關系(bulk-boundary correspondence)的失效[57-70]、非厄米動力學[71-73]等,已經成為當下凝聚態領域中一個新興的研究熱點.鑒于經典電路對量子厄米拓撲系統的成功模擬,人們自然也希望用它模擬非厄米系統,以期更好地研究和理解新奇的非厄米物理現象.實驗上,研究者們在利用經典電路模擬非厄米物理方面已經取得了很大進展[32],比如成功模擬具有非互易躍遷的Su-Schriefer-Heeger(SSH)模型[41],觀測到由增益/損耗(gain/loss)誘導的非厄米拓撲邊緣態[74]等.本文將聚焦于經典電路對非厄米格點模型的模擬,對當前的實驗進展進行綜述,為相關研究提供參考,以推動該領域進一步發展.

本文的剩余部分大致安排如下:第2 節簡要介紹非厄米物理中的一些數學知識和新奇現象;第3 節介紹經典電路模擬的理論基礎;第4 節概述當下經典電路模擬非厄米格點模型的實驗進展;第5 節進行總結.

2 非厄米物理簡介

非厄米物理的研究對象既可以是量子系統也可以是經典系統,其特征是系統的性質可以通過有效的非厄米矩陣進行描述[12].系統的非厄米性通常來源于系統與環境之間的耦合,比如系統與環境之間的能量交換,對系統的測量等[50,51].

早期的研究主要關注于PT 對稱的非厄米系統[52,53],因為這類系統在特定參數下具有類似厄米系統的純實數能譜,以保證態的演化不發散或不消逝.同時,此類系統能譜的實復轉變對應于本征態的PT 對稱破缺,其轉變點即為異常點(exceptional point,EP)[75].隨后,人們建立了非厄米系統的一般性理論—非厄米量子力學[76],給出了描述非厄米系統的基本數學范式.

近些年,傳統體邊對應關系在非厄米拓撲系統的失效引起新一輪對非厄米物理研究的浪潮.在重建非厄米體邊對應關系的過程中,人們逐漸發現一些非厄米系統所特有的現象,比如非厄米趨膚效應[57-59,77-79],也建立起一些新的非厄米理論,比如非布洛赫理論[59,80-88]、非厄米拓撲分類[89-92]等.這些研究在理論上揭示出非厄米系統不同于厄米系統的獨特性質[12,86,92].近期隨著非厄米領域的不斷發展,人們開始將非厄米理論應用于對開放系統的研究中[63,93-101].

本節根據理解相關實驗的需要,簡要介紹一些實驗中所涉及的非厄米理論的基本數學知識以及非厄米系統所特有的新奇現象.

2.1 非厄米理論的數學基礎

2.1.1 非厄米矩陣及雙正交基

非厄米系統通常可以用非厄米矩陣H(相當于傳統量子力學中系統的哈密頓量)來描述,其非厄米性表現為H?H.對于可對角化的非厄米矩陣而言(不可對角化的情況隨后介紹),其本征值分解如下[102]:

其中,Λ為對角矩陣,其對角項{En}為本征值(相當于傳統量子力學中系統的本征能量),可以為任意復數;S為相似矩陣,其中的列向量被稱為H的右本征矢,記作,而S-1中的行向量被稱為H的左本征矢,記作.將(1)式寫成本征方程的形式:

表示非厄米系統的定態薛定諤方程.由相似矩陣的性質可知,左右本征矢之間滿足雙正交歸一關系:

從而具有如下完備性:

因此,左右矢可構成非厄米矩陣的雙正交基(biorthogonal basis)[76].

2.1.2 缺陷矩陣及EP

當非厄米矩陣不可對角化(被稱為缺陷矩陣)時,無法對其進行本征值分解,取而代之的是更一般的約當分解(Jordan decomposition)[12,103]:

其中,S仍為相似矩陣,

是在相似變換下最接近完全對角化的塊對角矩陣,其對角塊Js(E) 具有如下形式:對角元均為E,上次對角元均為1,其他為0.具有這樣形式的J被稱為H的約當標準型(Jordan canonical form),其中Js(E) 為第s個約當塊(Jordan block).每個約當塊Js(E) 都有且僅有一個本征矢(1,0,···)T,E為相應的本征值.因此,當存在約當塊的維度ps(E)dimJs(E)＞1時,H即為缺陷矩陣.具有相同本征值E的約當塊的個數α(E) 即為缺陷矩陣H在E處的簡并度.特別地,當所有約當塊的維度均為1時,約當分解則退化為本征值分解,即H不再是缺陷矩陣.

如果調節系統參數,使描述非厄米系統的非厄米矩陣恰好為缺陷矩陣,此參數即為非厄米系統的EP[75].不同于厄米矩陣的簡并點,在EP 處不僅本征值重合,本征矢也會部分或全部合并(coalesce),即H的左右本征矢無法提供完備的雙正交基,此時需要用廣義本征矢(generalized eigenvector)來補足.通常大家定義在本征值E處的EP 階數為,但此定義只適合對EP 的粗糙描述,并不能反映在此系統參數下是否發生了本征矢合并以及合并的細節.只有給出本征值E對應的每一個約當塊的維度信息ps(E),才能更好地表征EP 的性質.

為了度量系統參數離EP 的遠近程度,可以定義平均的相剛度(phase rigidity)[104]:

其中,N為可對角化矩陣H(z)的維度,為其在參數z處的第n個左/右本征矢.當系統參數接近EP值z0時,相剛度r(z →z0)→0 ;對于厄米矩陣,左右本征矢互為復共軛,所以相剛度r(z)1,即厄米矩陣不存在EP.

2.2 非厄米系統中的新奇現象

2.2.1 PT 對稱破缺及贗厄米

在傳統的量子力學中,系統的哈密頓量為厄米算符(對應于厄米矩陣),其本征譜全為實數,反映系統能量為實數的物理事實.1998年,Bender 和Boettcher[52,53]發現,PT對稱的非厄米哈密頓量(對應于非厄米矩陣)同樣可以具有全實能譜.這里的P 和T 分別表示空間反演和時間反演.當非厄米強度(比如增益/損耗強度)γ比較弱時,系統的所有本征態均具有PT對稱性,從而具有全實的能譜,此時系統處于PT對稱相,任何量子態在此系統下均具有穩定的動力學.當非厄米強度很強時,系統的部分或全部本征態不再具有PT 對稱性,其能譜也出現復數,此時系統處于PT 對稱破缺相,量子態在其中的演化通常會發散或消逝.因此,在PT 對稱的非厄米系統里,存在能譜由全實到復數的轉變,被稱為PT 轉變(PT transition),如圖1所示.在轉變點處部分或全部本征態會發生自發性PT 對稱破缺.此轉變點即為前面所提到的EP.PT 轉變是厄米系統所沒有的.

