以縱向求聯(lián)統(tǒng)整數(shù)學教學的整體性與一致性
——人教版數(shù)學教材三年級下冊“稍復雜的組合問題”教學實踐與思考

浙江金華市南苑小學 （321004） 特級教師 吳志堅

《義務教育數(shù)學課程標準 （2022 年版）》指出數(shù)學課程內(nèi)容的一大特點就是整體性，這是教學實踐中應當突出的核心內(nèi)容，要求呈現(xiàn)不同數(shù)學知識之間的實質性關聯(lián)，展現(xiàn)內(nèi)容與觀念之間的融合，體現(xiàn)課程內(nèi)容的整體性。鄭毓信教授提出數(shù)學教學中“求聯(lián)”的觀點，即用聯(lián)系的觀點對學習目標、學習程序、學習內(nèi)容、學習方法等數(shù)學學習中的諸多元素進行組合與排序，形成單向或多向的線性和網(wǎng)狀認知建構，實現(xiàn)學生知識結構的掌握和思維品質的提升，這和《義務教育數(shù)學課程標準 （2022 年版）》對數(shù)學課程整體性與一致性的要求相符合。在以往的數(shù)學課堂中，教師多以橫向求聯(lián)的觀點進行教學，雖然橫向求聯(lián)重視知識的結構性和關聯(lián)性，從單向呈現(xiàn)走向多向關聯(lián)，但是容易出現(xiàn)學生被動關聯(lián)、形式關聯(lián)等問題。相比于知識簡單積累的橫向求聯(lián)，縱向求聯(lián)更加重視在教學中通過具有遞進關系的對象，將其系統(tǒng)化聯(lián)系，以提煉對象之間的本質特征，這對完善學生的認知結構和提升其思維水平、實現(xiàn)數(shù)學教學的整體性與一致性更有優(yōu)勢。

為引導學生經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，建立生活與數(shù)學以及不同數(shù)學知識之間的聯(lián)系，體會數(shù)學知識的本源性、一致性與整體性，筆者在“稍復雜的組合問題”一課教學中，基于縱向求聯(lián)展開了一系列的思考與實踐。

【課前思考】

“稍復雜的組合問題”是人教版數(shù)學教材三年級下冊“搭配 （二）”第三課時的內(nèi)容，屬于排列組合知識范疇。排列組合知識在日常生活中應用廣泛，其思維方式也與二年級上冊中有序思考、連線表示、用不同數(shù)字組合多位數(shù)的知識和思考問題方式有關，同時也為后續(xù)統(tǒng)計與概率知識的學習奠定基礎。本節(jié)課圍繞“找出四支球隊的比賽 （每兩隊賽一場）次數(shù)”這一生活實際中的問題，讓學生在初步感知排列組合知識的基礎上，通過更簡潔、更抽象的表達方式，掌握稍復雜的組合問題中所包含的抽象的排列組合知識，進一步發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、運算能力和推理能力，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升。

但是，在以往的教學實踐中也發(fā)現(xiàn)了一些問題：大多數(shù)學生無法用數(shù)學方式表達思考過程和呈現(xiàn)解決問題的結果，缺乏有序和全面思考問題的能力，如學生較少運用圖解法、列表法等簡潔的數(shù)學思維方法解決問題。一方面，相較于直接數(shù)的方法，運用圖解法、列表法等數(shù)學思維方法相對煩瑣；另一方面，學生缺少對數(shù)學思維方法的元認知。同時，還有一部分學生會直接用列算式的方法來解決問題，并且能解釋算式的原理。另外，學生知識基礎和思維水平的參差不齊，也給本節(jié)課教學帶來了一定的挑戰(zhàn)。在解決實際問題過程中，如何運用抽象的、多樣化的解題方法，如排除法、列舉法、連線法、列表法等，引導學生有序思考，清晰、有條理地闡述自己的想法？如何引領學生在橫向、縱向比較各種方法中尋找聯(lián)系，體會到“思維層次有別，但方法相通、意義相同”呢？讓學生的數(shù)學思維有所發(fā)展是本節(jié)課教學的重點，且學生在解題方法上的梳理、比較、反思、深化，對他們后續(xù)的數(shù)學學習也起到積極作用。

基于以上思考，將本課的教學目標制訂如下。

1.結合生活實例，理解“比賽場次”這一類稍復雜的組合問題，并能運用連線、畫圖、列表等方法解決問題。

2.經(jīng)歷解決“比賽場次”問題的探索過程，進一步學會從整體出發(fā)，形成有序、合理的數(shù)學思維方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

3.通過問題解決，感受到數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，在問題解決的過程中，體會生活數(shù)學與抽象數(shù)學之間的一致性。

【課堂實錄】

以解決“比賽場次”問題為主線展開：四人小組，一個人要比幾場→每個人分別比幾場→整個小組共賽幾場→交流、分析方法→五人小組一共握手幾次→9人拍照一共幾張 （優(yōu)化）。

