正負電子對撞中類底夸克偶素的線形*

葉全興 何廣朝 王倩?

1)(華南師范大學量子物質研究院,原子亞原子結構與量子調控教育部重點實驗室,廣東省高等學校物質結構與相互作用基礎研究卓越中心,廣州 510006)

2)(華南師范大學南方核科學計算中心,粵港量子物質聯合實驗室,廣東省核物質科學與技術重點實驗室,廣州 510006)

在重夸克自旋對稱性下構造量子數為 JPC=1-- 的P波有效相互作用勢,代入李普曼-史溫格方程求得e+e- →的散射振幅,發現對應的散射截面可以解釋現有的實驗數據.研究發現底夸克偶素的質量移動很小,主要是由于底夸克偶素和道的有效耦合比較小.因此,e+e- →截面上的峰結 構主要是 Υ(4S),Υ(3D),Υ(5S)和Υ(6S) 的貢獻.能量在 10.63 GeV 處的窄峰 值結構需要實驗 上進一步細致掃描和理論上擬合公式的優化.

1 引言

強相互作用是自然界中四種基本相互作用之一,是將夸克和膠子形成色單態強子的最主要相互作用.描述強相互作用的基本理論是量子色動力學,其低能色禁閉的性質決定實驗上能直接觀測到的粒子都是色單態的強子,因此,研究強子的內部結構和性質是理解強相互作用最重要的手段之一.1964年,蓋爾曼[1]提出強子是由更基本粒子(稱為夸克(quark))所組成.同年,茨威格[2]在他的書中也提出相同的概念,并將這種基本粒子命名為“aces”.這些概念的提出也標志著夸克模型的建立.

夸克模型將強子分為介子和重子,介子由夸克和反夸克構成,重子由3 個夸克構成.另一方面,量子力學色動力學的色禁閉性質允許除上述兩種構型外的其他色單態強子(即多夸克態)的存在.因此,高能實驗物理學家致力于尋找多夸克態.直至2003年,實驗上發現第一個奇特強子態候選者X(3872)[3]的信號,打開了實驗上研究奇特強子態的大門.迄今為止,實驗上發現了幾十個超出傳統夸克模型的奇特強子態候選者,它們內部結構有多種解釋:強子分子態、三角奇異性帶來的運動學效應、緊致多夸克態、混雜態等[4-14].這些奇特強子態的候選者多數都有比較鄰近的閾值,因此,有可能是強子分子態的候選者[8],或者是三角奇異性帶來的運動學效應[12],例如正負電子對撞中發現的Y(4260) 與的閾值比較接近,可以作為的強子分子態候選者.Y(4260) 的的強子分子態圖像可以很好地解釋相關的實驗數據[15-28],并且預言新的重夸克自旋對稱性伴隨態粒子[29-33].閾值在正負電子對撞中有重要貢獻,主要是因為粲夸克系統具有明顯的重夸克對稱性破壞效應[17,27].這也說明底夸克偶素能區正負電子對撞過程中,閾值效應沒有粲夸克偶素能區中閾值作用貢獻重要.另一方面,BelleII 實驗組在正負電子對撞的底介子對產生截面中,在閾下沒有發現明顯的共振態信號[34].與粲偶素能區物理不同,底夸克偶素能區重夸克對稱性比較好保持.因此,閾值在底夸克偶素能區正負電子對撞過程中產額不大,所對應的閾值效應不重要.閾值效應是否明顯一方面取決于對應道在所研究過程中的產額是否足夠大,另一方面取決于閾值對應的兩個或多個強子的總寬度是否足夠小.因此,研究底夸克偶素能區正負電子對撞過程中的截面,窄共振態的閾值效應起主要作用.本文主要在重夸克對稱性下研究底夸克偶素能區正負電子對撞過程中的閾值效應,以及由于它們之間的相互作用是否可以形成對應的強子分子態.

2 理論框架

重夸克極限下,量子色動力學拉氏量可以按照重夸克質量的倒數進行展開.領頭階的拉氏量不依賴于重夸克的自旋和重夸克的質量,即具有重夸克自旋對稱性和重夸克味道對稱性.這兩種對稱性是研究含有重夸克系統的重要手段.本文將利用重夸克自旋對稱性,研究底夸克偶素能區正負電子對撞到B 介子對的產生截面,以揭示可能的類底夸克偶素態.