圖1 能量E 的實部(實線)和虛部(虛線)隨非厄米強度γ 的變化.點線處為PT 轉變點,其左側為PT 對稱相(白色區域),右側為PT 對稱破缺相(灰色區域)Fig.1.The real(solid lines) and imaginary(dashed lines)parts of the energy E versus the strength γ of the non-Hermiticity.The dotted line indicates the PT transition point,to the left side of which is the PT symmetric phase(white region) and to the right side of which is the PT-broken phase(gray region).

其實,不只有PT 對稱的非厄米系統可以存在全實能譜.Mostafazadeh[105]在2002 年的研究發現,每一個具有全實能譜的哈密頓量都是贗厄米的(pseudo-Hermitian),而PT 對稱只是贗厄米的一種特殊形式.如果存在一個厄米的可逆算符η,使得系統的哈密頓量H滿足H?ηHη-1,則稱H是贗厄米的[12,105].如果η可以取單位算符,則H退化為厄米的.贗厄米哈密頓量的能譜一定具備以下性質之一:1) 全實能譜;2) 能譜以復共軛的形式成對出現,且互為復共軛的能譜的簡并度相同.

如果存在η,它可以進一步寫成ηOO?的形式,其中O為線性可逆算符,則贗厄米哈密頓量H一定具有全實能譜[12,106].這是非厄米哈密頓量具有全實能譜的充分必要條件.而PT 對稱僅能保證非厄米哈密頓量具有產生全實能譜的可能性,既不是其具有全實能譜的充分條件,也不是必要條件.

2.2.2 傳統體邊對應關系的失效及非厄米趨膚效應

體邊對應關系是被體能隙保護的厄米拓撲系統遵循的一個基本原則,它描述了系統的體態拓撲不變量與拓撲邊緣態之間的關聯.然而,此原則在某些非厄米系統中并不成立,表現為開邊界條件下的能譜和體態與周期邊界下有很大的不同[57,58],如圖2(a)所示.這是因為此類非厄米系統對邊界的選擇表現出很強的敏感性,開邊界與周期邊界的同一系統在熱力學極限下并不等價[57,58,107].

圖2 (a)非厄米SSH 模型[59]分別在開邊界(粉色)和周期邊界(灰色)條件下的能譜E 在復平面的示意圖;(b)與(a)中能譜相對應的布里淵區(灰色)和廣義布里淵區(粉色)的示意圖,其中β 的定義見正文;(c)開邊界條件下拓撲邊緣態(紅色)和趨膚態(灰色)的在實空間的幾率分布|ψi|2示意圖,i 為格點標記Fig.2.(a) The sketch of the energy spectra in complex plane for the non-Hermitian SSH model in Ref.[59] respectively under open(pink) and periodic(gray) boundary conditions;(b) the sketch of the Brillouin zone(black) and the generalized Brillouin zone(pink) corresponding to the spectra with the same colors in(a),where the definition of β can be referred to in the main text;(c) the sketch of probability distribution|ψi|2 of the topological end state(red)and the skin bulk states(gray) in real space under open boundary conditions,where i is the site index.

非厄米趨膚效應恰是這種邊界敏感性的體現.它具體表現為非厄米系統的體態在開邊界條件下呈指數型地聚集在某一邊界,如圖2(c)所示.非厄米趨膚效應使具有體周期性的非厄米系統的體態丟失了布洛赫態的特性,與厄米系統中體態彌散在全域的情形完全不同.

基于對非厄米趨膚效應的觀察,Yao 等[60]在一維非厄米SSH 模型中建立起非布洛赫理論(non-Bloch theory),成功重塑了此非厄米系統中的體邊對應關系,引起了后續的廣泛研究[80-88].在非布洛赫理論中,對于熱力學極限下的非厄米系統,周期邊界下的哈密頓量H(k) 被開邊界下的H(β)所取代.這里,原先定義在布里淵區上的晶格動量k被擴展為一個復變量βreik,它在復平面的集合被稱為廣義布里淵區(generalized Brillouin zone).廣義布里淵區通常為一個閉合路徑,如圖2(b)所示,其與原點的距離r反映系統在開邊界條件下體態的趨膚性質:r1 代表布洛赫態,即沒有非厄米趨膚效應;r ＜1和r ＞1 分別對應趨向于不同邊界的體趨膚態[60,81].類比厄米情形[108],可以用非布洛赫態在廣義布里淵區中定義非布洛赫的拓撲不變量,從而重構非厄米拓撲系統的體邊對應關系,即非布洛赫拓撲不變量與非厄米拓撲邊緣態之間的關聯:拓撲不變量為0 表示不存在拓撲邊緣態的拓撲平庸相,非0 表示存在拓撲邊緣態的非厄米拓撲相.

例如,對于具有手征對稱性的一維非厄米系統,其非布洛赫纏繞數可定義為[59]

其中,矩陣q(β) 由哈密頓量H(β) 的Q-矩陣來定義:

由于系統具有手征對稱性{H(β),Γ}0(Γ為相應的手征算符),導致能譜關于零點對稱,因此可以將H(β) 的本征態(n為能帶指標)按本征能量{En(β),-En(β)}劃分成兩個子空間N+和N-.以手征算符Γ的本征態為基,手征對稱的Q-矩陣便可寫成(9)式中第2 行的反對角形式.

又如,二維非厄米系統的非布洛赫陳數可定義為[60,109]

分別為非布洛赫貝里曲率(Berry curvature)和貝里聯絡(Berry connection).

以上用非布洛赫本征態定義的拓撲不變量,雖然能很好地反映非厄米系統在開邊界條件下的拓撲相變,包括能隙的關閉以及拓撲邊緣態的產生,但并沒有體現出非厄米趨膚態本身的拓撲性質.借助于非厄米系統的能譜一般為復數的特性,可以定義能量纏繞數[12,67]:

其中,C為積分回路,可以是布里淵區(BZ)或廣義布里淵區(GBZ),也可以是其他周期參數空間;Eb是能量復平面內的基準能量.對于一維單帶非厄米系統,周期邊界下的能量纏繞數wBZ,Eb可以反映相應開邊界下趨膚態的性質:wBZ,Eb0 表明存在非厄米趨膚效應,其正負反映趨膚態的趨膚方向[67].這種周期邊界下能譜的拓撲性質與開邊界下非厄米趨膚態的對應關系是非厄米拓撲系統所獨有的.