一、前設鋪墊：游戲激趣，喚醒經(jīng)驗

（一）課前游戲，激活經(jīng)驗

游戲要求：四人小組友好握手，每兩人握手一次，相互道“你好”。

師： （隨機采訪學生）你握了幾次手？

……

【設計意圖】采用課前游戲的方式，讓學生在握手中感受每人握幾次，為后續(xù)的學習積累原始經(jīng)驗。同時，讓學生對“比賽場次”這樣的組合搭配模型有初步感知，體會數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，為尋找生活中的模型做好準備。

（二）回歸生活，提出問題

師：學校舉行乒乓球比賽，小方、小王、小李、小林分到同一個小組，要求每兩人進行一場比賽。面對這樣的信息，你能提出什么問題？

生1：小方在小組賽中要打幾場？

生2：整個小組共賽幾場？

大屏幕呈現(xiàn)：小方、小王、小李、小林參加乒乓球比賽，被分到同一個小組，要求每兩人進行一場比賽。小方在小組賽中要打幾場？整個小組共賽幾場？

……

【設計意圖】教材提供的“三年級4個班進行足球賽”這一學習素材，雖然具有很強的現(xiàn)實性，也貼近學生的實際生活，但是在解決問題的過程中，學生傾向于直接用數(shù)學序號代表班級，無法更好地體會符號代表的簡潔性。因此，選擇具有相同模型的乒乓球比賽問題，并通過握手游戲的鋪墊，幫助學生更好地理解情境中的問題。

二、分析思考：解決問題，方法多樣

（一）初步探索，解決問題

師：小方在小組賽中要打幾場？你能在紙上表示出來嗎？

（學生獨立思考，教師巡視，選擇部分學生的作業(yè)在大屏幕上展示，預計學生會出現(xiàn)以下方式）

生l：小方——小王，小方——小李，小方——小林。

生5：4-1=3 （場）。

師： （問生1）你在每兩人之間畫一條橫線，表示什么意思？

生1：在小方和小王之間畫一條橫線，表示小方和小王要打一場比賽。因此，三條橫線就表示小方要打三場比賽。

師：用一條短橫線表示兩個人打一場比賽，非常好。

師： （問生3）這里的A、B、C、D表示什么意思？

生3：A表示小方，B表示小王，C表示小李，D表示小林。

師：同學們，你們覺得他的表示方法好嗎？好在哪里？

生6：簡潔、方便。生4用數(shù)字表示四位同學，也很簡便。

師：在解決問題的時候，用字母、符號表示具體的事物簡潔方便。

師：我對生5的方法很感興趣，請這位同學來介紹一下自己的想法。

生5：因為小方不用跟自己比賽，而是跟另外三人比賽，所以減去1，就是減去小方與自己比賽的場數(shù)。

師：是的。自己不能跟自己比賽，應該減去1。

師： （指著前四種方法，最后停在生2的方法上）大家看，這四種方法在表示的時候都有一個優(yōu)點，你們覺得是哪一點？

生7：都是先從小方開始思考，再從小王到小李，最后到小林，非常有順序。

師：是啊！有序思考是一個非常好的思維品質，希望大家都能具備。

……

【設計意圖】對于“一個人比賽幾場？”的問題，學生能順利解決，但由于他們的生活經(jīng)驗與知識基礎存在差異，所以解決問題的方法在具體表現(xiàn)形式上也會不同。展示學生在獨立思考中產(chǎn)生的不同方法，既讓學生體會到方法的多樣化，又體會到多樣化方法之間的共性；既讓學生體會到有序列舉的優(yōu)勢，為一些知識基礎相對薄弱的學生理解和解決后繼問題打下基礎，又通過解讀一些特殊的方法，消除學生的困惑，有助于學生形成自己的解題方法。

（二）制造沖突，引出問題

師：大家剛才都關心小方，現(xiàn)在來關心一下另外三位隊員。在整個小組賽中，小王、小李和小林分別要打幾場比賽呢？請學著生2的表示方法，交流匯報。

師：我們看到，小方要比賽3 場，小王要比賽3場，小李要比賽3 場，小林也要比賽3 場，那整個小組賽打完共要多少場？

生11：12場，三四十二。

生12：不對，有重復，沒有12場。

師：請用自己喜歡的方式來解決“四人小組比賽完共需幾場”的問題，要求不重復。

……

【設計意圖】對于“四人小組比賽完共需幾場”的問題，學生會出現(xiàn)分歧。通過引導學生發(fā)現(xiàn)矛盾所在，引發(fā)學生進一步思考問題解決的策略。