2.1 有效勢

重夸克自旋對稱性下,重輕介子的動力學性質取決于輕自由度.因此,S 波的(或)介子的輕自由度完全由反輕夸克(輕夸克)承擔,S 波贗標介子B 和矢量介子 B*構成輕自由度sl1/2-的重夸克自旋二重態(B,B*).由于正負電子湮滅為一個虛光子,具有JPC1--量子數.因此,具有JPC1--的量子數的 P 波才能在正負電子對撞中產生.為構造 P 波的有效相互作用勢,首先考慮 P 波的重輕分解,

為了簡化式子,上面等式右面省略了下角標 1--.由于重輕分解的變換是幺正變換,因此這些波函數是正交歸一的[36].下標 1--表示正負電子對撞中產生的B 介子對的量子數JPC.上標s0,s2表示兩強子系統的總自旋.這四個道分別用拉丁指標i,j=1,2,3,4 表示.

低能情況下,C0,C1,C2視為常數.根據上述定義,雙B 介子系統在量子數為 1--的接觸勢為

因為 4×4 的接觸勢是對稱矩陣,所以此處只給出上半對角的矩陣元.原則上,在能量區間比較大的情況下,即動力學道對應的三動量可以和π 介子質量相比時,需要引入單π 交換勢.但是文獻[37-40]中對強子分子態的研究表明,引入單π 交換勢時的物理性質與只考慮接觸勢時的物理性質基本一致,因此,本文計算只考慮接觸勢的貢獻.

實驗上測量的質心系能量在[10.55,11.03]GeV之間,夸克模型的計算表明此能量區間可能存在4 個裸態[41],分別是 Υ(10580),Υ(10753),Υ(10860),Υ(11020).目前這4個態的性質是Υ(10580) 為Υ(4S),Υ(10753) 看作Υ(3D)與Υ(4S,5S) 的混合[42],Υ(10860)和Υ(11020) 則分別看作是Υ(5S)和 Υ(6S)[41,42].因此,4 個裸態在本文中分別為 Υ(4S),Υ(3D),Υ(5S),Υ(6S).并用希臘指標α,β=1,2,3,4 來表示.重夸克極限下S和D波的底夸克偶素分別耦合到|1?0〉,|1?2〉的重輕基,耦合強度分別定義為

綜上所述,以上8 個衰變道的勢能矩陣可以寫成如下的形式:

其中Vo是4 個開放道對應的勢能矩陣,Vob是裸態與的耦合矩陣,Vbo矩陣是Vob 矩陣 的轉置.

2.2 李普曼-史溫格方程

由于本文所考慮的有效勢是常數,因此李普曼-史溫格方程可化簡為矩陣形式的代數方程:

由于存在8 個衰變道,因此T,V,G均為8×8的矩陣,不妨將T矩陣改寫成四塊 4×4 的矩陣,表示為

類似地,G矩陣可以改寫為兩塊對角矩陣:

其中Gpdiag(G1,G2,G3,G4),Sdiag(S1,S2,S3,S4).兩體傳播子

其中mα為第α個裸態的質量.

由于裸態間的躍遷勢為零,李普曼-史溫格方程可以寫為兩組 4×4 維的方程組,

第二部分為

將(10)式代入(9)式得:

定義有效作用勢為

類似地,可以得到其他的散射矩陣元.

2.3 物理產生振幅及散射截面

相關的8 個道的裸頂點產生振幅定義為

其中fα(α1,2,3,4)是虛光子和相應的底夸克偶素之間的耦合常數,可以通過以下公式進行計算[43]:

fα即為(17)式中的e/fV,αe1/137 是精細結構常數,ΓV→e+e-是矢量介子衰變到 e+e-的衰變寬度,pe是末態電子的三動量.Fi是虛光子和第i個開放道的耦合常數,可以參數化為

物理產生振幅可以通過求解矩陣方程:

獲得.將列矩陣F進行分塊,表示為

相應地,將列矩陣U進行分塊,表示為

求解上述方程可獲得:

將(25)式移項化簡得:

相應的散射振幅的模方為

(29)—(32)式中角度的貢獻在文獻[36]中有較為詳細的討論.第i個開放道的微分散射截面為

將(29)—(32)式代入(33)式,對θ從0 到π 積分,即可得到相應開放道的散射截面:

通過擬合實驗上 e+e-→過程中的反應截面提取模型中的參數,并進一步提取感興趣的物理信息.