2.2.3 EP 誘導的高靈敏度及分數級數展開

與傳統的簡并點(此處僅是能量重合而態并不合并)不同,EP 能使非厄米系統的能量對微擾產生更靈敏的響應.對于一個p階EP,能譜對微擾z的響應ε在一定條件下最大可以達到ε ∝z1/p的量級,而傳統的簡并點僅為ε ∝z[110],如圖3 所示.基于這一特性,EP 可以用于制造高靈敏度的傳感器,其最早方案由Wiersig[111]于2014 年提出.

圖3 (a)能譜ε 隨微擾z 在二階EP 附近劈裂的示意圖,具有 ε ∝z1/2 的形式[110];(b)能譜ε 隨微擾z 在傳統的二重簡并點附近劈裂的示 意圖,具有 ε ∝z 的形式[110]Fig.3.(a) The sketch of energy spectra ε versus the perturbation z around a two-order EP,satisfying ε ∝z1/2[110];(b) the sketch of energy spectra ε versus the perturbation z around a traditional two-fold degenerate point,satisfying ε ∝z [110].

EP 產生高靈敏度的原因可以通過數學上的皮瑟級數(Puiseux series)來理解.已知非厄米系統H(z)(參數z ∈C)在z0 處有一個能量為E0的p階EP.當系統偏離EP時,假設能量完全劈裂為p支不同的能量函數Eh(z)(h0,···,p-1) 且它們恰好構成以z0為p-1 階支點的p葉黎曼面(即這p支能量函數之間在z0 附近是連續解析的,且函數值繞p圈才能回到初始值),則能量函數在EP 附近展開有如下皮瑟級數[92,112]:

其中αn是展開系數.因為|z|?1,所以能量在EP 附近的劈裂由領頭項z1/p主導.皮瑟級數是分數級數,當EP 階數p ＞1時,能量劈裂對參數偏離的響應比傳統的簡并點(對應于泰勒級數)要大.這就是EP 能導致高靈敏度的來源.

值得注意的是,展開式(14)假設了p階EP恰好是其附近能量函數的p-1 階支點,但這些能量函數也可以形成α個各自連續解析的函數族,每族函數以p階EP 作為其ps-1 階支點(滿足此時,每一族能量函數的展開式都具有(14)式的形式,只是將p換成ps,這會導致能量對參數偏離的響應相對較弱[103].因此,能譜對微擾的響應并非只由EP 的階數決定,還跟具體的微擾形式有關.

3 經典電路模擬的理論基礎

3.1 經典電路對格點模型的映射

利用經典電路模擬物理現象的基本邏輯為,基于電路的基爾霍夫定律,通過合理近似,建立起電路中描述某物理量的運動方程與模擬對象所遵循的運動方程之間的映射關系,以達到通過觀測此物理量在電路中的行為從而獲知模擬對象相關性質的目的.由于基爾霍夫方程的離散屬性,經典電路主要用于模擬量子力學中的緊束縛模型(即格點模型).所以,本節主要介紹用于映射格點模型薛定諤方程的3 種電路理論:拉普拉斯形式(Laplacian formalism)[35]、劉維爾形式(Liouvillian formalism)[113]以及耦合模理論(coupled mode theory)[114-116].

3.1.1 拉普拉斯形式

對于任意線性電路構成的網絡,元件從節點i到節點j(有方向性)的特性可以通過線性的等效電阻Rij、等效電感Lij和等效電容Cij來描述.如果元件的等效值依賴于節點i與j之間的方向,則稱此元件為非互易的(nonreciprocal).定義節點的外部輸入電流Ii(t) 和對地電壓Vi(t),根據基爾霍夫定律可得矩陣形式的線性微分方程[117]:

其中,I(t)和V(t) 分別為Ii(t)和Vi(t) 的矢量形式,系數矩陣:

分別具有 [電容]、[電阻]-1和[電感]-1 的量綱,g 表示對地.

對電路注入驅動頻率為ω ∈R 的交變電流I(t)Ieiωt,電路節點將具有穩定的電壓響應V(t)Veiωt,其電流幅I和電壓幅V之間滿足如下關系:

式中J(ω) 具有 [導納] 的量綱,被稱為導納矩陣(admittance matrix)或電路拉普拉斯量(circuit Laplacian)[35].它是驅動頻率ω的函數,其矩陣元Jij表示節點i到j的導納.其逆矩陣GJ-1被稱為電路格林函數(circuit Green function),具有[阻抗] 的量綱,反映了節點電壓V對節點輸入電流I的響應.有時為了方便起見,也可將導納矩陣分解為三部分:

其中,A代表導納矩陣的非對角部分,D和W分別代表對角部分中的節點間耦合部分和對地部分,其矩陣元分別為

其中δij為Kronecker 函數.

如果將導納矩陣J看作格點模型的哈密頓量,則電路節點對應格點的位置,J的對角元和非對角元分別對應格點上的在位勢能和格點間的躍遷振幅,而導納矩陣的本征方程,

便可用于模擬格點模型的定態薛定諤方程(2)式.這里的jn表示導納矩陣J的第n個本征值,為相應的左右本征矢.因此,jn對應格點模型的本征能量En,而對應格點模型的本征態需要注意的是,在此對應關系中,驅動頻率ω是作為模擬參數而存在的,并非直接對應于格點模型的本征能量.

特別地,當無外界輸入電流(即I0)時,(17)式變為本征方程J(ω)V0,其存在非平庸解的條件為

由(17)式可知,當電路中僅含有被動(passive)電阻時(即純耗散電路),J是厄米的,而僅含有被動電容和電感時(即純振蕩電路),J是反厄米的,即J?-J.因此,通常用 iJ建立與格點模型哈密頓量H的映射,用僅含有被動電容和電感的電路模擬厄米格點模型[33,35,45],而通過引入被動電阻以及主動(active)元件來模擬非厄米格點模型[41,74,118-129].只要對電路元件及排布進行合理的設計并采取合適的驅動頻率,原則上可以用導納矩陣模擬任意格點模型的穩態性質,包括本征能和本征態以及由它們定義的各種物理量.

3.1.2 劉維爾形式

如果要模擬格點模型的動力學,需要將描述電路動力學的(15)式與描述格點模型動力學的含時薛定諤方程 i?t|ψ(t)〉H|ψ(t)〉(?1)相 聯系.由于含時薛定諤方程是齊次方程,所以這里考慮無外界電流輸入的情況,即I(t)0.此時,(15)式變為關于時間的二階齊次微分方程而含時薛定諤方程是一階的,因此,需要通過變量替換將(15)式降為一階:

定義新變量Φ(t)[V(t),W(t)]T,(22)式可改寫為如下劉維爾方程的形式[113]:

這里的L被稱為電路劉維爾量(circuit Liouvillian),E為單位矩陣.劉維爾方程將微分方程(15)從二階降為一階,但變量的個數擴大為原來的2 倍.