三、縱向求聯(lián)：對比交流，深化思維

（一）獨立思考，呈現(xiàn)方法

（學生獨立思考，教師巡視，選擇各種方法呈現(xiàn)在黑板上，按一一列舉法、連線法、圖式法、算術法等分類，同時預計學生可能會出現(xiàn)以下解題方法）

生4：3+2+1=6 （場）。

生5：3×4=12 （場），12÷2=6 （場）。

生6：3×4=12 （場），12-3=9 （場）。

（列表較復雜，估計列表法不可能有學生運用）

（二）交流想法，獲得啟發(fā)

師： （在學生獨立思考后）現(xiàn)在同學們都已經(jīng)有了自己的想法，請把自己的想法跟旁邊的同學進行交流。

（三）分析梳理，博采眾長

師：解決問題的方法有很多，如生1采用一一列舉的方法，生2用連線表示的方法，生3用圖示的方法，后面幾位同學用列算式的方法，我們還可以用列表法來解決問題。 （在相應方法的后面板書：一一列舉法、連線法、圖示法、算式法、列表法）我們先請生1上前來介紹他的方法。

生1： （指著板書）小方和小王、小李、小林比賽3場；到小王的時候，由于已經(jīng)和小方比賽過了，所以與小李、小林比賽2 場；到小李的時候，由于已經(jīng)和小方、小王都比賽過了，所以只要和小林比賽1 場；最后，小林和另外三位都比賽過，就不用畫出來了。

師：他匯報時有一個優(yōu)點，就是已經(jīng)比賽過的場次不重復表示了。

師：接下來，請生2上前來介紹他的方法。

生2： （指著板書）寫數(shù)字方便，所以用①②③④分別表示小方、小王、小李、小林。先是①和②、①和③、①和④共比賽三場，然后是②和③、②和④比賽兩場，最后是③和④比賽一場，總共比賽6 場。我也和生1一樣，已經(jīng)連線過的比賽場次就不重復連線了。

師：生2用四個數(shù)字表示四位同學，非常簡便；同時，用連線表示一場比賽，很清晰。

師：接下來，請生3上前來介紹他的方法。

生3： （指著板書）我是用字母A、B、C、D 分別表示四位同學，中間用直線連接，表示兩個人進行一場比賽。首先連線AB、AC、AD，共三場；然后連線BC、BD，共兩場；最后連線CD，一場。

師：為了讓大家看得更清晰，老師用三種顏色的粉筆再描繪一遍生3說的連線。

師：還有同學用一個算式就表示出了比賽場次，請他也上來介紹自己的方法。

生4：3 表示小方跟小王、小李、小林比賽了三場，2 表示小王跟小李、小林比賽了兩場，1 表示小李跟小林比賽了一場，所以一共比賽了6場。

師：你在介紹自己方法的時候，眼睛卻看著別人的圖示法，那能借著別人的圖示，再介紹一遍你的方法嗎？

生4： （借用生1的圖示）3 表示小方跟小王、小李、小林比賽了三場，2 表示小王跟小李、小林比賽了兩場，1 表示小李跟小林比賽了一場，所以一共比賽了6場。

師：你是最厲害的同學！你能借用別人的圖示來解釋自己的方法，非常棒！

師：再看生5列出的算式，大家能看懂嗎？請生5上前來介紹一下。

生5：3×4=12 （場），因為每個人在小組賽里比賽3場，一共4個人，就是4個3。可是，這12場里有一半是重復的，所以除以2，即4個人一共比賽了6場。

師：現(xiàn)在請生6上前來介紹一下自己的方法。

生6：我聽了別人的方法后，知道自己的方法錯了，應該列式為3×4=12 （場）、12-6=6 （場），因為12場比賽里面有6 場是重復的，所以要把重復的6 場減去，而不是減3。

（四）介紹表格，引入新法

師：大家知道實際生活中是用什么方法表示比賽場次的嗎？ （呈現(xiàn)表1）請看——

表1 比賽場次

師：能看懂這個表格的意思嗎？不明白的地方請?zhí)釂枴?/p>

生7：為什么中間要用斜線？

師： （指著“小方，小方”一格）為什么這一格要用斜線？誰能告訴他？

生8：小方不用和自己比賽。

師：那別的格子也用斜線，表示什么意思？

生9：小王也不用和自己比賽，以此類推。

師：哪位同學的心里還有疑問？

生10：為什么有些格子空著？

師： （指著其中一個空格“小王，小方”問）為什么這一格要空著？

生11：因為在下半個表中已經(jīng)填寫了 （小方，小王），上面如果再填 （小王，小方）就重復了，所以要空著；其他空著的格子也是這個原因。

師：那空著格子多浪費啊！比賽時，空著的一格用來記錄兩個人的比賽結果。所以，比賽時往往使用表格來呈現(xiàn)比賽場次。這樣既呈現(xiàn)了場次，又可以記錄比賽結果，一舉兩得。