3 數值結果與討論

具體的數值計算結果表明,上一節的截面公式可以很好地解釋BelleII 合作組最新的截面數據[34],如圖1 所示.理論計算結果(圖1 中藍色實線)穿過大部分實驗數據點,證明此圖像可以很好地解釋實驗數據.擬合得到的模型參數如表1 所列.

表1 擬合參數和約化卡方Table 1.Fitted parameters and the corresponding reduced χ2.

具體擬合過程中發現參數C0與參數g4S,g5S,g6S,的關聯性比較強.這是由于上述參數都與重輕自由度|1?0〉耦合,因此,其中一個參數的變化可以被其他參數吸收.同理,由于參數C2與參數g3D,都可以耦合到|1?2〉重輕自由度,因此,它們的關聯性也比較強.

其中低能有效耦合常數C0,C1,C2的數值大小處于同一個量級,滿足有效場論對同一階參數的要求.4 個底夸克偶素的裸質量位置與截面上峰值的位置偏移較小,他們的偏移是由耦合道效應導致的,由于其耦合強度較小(如表2 所列),導致偏移較小,即 Υ(4S),Υ(3D),Υ(5S),Υ(6S) 的裸質量分別是(10.468±0.043)GeV,(10.856±0.004)GeV,(10.830±0.011)GeV,(11.024±0.008)GeV.這4 個裸態在圖1的3 個反應道的截面上都有所反應,即在圖1(a)中,分別對應質心系能量在 10.58,10.87和 11.03 GeV 處的峰值.其中 10.87 GeV 處的峰值是由 Υ(3D),Υ(5S) 共同效應導致的結構.由于運動學相空間效應,質心能量在 10.63 GeV 處的尖峰只在 e+e-→,e+e-→過程的截面中有所體現.此尖峰結構主要由這兩個反應過程中10.63 GeV附近兩個實驗數據點決定,統計顯著性不高.當進一步考慮實驗分辨率的效應,上述尖峰將變得平滑.Υ(3D),Υ(5S),Υ(6S) 在e+e-→和 e+e-→反應過程中均有所體現,即對應10.85和11.02 GeV 附近的峰.擬合對應的極點位置和主要耦合道及其耦合強度列在表2 中.從表中可以看出,所有極點與B 介子對的耦合強度比較小,截面上的峰值結果均是由重夸克偶素導致的.

表2 物理黎曼面 R+++,離物理黎曼面近的黎曼面 R-++,R-+,R--- 上的極點(第2 列)和主要耦合道及其有效耦合常數(第3 列)Table 2.Poles on the physical sheet R+++,those R-++,R-+,R--- close to the physical one(the second column),the dominant channel with the corresponding effective coupling(the third column).

4 總結與展望

BelleII 國際合作組測量了 e+e-→的散射截面實驗數據,并且通過高階切比雪夫多項式對實驗數據進行了擬合.本文在重夸克自旋對稱性下,構造量子數為JPC1--的P波散射勢,代入李普曼-史溫格方程,并通過代數求解李普曼-史溫格方程得到物理散射振幅,進而求出e+e-→過程的散射截面.通過擬合BelleII的實驗數據發現,底夸克偶素 Υ(4S),Υ(3D),Υ(5S)和 Υ(6S) 在隨質心能量依賴的線形中體現為 10.58,10.87和11.03 GeV 處的峰值.其中10.87 GeV峰值是由 Υ(3D)和Υ(5S) 兩個底夸克偶素共同作用的結果.質心能量在 10.63 GeV 處的峰值附近只有兩個能量點,此處峰值的性質一方面需要實驗上進一步細致掃描,另一方面需要理論公式中考慮實驗上的分辨率并且做Bin-by-Bin 擬合.因此,為進一步確定 10.63 GeV 附近底夸克偶素的性質,需要實驗上在此能區內做進一步細致掃描.

感謝電子科技大學杜孟林教授的早期工作和討論.