顯然,電路的劉維爾方程類似含時薛定諤方程,iL具有哈密頓量的地位.此方程具有形為Φ(t)的穩態解,其中 iL的本征值即為電路的本征頻率,模擬格點模型的本征能En[122,130];矢量Φ(t)反映電路中電壓隨時間的演化情況,模擬格點模型中量子態的動力學[131].

3.1.3 耦合模理論

因為格點模型直接來源于凝聚態物理中的緊束縛近似(即將不同的原子軌道弱耦合在一起),所以同樣可以用電路重構類似的近似過程:將多個具有獨自振蕩頻率的RLC 電路,通過某種形式的弱耦合連接起來,從而模擬格點模型.這種近似方法被稱為耦合模理論[114-116].

為了清楚地展示耦合模理論的近似過程,這里選取通過電感元件間的互感M耦合的兩個RLC回路作為例子[115],如圖4 所示.根據基爾霍夫電壓定律,可得

圖4 二聚體電路示意圖[132].由電感耦合的兩個RLC 回路構成,其中M 為互感,-R 代表負電阻Fig.4.The sketch of the dimer circuit consisting of two inductively coupled RLC tanks[132],where M is the mutual inductance and -R represents an negative resistance.

當考慮弱耦合的情況時,即

(25)式可化為

此方程等價于振蕩電流Il,r(t)Il,reiωt所滿足的耦合模方程:

顯然,(28)式與含時薛定諤方程形式一致,可以用來模擬相應的動力學以及穩態性質.

值得注意的是,電路的耦合模方程(28)與劉維爾方程(23)的形式相同,但卻沒有增加變量的個數,這是因為耦合模理論在弱耦合近似下將(25)式中ω的平方項降成了(27)式中的線性項,等價于將基爾霍夫方程(15)中關于時間的二階導數降到了一階.這便是耦合模理論能直接模擬含時薛定諤方程的原因.由于弱耦合近似(26)式的限制,耦合模理論適用范圍較窄.目前在電路系統中主要用于高靈敏EP 傳感器的設計[114-116,130].

3.2 非厄米在經典電路中的引入

為了用經典電路模擬非厄米格點模型,需要在以上電路理論中引入等效的非厄米項,主要包括格點上的復在位勢和格點間的非互易躍遷,分別對應于哈密頓量矩陣中的復對角元和不滿足復共軛關系的非對角元,它們均可以使描述系統的矩陣失去厄米性.

3.2.1 損耗和增益

由于電阻天然的耗散屬性,在電路中引入非厄米最自然且最簡單的方式就是加入電阻.根據電路的拉普拉斯形式,在電路中添加電阻或等效的負電阻可以模擬非厄米格點模型中的損耗或增益,使得iJ(iJ)?.具體地,由(16)式和(17)式可知,節點對地的電阻Rng使iJ的對角元產生虛部,可以模擬格點的復在位勢;節點間的電阻Rnm則會在對角元和非對角元上同時引入虛部,額外模擬格點間的復躍遷[118].

由此可知,電阻的引入產生損耗,但如要產生增益,需引入等效的負電阻.文獻[133]給出了利用運算放大器(簡稱運放)實現一般負阻抗(負電阻是其特殊情況)的方案,如圖5(a)所示,其中包括對地端口(上)和兩端口間(下)的負阻抗方案,

圖5 (a)負阻抗的電路原理圖[133],上下圖分別表示對地端口和自由雙端口的情況;(b) INIC 的電路原理圖[137];(c)電壓跟隨器的電路原理圖[136].以上所用運放的等效增益函數可用加法器和乘法器實現Fig.5.(a) The schematic circuit for negative impedance[133],where the upper and lower panels represent the one-port and two-port cases,respectively;(b) the schematic circuit for INIC[136];(c) the schematic circuit for a voltage follower[136].The equivalent gain functions of the operational amplifiers used above can be implemented using adders and multipliers.

其阻抗值可由基爾霍夫電流定律分別求得

其中,Z為需要變負值的目標阻抗.圖中運放的等效增益函數可用簡單的加法器和乘法器實現.應用負電阻的典型實例是對PT 對稱破缺的電路模擬[113,134,135].

3.2.2 非互易躍遷

相比于增益/損耗,非互易躍遷的實現更具有挑戰性.在交流源的驅動下,被動元件(如電阻、電容和電感)的阻抗/導納值都與測量方向無關,即被動元件是互易的(reciprocal).為了使電路元件具有非互易性,從而實現對格點間非互易躍遷的模擬,必須引入主動元件打破其互易性.

實驗上常見的方案是使用電流型負阻抗變換器(negative impedance converter with current inversion,INIC)[136],它由運放和若干線性元件組成,其原理如圖5(b)所示.由基爾霍夫定律易得

此外,電壓跟隨器(voltage follower)[136]也可以用來實現非互易躍遷,如圖5(c)所示.根據理想運放正負兩輸入端口的電壓相同的特點,當負輸入端口與輸出端口相連時,輸出端口的電壓V0則與正輸入端口的電壓Vj相同,從而實現電壓跟隨.由此可得,YijIi/(Vi-Vj)Z-1.又由于理想運放的輸入阻抗趨于無窮大,導致Ij～0,所以YjiIj/(Vj-Vi)～0.顯然,YijYji.將電壓跟隨器與被動元件并聯同樣能實現非互易躍遷的效果[124,139],尤其是對單向躍遷(unidirectional hopping)的實現[129],相比INIC 更為簡單.

3.3 經典電路中物理量的測量與表征

建立好經典電路對非厄米格點模型的映射后,則需要考慮如何通過電路測量反映模型中的物理性質.在非厄米系統中,大家主要關心的是復能譜和本征態以及由它們所構造的各種物理量等靜態性質,或者是量子態演化等動力學性質.因此,本節將概述經典電路實驗中常用的測量方法與物理量之間的對應.

3.3.1 導納矩陣

根據電路的拉普拉斯形式,測量出導納譜{jn}便可得到相應格點模型能譜{En}的信息.但導納譜通常無法被直接測量,因為根據導納矩陣的定義(17)式,節點電壓V對節點輸入電流I的響應直接反映的是電路格林函數G.所以,可以先測出電路格林函數,再根據JG-1得到導納矩陣,進而將其對角化得到導納譜.