……

【設計意圖】根據(jù)之前的調查，學生采用列表法解決問題的概率比較小，但在實際的體育比賽中卻普遍應用。通過這一環(huán)節(jié)，引導學生了解并學會解讀列表法；同時，從身邊的體育比賽拓展到生活中的體育比賽，意在溝通解題方法和情境、生活實際之間的聯(lián)系。

（五）歸納比較，求同存異

師：剛才我聽見有同學在下面悄悄說：“這些方法都差不多的。”請你找一找，方法與方法之間有什么地方是相同的？

生12：都是小方先和小王比，再和小李、小林比，共3場；然后是小王和小李比，再和小林比，共2場；最后是小李和小林比，只有1場。重復的6場或者不管，或者減去。

師：是啊！剛才有同學還能借別人的圖示，來解釋自己算式里每個數(shù)字的意義，就是因為方法差不多。

……

【設計意圖】通過比較梳理，回顧方法的解讀過程，學生能夠發(fā)現(xiàn)這些不同的方法其實都是在列舉，其本質是一樣的。這樣，學生體會到不同知識與思考方式之間的聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)學元認知的縱向求聯(lián)。

（六）總結揭題

師：剛才，我們運用多種方法解決了“比賽場次”的問題，你有什么收獲？ （學生回答略）

師：讓我們運用這些方法，解決生活中與“比賽場次”類似的數(shù)學問題。

四、課尾練習：應用遷移，鞏固提升

（一）握手問題，檢驗所學

1.呈現(xiàn)問題。

師：記得課前同學們都在小組里進行了友好的握手游戲嗎？有一個小組比其他小組多一人，也就是有5 位同學。每2 位同學之間握手一次，那5 位同學一共握了幾次手？請選擇自己喜歡的方法得出結果。 （學生思考）

2.匯報交流 （選擇三種方法在展示臺上展示）。

生3：4+3+2+1=10 （次）。

師：請你借用同學的圖示，解釋一下自己算式的意思。

生3：4 表示第1 位同學分別與另外4 位同學握手的次數(shù)，3 表示第2 位同學分別與另外3 位同學握手的次數(shù)，2 表示第3 位同學與另外2 位同學握手的次數(shù)，1表示最后剩下的2位同學握手的次數(shù)。

（二）合影問題，拓展提升

師：“五一”勞動節(jié)，老師與8 位同學相約去金沙灣水廠參觀，因多年未聚，我們9人準備每2人合影留念一張。請問，我們總共拍幾張照片？ （學生獨立思考后，展示各種方法，有的用連一連的方法，有的直接列算式）

師：請看這些方法，你有什么想說的？

生4：連一連的方法太麻煩了，密密麻麻的線，數(shù)都數(shù)不清。

生5：還是直接列算式好。共9 人，每2 人拍一張照片，那就從8 開始相加，連續(xù)加到1，即8+7+6+5+4+3+2+1=36 （張）。

師：看來，每種方法自有其存在的價值。如圖示法形象具體，易于理解；算式法雖不易于理解，但當數(shù)目較大時，還是很方便的。

……

五、課堂總結：回顧反思，提煉升華

師：通過今天的學習，你有什么收獲？

生1：我發(fā)現(xiàn)可以用多種方法解決同一問題。

生2：可以借用別人的圖示解釋自己的方法。

生3：我學會了看表格中的比賽場次，還知道了空的格子是用來記錄比賽結果的。

……

【設計意圖】表格作為體育比賽場次記錄中的一種普遍使用方法，有必要讓學生有這樣的實踐體驗，同時也希望通過這樣的活動，幫助學生積累用表格進行探究的活動經(jīng)驗。同時，通過握手游戲，意在讓學生對“比賽場次”這樣的組合搭配模型有深刻的理解，體會到數(shù)學與生活之間的密切聯(lián)系。

【課后反思】

本節(jié)課，基于學生的學習起點，在橫向求聯(lián)中引導學生建構知識體系，感悟排列組合的本質就是“解決問題的方法和順序對結果沒有影響，但有難易之分”。這是學生探究排列組合問題的過程，同時也是數(shù)學思維形成的過程。數(shù)學課堂中，教師可通過對比、分析、反思、提煉等方式，引導學生建立不同解決問題方法之間的聯(lián)系，使學生感受到不同方法之間的內(nèi)在一致性，實現(xiàn)學生思維方式上的縱向求聯(lián)。因此，在設計、組織課堂教學時，教師不妨著力于學生的探究體驗，培養(yǎng)學生的符號意識和數(shù)感，幫助學生建構脈絡清晰、相互關聯(lián)的數(shù)學知識體系，使學生體會到不同數(shù)學知識、思維方法之間的一致性和關聯(lián)性，學會用整體的、發(fā)展的、聯(lián)系的眼光看待問題，形成求聯(lián)的思維方式，實現(xiàn)提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標。