下面介紹如何測量電路格林函數.假設電路有N個節點,如果僅在第j節點注入頻率為ω的交變電流Ijeiωt,由VGI可得穩態響應電壓的幅矢量為

于是通過測量每個節點的穩態電壓幅Vi,便可得到電路格林函數第j列的矩陣元GijVi/Ij.當以相同的頻率對電路中所有節點遍歷上述電流驅動,利用頻譜分析儀測量每次驅動下所有節點的穩態電壓幅,即可完全重構電路格林函數,進而得到導納矩陣[38].這個過程所需要的總的測量次數為N2.而對于具有平移不變性的周期性電路而言,僅需遍歷一個電路原胞即可,測量次數可以減少到N2/Nc,其中Nc表示原胞數[41].將得到的導納矩陣J對角化,便可得到本征值jn和左右本征矢以及由它們所構成的其他靜態物理量;本征頻率也可以通過 det[J]0 得到.

在實驗中更高效的方法是,利用矢量網絡分析儀(vector network analyzer,VNA)對電路各節點的散射信號進行掃描,再將包含散射信息的S 參數矩陣(S-parameter matrix)變換到導納矩陣,便可計算出電路的導納譜和本征頻率譜[114,115,130,132,134,139-142].

另外,如果僅是定性地表征導納矩陣本征矢的特性,也可以直接測量各個節點對交變電流的電壓響應[41].根據下式

可知,電壓響應V是所有導納矩陣右本征矢的某種線性疊加.據此可以從電壓在節點間的分布粗略判斷系統是否發生類似非厄米趨膚效應或安德森局域化的現象[117].

3.3.2 兩點間阻抗

電路實驗中也經常通過測量兩點間阻抗(twopoint impedance)來表征所關心的模擬量的性質.節點i到j的阻抗Zij可以通過輸入交變電流Iieiωt并測量兩節點的響應電壓Vieiωt和Vjeiωt得到.利用(20)式中導納矩陣J的本征值jn和本征矢,可以將兩點間阻抗表示為[143]

這樣可以通過對每個節點掃頻測得兩點間阻抗的共振峰的位置,從而確定電路的本征頻率譜.固定本征頻率,測量對地阻抗Zig隨節點i的變化也反映了導納本征矢(即電路的本征電壓)在節點間的分布特點,常被應用于拓撲邊緣態和非厄米趨膚效應[35,74,119,128,144,145]以及高階拓撲角態[126,127,146]的測量.不過需要注意的是,本方法只適用于本征頻率譜為近實譜(即本征頻率的虛部很小)的情況,因為掃描頻率ω只能是實數.

3.3.3 動力學

前兩種測量主要模擬的是格點模型的靜態性質,對于動力學性質的模擬,可直接利用電路的劉維爾方程(23)[131,137,147]或耦合模方程(28)[114,115,130],類比格點模型的含時薛定諤方程.此類測量非常簡單,只要按模擬需求給電路各節點注入相應的初始電壓或電流,隨后測量其隨時間的變化即可.

利用動力學也能驗證格點模型的部分靜態性質.比如利用導納矩陣根據 det[J()]0 已得到了系統的本征頻率(一般為復數),通過動力學的辦法可以觀測到此本征頻率且判斷其正確性.方法是,將與本征頻率相應的本征電壓v0設為電路的初態,隨后撤掉外部源,則初態將會按照劉維爾方程(23)進行演化,其任意時刻的電壓應滿足:

因此,可根據電壓隨時間的振蕩頻率和幅值的放大/衰減程度分別擬合出本征頻率的實部和虛部,與理論相比較[122,135,148].

雖然電壓的動力學行為并不是遵從于導納矩陣J() 的本征值jn(),而是依賴于本征頻率,但是由于本征頻率譜與導納譜結構上的相似性,可以用本征電壓的動力學定性的反映導納矩陣本征矢的動力學,進而模擬相關的行為,例如拓撲邊緣態和非厄米趨膚效應的動力學行為[137,147]以及場相干的演化[127]等.

4 經典電路模擬非厄米格點模型的實驗進展

目前,人們利用經典電路在實驗上已經成功模擬和觀測了非厄米格點模型的許多性質.本節將從PT 對稱破缺、多種非厄米趨膚效應、其他非厄米拓撲態以及EP 在傳感器上的應用這4 個方面介紹相關的實驗進展.

4.1 PT 對稱破缺

PT 對稱破缺是非厄米系統所獨有的現象.在經典電路實驗中,人們將增益電路與損耗電路耦合形成二聚體(dimer)電路[113,133,135,148]或者在二聚體電路中進一步添加一個中性電路構成的三聚體(trimer)電路[130,141],觀測電路的本征頻率譜隨增益/損耗強度的變化,從而對PT 對稱破缺進行研究.本節將從不同的電路模型出發對相關實驗進展進行介紹.

最早在電路平臺上研究PT 對稱破缺的是Schindler 等[113].他們在2011 年設計了一個由一對RLC電路耦合形成的二聚體電路 [圖6(a)][133],其中增益和損耗部分分別由接地運放和電阻實現.他們根據基爾霍夫定律寫出描述電量和電流變化的劉維爾方程(23)式,建立起與含時薛定諤方程的對應關系,在實驗上觀測本征頻率隨增益/損耗強度的變化.如圖6(b)所示,在γ/γPT＞1時,觀測到復本征頻率出現,對應于PT 對稱破缺.2017年,該研究組[148]基于Floquet 理論對一系列由EP 分隔開的PT 對稱相與PT 對稱破缺相進行了研究.他們在增益電路中用光電池(photocell)連接金屬-氧化物場效應晶體管(MOSFET)的源極與電感,并將MOSFET的漏極接入振蕩電路.當光電池兩端的電壓降低時,其電流會流入電路,從而實現增益.在損耗電路中使用接地的光電池連接電感,其電流由于接地會耗散,從而實現損耗.利用變容二極管(varactor diode)耦合增益電路與損耗電路,實現對電路耦合強度的控制.

圖6 (a) PT 對稱的二聚體電路,電路中的增益和損耗部分通過電容或互感耦合;(b) 實驗測量的本征頻率隨著增益/損耗參數γ/γPT 的變換,在 γ/γPT 1 時發生PT 對稱破缺.圖來源于文獻[113],版權屬于美國物理學會Fig.6.(a) Circuit diagram of a PT-symmetric dimer,where the gain and loss parts are capacitively or inductively coupled;(b) experimentally measured eigenfrequencies versus the gain/loss parameter γ/γPT,where the PT symmetry breaking occurs at γ/γPT 1.All figures are adapted from Ref.[113] with the copyright ? 2011 by the American Physical Society.

2020年,Wang 等[135]利用接地的INIC 實現等效負阻抗,搭建了由兩個RLC 回路組成的對稱二聚體電路,在頻譜中觀測到一階和二階EP 以及PT 對稱相和PT 對稱破缺相.次年,Zhou 等[115]同樣搭建了由兩個RLC 回路耦合的二聚體電路,基于耦合模理論(25)式對格點模型進行模擬,研究了微擾對PT 對稱系統的影響.實驗將VNA 的輸入端連接到電路實現等效的負阻抗,同時將另一端連接到到讀取器(reader)中測量頻率.VNA 自身帶有阻抗,連接輸入源端口到閉合回路中可以輸入電能,在電路中可以起到增益的作用.

隨著人們對于PT 對稱認識的加深,對其模擬的電路平臺不僅局限于二聚體電路.三聚體電路由于中性電路的加入具有更強的可擴展性,同樣是重要的模擬平臺.2019年,Sakhdari 等[141]在原來的二聚體電路之間添加了一個LC 振蕩電路,并利用VNA 實現等效負阻抗并同時進行頻率測量.他們比較了二聚體與三聚體電路的實驗結果,觀測到三聚體頻譜中接近發散EP(divergent exceptional points,DEP)的頻率偏移程度較二聚體更大.2023年,Yin 等[130]采用了與Zhou 等[115]類似的方法,利用VNA 同時實現負阻抗與測量,構建了一個由3 個RLC 回路耦合的三聚體電路,并觀測到環繞周期為3 的三階EP.

除了二聚體或三聚體電路之外,2021年,Stegmaier 等[120]構建了一個類SSH 模型的電路來研究PT 對稱性.他們根據電路的拉普拉斯形式(17)式,利用導納矩陣建立起電路與格點模型之間的對應關系.他們在電路的每個節點上添加接地電阻以實現格點上的增益和損耗,并測量了不同增益和損耗強度下的導納譜.通過這些測量,他們觀察到了PT對稱、PT 對稱破缺和反PT 對稱這3 種情況.該實驗為研究PT 對稱破缺提供了一個新的平臺,并為進一步將EP 應用在傳感器上提供了新的思路.

4.2 多種非厄米趨膚效應

非互易躍遷往往可以誘導出非厄米趨膚效應,從而導致傳統體邊對應關系的失效.在經典電路的實驗中,研究者們通常在電路節點間加入INIC[41,74,121,123,127,138,145,146]或電壓跟隨器[119,124,129]等主動元件實現對非互易躍遷的模擬,通過電路中電壓響應的分布觀測非厄米趨膚效應.目前,利用經典電路已實現對非厄米系統中多種非厄米趨膚效應及相關奇異現象的研究和模擬,包括一維非厄米趨膚效應和傳統體邊對應關系的失效[41,119]、非布洛赫波的演化和廣義布里淵區[127]、高維非厄米趨膚效應[118]、高階非厄米趨膚效應[121,124,128]、多體非厄米趨膚效應[123]、臨界非厄米趨膚效應[125]以及尺寸依賴的非厄米趨膚效應[129]等.

2020年,Helbig 等[41]首次在電路實驗中觀測到傳統體邊對應關系的失效與非厄米趨膚效應的出現.他們研究了一維非厄米SSH 模型,在電路節點間加入INIC 實現對等效的非互易躍遷的模擬,并通過電路的拉普拉斯形式(17)式建立起導納矩陣與SSH 模型的對應關系.他們利用測量節點電壓響應的方法(33)式,對電路中所有節點施加了電流驅動,測量各節點上的電壓響應,觀測到節點上的電壓響應局域在電路的一側邊界,即在該電路中實現了非厄米趨膚效應.次年,Liu 等[119]利用電壓跟隨器構建了具有非互易躍遷的SSH 電路.他們觀察到由傳統體邊對應關系失效引起的電路本征頻率譜的變化.與此同時,他們基于廣義布里淵區的理論對能量纏繞數(13)式進行了計算,驗證了這種新的體邊對應關系.

非厄米趨膚效應本質是一種非布洛赫效應.在經典電路平臺上研究者們已經實現了非布洛赫波的演化及對廣義布里淵區的驗證.2023年,Wu 等[127]構建了如圖7(a)所示的二維電路來觀測非布洛赫動力學.實驗中,他們利用INIC 實現了格點間等效的非互易躍遷,利用傅里葉變換場掃描(Fourier-transformed field scan)的方法對節點的電壓分布進行測量,將其進行拉普拉斯變換(Laplace transform)后得到在廣義布里淵區的分布 [圖7(b)],結果與理論一致.由此驗證了廣義布里淵區在描述非布洛赫動力學上的有效性.

圖7 (a)非布洛赫演化的拓撲電路;(b)實驗測得的電壓分布經拉普拉斯變換后在廣義布里淵區中的等頻分布;(c)四次方根非厄米SSH 模型的電路圖.圖(a)和(b)來源于文獻[127],圖(c)來源于文獻[145].版權屬于美國物理學會Fig.7.(a) Topolectrical circuit for the non-Bloch dynamics;(b) the isofrequency contour of the measured voltage distribution through the Laplace transform in the GBZ;(c) circuit diagram of a 4th-root non-Hermitian SSH model.Subfigures(a) and(b) are adapted from Ref.[127],and Figure(c) from Ref.[145].Copyright ? 2023 and 2022 by the American Physical Society.

人們在經典電路實驗里還研究了更多影響非厄米趨膚效應的因素.2022年,Zhang 等[125]研究了一個由兩條Hatano-Nelson鏈耦合成的類梯子模型.他們在實驗中測量了在開邊界和周期邊界條件下各節點的阻抗,發現當節點數增多到一定程度時,周期邊界的阻抗與開邊界的阻抗比值明顯大于1,進一步表明邊界連接對遠距離的阻抗響應具有非局域的影響,即具有臨界非厄米趨膚效應.

2023年,Su 等[129]在電路平臺上對單向躍遷的格點模型進行了研究.他們利用電壓跟隨器在電路中模擬單向躍遷,并在不同的節點數量下測量了導納譜研究發現隨著節點數目的增多,集中在一側的局域化程度會降低,實現了對尺寸依賴的非厄米趨膚效應的觀測.同年,他們也對非厄米趨膚效應與安德森局域化之間的競爭進行了研究[149].實驗僅采用了線性元件,通過賦予元件冪指數變化的參數值以模擬格點間的非互易躍遷,成功實現了非厄米趨膚效應.在引入準無序后成功觀測到非厄米趨膚效應與安德森局域化的競爭,發現當無序強度足夠大時,本征態從非厄米趨膚相轉變為局域相.類似地,Tang 等[146]基于二維非互易蜂窩(honeycomb)電路對非厄米趨膚效應與角態之間的競爭關系進行了研究.實驗中,他們通過調整INIC里電容的大小以改變非互易強度,并對電路節點的電壓響應進行測量,發現隨著非互易強度的增強,節點電壓會從電路兩端逐漸轉移到同一端,呈現出角態的特征.

隨著對非厄米趨膚效應研究的不斷深入以及經典電路模擬方法的不斷發展,研究者們開始將對非厄米趨膚效應的經典電路模擬推向高維、高階以及多體等更為復雜的系統.2021年,Zou 等[121]基于電路的拉普拉斯形式(17)式,分別建立了電路的導納矩陣與二維格點模型以及三維格點模型之間的對應關系.對雜化高階拓撲趨膚效應(hybrid higher-order topological skin effect)進行了研究.雜化高階拓撲趨膚效應是在高維系統中,由非厄米趨膚效應以及拓撲局域態相互影響所形成的一種拓撲現象[150].實驗中,他們在電路耦合處引入INIC 實現等效的非互易躍遷,繼而測量各節點上的電壓響應分布,通過調整INIC 的連接方向實現不同的雜化方式,觀測到二階雜化趨膚-拓撲效應(即電壓集中分布在二維平面中的一組對角節點)、二階雜化趨膚-趨膚效應(即電壓分布在二維平面中的其中一個角節點上)、三階雜化趨膚-趨膚-趨膚效應(即電壓集中分布在三維立體中的角節點上)以及三階雜化趨膚-拓撲-拓撲效應(即電壓分布在一對平面上的對角節點上).2022年,Deng 等[145]研究了一個一維N次方根非厄米SSH模型 [圖7(c)],其中N的大小可以通過調整原胞內電容電感等元器件的數目實現.實驗中,他們選擇了不同的N對節點電壓進行測量,觀測到電壓分布集中在電路節點的一側,即出現了非厄米趨膚效應,并發現非厄米趨膚效應隨N的增大變得更加明顯.同年,他們還對一個一維三粒子Bose-Hubbard 模型進行了研究[123].他們將此模型的本征態在希爾伯特空間中重新表示為Fock 態的形式后,寫出系統的薛定諤方程,并根據基爾霍夫定律直接構造電路模擬該薛定諤方程.該團隊測量了節點上的阻抗分布,發現阻抗值集中在一個節點上,觀察到了多體系統中由阻抗表征的非厄米趨膚效應,這被稱為非厄米聚集效 應(non-Hermitian aggregation effect).2023年,他們在三維電路系統中基于INIC 設計了一個拓撲開關,也可以用于研究非厄米趨膚效應[138].

2022年,Shang 等[124]研究了一個二維的非互易格點模型,他們在實驗中計算了二維的非布洛赫能量纏繞數,發現由其表征的二階非厄米趨膚效應.2023年,Zhu 等[126]構建了一個具有二階手性的二維電路.他們利用標準電阻引入非厄米項,重構電路格林函數以測量每個節點的電壓響應,觀測到阻抗的響應集中在邊界局域態上,展示了二維二階非厄米趨膚效應.

基于經典電路平臺同樣可以實現互易非厄米趨膚效應.2020年,Hofmann 等[118]通過在二維電路中的對角節點連接電阻引入非厄米,研究了一個具有π-通量的格點模型.實驗中,他們測量并計算了導納矩陣本征矢 [由(20)式定義] 的倒參與率(inverse participation ratio),對動量空間中ky方向上的局域態進行了研究,觀察到在kyπ/2,ky3π/2處的局域化程度最高,與理論預測的非厄米π-通量模型呈現出互易趨膚效應時的特征相同.

4.3 其他非厄米拓撲態

在用經典電路模擬非厄米趨膚效應的同時,人們也對其他非厄米拓撲物態進行了模擬,包括單純由增益/耗損誘導的非厄米拓撲態[74]、非厄米連續譜中的束縛態(bound state in the continuum)[144]、雜化高階趨膚拓撲態[121]、高階拓撲角態[122,127]、N 次方根拓撲相[145]、二階手性系統中的拓撲態及動力學[126]、非厄米拓撲開關[138]以及非厄米Hopf束[128]等.

2020年,Liu 等[74]首次實現了單純由增益/損耗誘導的一維非厄米拓撲模型 [圖8(a)].他們在電路 [圖8(b)] 中引入INIC 實現等效負電阻,通過調控接地電阻R0以及代表增益(損耗)的正(負)電阻R1(R2),可觀測到不同的拓撲相.同年,Li 等[144]利用電路研究了一個由兩條SSH 鏈耦合構成的梯子模型,在兩條鏈之間引入耦合電阻使其變成非厄米模型.實驗中,他們測量了特定節點上的阻抗隨輸入頻率的變化,發現阻抗的峰值處于特定頻率,對應于非厄米連續譜中的束縛態.

圖8 (a)單純由增益/損耗誘導的非厄米拓撲模型;(b)實現(a)中模型的電路圖.圖均來源于文獻[74],版權屬于美國物理學會Fig.8.(a) A non-Hermitian topological model whose topology is purely induced by gain/loss;(b) circuit diagram for the realization of the model in(a).All figures are adapted from Ref.[74] with the copyright ? 2020 by the American Physical Society.

2021年,Zou 等[121]設計了一個二維格點模型,對雜化二階趨膚-拓撲態進行了研究.實驗中,他們設計了3 種不同的INIC,并通過改變節點間INIC 的連接方向實現對趨膚-趨膚和趨膚-拓撲兩種態的模擬.通過測量不同輸入頻率下電路節點的電壓響應,觀測到在雜化二階趨膚-拓撲或趨膚-趨膚情況下的角態、邊緣態以及體態.雜化趨膚-拓撲態可被用于拓撲開關的設計上[151],可以通過控制電路內的能量傳遞實現對趨膚效應的“開關”[121].2023年,Zhang 等[138]在電路實驗中實現拓撲開關.他們在節點間連接INIC實現對非互易躍遷的模擬,觀測到在三維系統中趨膚-拓撲-趨膚效應以及趨膚-拓撲-拓撲效應之間的轉變,表明利用INIC 設計拓撲開關的可行性.

2022年,Wu 等[43]在研究非厄米二維電路的基礎上,設計了一個模擬二階拓撲絕緣體的二維拓撲電路 [圖9(a)][122].實驗中,他們通過電阻引入非厄米項,并調整兩種電阻的大小關系以誘導不同的拓撲態.通過對電路本征頻率以及節點電壓響應的測量,他們觀察到帶隙中的一維邊緣態 [圖9(b)]以及零維角態 [圖9(c)].此外,他們還測量了在電路的角態、邊緣態和體態的阻抗響應隨驅動頻率的變化 [圖9(d)].

圖9 (a)非厄米二階拓撲電路的原胞示意圖;(b)能隙間的一維邊緣態,彩色和圓圈分別表示實驗測量和理論計算的結果;(c)實驗測量的零維角態的電壓分布;(d)實驗測量的角態、邊緣態和體態的阻抗響應隨驅動頻率的變化.圖均來源于文獻[122],版權屬于美國物理學會Fig.9.(a) Circuit diagram of a unit cell of the non-Hermitian second-order topological electric circuit;(b) one-dimensional gapped edge states,where the color map and the blue circles represent the data from the experiment and the theoretical calculation,respectively;(c) experimental voltage distributions of the zeroth dimensional corner states;(d) experimental impedance responses of corner states,edge states,and bulk states to the driving frequency.All figures are adapted from Ref.[122] with the copyright ?2022 by the American Physical Society.

2023年,Zhu 等[126]構建了一個具有二階手性的二維電路.他們利用標準電阻引入非厄米項,觀測到阻抗響應局域在電路節點平面的角、邊和體三種情況,分別表征二階手性二維格點模型中的角態、邊緣態和體態.

4.4 EP 在傳感器上的應用

EP 在傳感器上的應用與PT 對稱破缺的實驗研究密切相關.實現EP 傳感器的電路一般也采取PT 對稱二聚體電路[114,115,132,140,142]或三聚體電路[116,152]的結構.實驗中通常采用測得的反射譜(reflection spectra)來對傳感器的靈敏度進行表征[116,132,140,142,152],反射譜的響應越大,即反射譜曲線中波谷所處位置越深 [圖10(b)],傳感器越靈敏.

圖10 (a)傳統的被動無線傳感器與基于PT 對稱性的被動無線傳感器的電路圖;(b)基于PT 對稱性的被動無線傳感器的反射譜的測量結果;(c)具有PT 對稱性的三階無線傳感器的電路圖.圖(a)和(b)來源于文獻[132],圖(c)來源于文獻[152],版權屬于美國物理學會Fig.10.(a) Circuit diagrams of a conventional passive wireless sensor and a PT-symmetry-based passive wireless sensor;(b) measured reflection spectra for the PT-symmetry-based passive wireless sensor;(c) circuit diagram of a PT symmetric third-order wireless sensing system.Subfigures(a) and(b) are adapted from Ref.[132] and subfigure(c) from Ref.[152],with copyright ? 2020 and 2022 by the American Physical Society.

2018年,Chen 等[140]成功將EP 應用于無線壓力傳感器(wireless pressure sensor)中,該傳感器通過電容的阻值對壓力進行表征.在增益電路中,他們改用了可以調參的電感與損耗電路進行耦合,由此實現了更一般情況下的PTX 對稱電路,這里的X 表示一種互易的標度操作(reciprocalscaling operation).實驗中,他們選擇EP 附近和非EP 處的多個不同耦合強度來對反射譜進行測量與對比,觀測到在相同頻段內,選在EP 附近的耦合強度,反射會更強,由此表明EP 可以增強傳感器的靈敏度.在實際壓力傳感測試中,實驗人員利用VNA 分別對PTX 電路、PT 電路以及未應用EP 的普通傳感器的反射譜進行了測量,在相同的頻段內,PTX 電路和PT 電路都可以增強反射.由于PTX 電路相比于PT 電路具有不同的電路特征模式,可以放大特定頻率的反射系數,具有更大的操作空間.

2019年,Dong 等[114]在動物表皮層植入用于測量生物體征(壓力,溫度等)的傳感器,并利用讀取器對感應頻率的偏移進行了測量,通過頻率偏移變化曲線對測量的物理量進行表征.實驗觀測到,隨耦合強度變化的頻率偏移在EP 附近明顯增高.該團隊將基于EP 設計的傳感器的靈敏度提升至當時極限的3.2 倍.2020年,Zhou 等[132]比較了傳統的被動無線傳感器與基于PT 對稱性的被動無線傳感器在靈敏度上的差別 [圖10(a)],根據實驗中VNA測得的反射譜 [圖10(b)],在增大傳感器距離的同時,響應仍然能夠保持在較強的范圍內,即EP 可提升傳感器的控制距離.2021年,Zeng 等[116]將三階EP 應用到傳感器中,設計了一個三線圈耦合的電路.與二階EP 傳感器相比,實驗測得的反射譜反映出高階EP 對靈敏度的增強更為顯著.2022年,Yin 等[142]利用運放在增益側實現了等效的負阻抗,進而設計了一個不需要引入VNA 的無線傳感器.得益于運放的非線性飽和效應,該傳感器可以通過觀測讀取器對電容的阻值進行實時讀出.同年,他們在二聚體電路的基礎上加入了一個由電感與可變電容構成的振蕩電路,設計了一個三聚體電路 [圖10(c)][152].相比于二聚體電路,三聚體電路測得的反射譜具有更強的響應.選取多組阻值的電容進行實驗,三聚體電路測得的反射譜穩定在較強的響應區間,比二聚體電路具有更高的品質因子(Qfactor).

SSH 電路同樣可應用在EP 傳感器上.2023年,Yuan 等[139]在實驗上采用具有非互易躍遷的SSH 模型作為平臺設計傳感器,原胞內通過電壓跟隨器實現格點間的非互易躍遷.該傳感器根據電容的阻值以及測得的頻率偏移可以對位置、角度以及水位變化高度等物理量進行表征.

非厄米系統中的增益和損耗不可避免地會引入噪聲[153].最近,研究者們注意到在利用EP 傳感器進行信號放大的過程中往往伴隨著噪聲的增強,因此亟待解決的問題是如何提高EP 傳感器的信噪比.噪聲增強的來源可分為兩種:一是物理上的,來源于產生EP 過程中本征矢的重合;另一種是技術上的,來源于EP 傳感器實現中的放大機制[154].物理學家嘗試從多個角度解決噪聲對EP 傳感器的影響.理論上,Langbein[155]在2018 年討論了EP 傳感器的量子有限信噪比與擾動,Zhang 等[153]在2019 年提出計算EP 傳感器信噪比的量子噪聲理論;實驗上,Kononchuk 等[154]在2022 年設計了PT 對稱式的機電EP 傳感器等.

5 總結

本文通過簡單介紹非厄米物理的基本理論和新奇現象,結合經典電路模擬的理論基礎,概述了當下經典電路模擬非厄米格點模型的實驗進展.目前的實驗進展主要涵蓋對PT 對稱破缺、非厄米趨膚效應以及各類新奇非厄米拓撲物態的經典電路模擬.實驗的模擬對象也從簡單的一維單體格點模型逐漸推廣至高維多體等更復雜的格點模型.此外,基于經典電路對非厄米新奇效應的應用也是重要的研究方向,比如高靈敏度的EP 傳感器等.相比于量子模擬平臺的高技術門檻,經典電路的低成本、易擴展等特點使其成為模擬和研究豐富的非厄米新奇現象的首選平臺,表現出廣闊的研究和應用前景.