三次樣條插值在慣導數據處理中的應用?

衛 鑫 熊 威 范偉倫

（中國人民解放軍91550部隊 大連 116023）

1 引言

在裝備性能指標評定中，試驗數據處理與分析是較為關鍵的一環。由于設備接收數據頻率不同、時戳不一致、試驗次數受限等原因，試驗中難以獲取全部數據，需進行插值處理。傳統上一般采用Lagrange 插值、Newton 插值等線性插值方法，但由于線性插值的固有不足，會導致試驗鑒定的準確性受到一定影響。

2 插值方法分析

插值是一種函數逼近的重要方法，可根據現有已知數據情況估計出未知數據的近似值，同時也是試驗鑒定數據處理的常用方法［1］。插值的方法很多，實際工作中常用的方法有線性插值、分段插值、Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值、三次樣條插值等。

2.1 Lagrange插值

Lagrange插值是一種用于求解n次插值多項式的方法［2］，n次Lagrange插值多項式可以表示為

其中li(x)是Lagrange基本多項式，也稱為插值基函數，可表示為

且需滿足：

誤差可表示為

其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。

Lagrange 插值的優點在于公式結構整齊，便于理論推導。缺點在于沒有承襲性，在實際計算中，每增加或減少一個插值點，所對應的基本多項式就要全部重新計算，較為繁瑣。此外，當插值點較多時，Lagrange 插值多項式次數會很高，會出現數值不穩定的情況。為解決此類問題，通常使用Newton插值。

2.2 Newton插值

Newton 插值也是一種用于求解n 次插值多項式的方法，其插值多項式可以表示為

誤差可表示為

Newton 插值解決了Lagrange 插值缺少承襲性的問題，構造了一種能夠靈活的增加插值節點并降低計算次數的n 次插值多項式。由插值多項式的唯一性可知，二者是同一插值多項式的不同表達形式。

2.3 Hermite插值

Lagrange 插值、Newton 插值等只要求插值函數和原函數在已知基點處的函數值相等，難以反映原函數的變化趨勢［3］。不少實際問題不但要求在節點上的函數值相等，還要求對應的導數值相等，甚至高階導數值也相等，由此提出了Hermite插值，其插值多項式可表示為

其中z2k=z2k+1=xk,f[z2k,z2k+1]=f＇(xk),k=0,1,…,n。

誤差可表示為

Hermite 插值不僅考慮了插值節點的函數值，更考慮了各階導數，能更好地反映原函數的變化趨勢，契合度更好［5］。

2.4 三次樣條插值

分段三次Hermite插值雖然可以得到光滑的曲線，但只有當原函數所有插值節點處的函數值和導數值都已知的情況下才能使用，在實際應用時難以實現［3］。為了彌補分段三次Hermite 插值的缺陷，常選用三次樣條插值，它不僅計算簡單，限制條件相對寬松，且插值精度較高，在裝備試驗鑒定的數據處理中較為受歡迎［6］。

三次樣條插值的函數定義如下［7～9］：

在定區間[a,b] 上的各節點a=x0

S(xi)=yi(i=0,1,…n)；

S(x)在每個小區間[xi,xi+1] (i=0,1,…n-1) 上是次數小于或等于3的多項式；

S(x),S＇(x),S＇＇(x)在[a,b] 上連續。

則稱S(x)為函數f(x)關于節點x0,x1,…,xn的三次樣條插值函數。

由定義可知，S(x)在每個小區間[xi,xi+1] 上有4 個待定系數，故若想求出S(x)須確定4n 個參數，須由n個插值條件：

S(xi)=yi(i=0,1,…n)

和3（n-1）個銜接條件：

S(xi-0)=S(xi+0)

S＇(xi-0)=S＇(xi+0)(i=0,1,…n-1)

S＇＇(xi-0)=S＇＇(xi+0)

連同兩個邊界條件共同確定。

三次樣條插值的邊界條件有三種：

III 型邊界條件：當f(x)為周期函數時，要求S(x)也為周期函數，此時邊界條件為

S(x0-0)=S(xn+0)

S＇(x0-0)=S＇(xn+0)

S＇＇(x0-0)=S＇＇(xn+0)

而此時y0=yn，這樣的樣條函數S(x)稱為周期樣條函數。在裝備試驗鑒定中通常使用前兩型邊界條件。

3 實例應用

3.1 數據預處理

潛航器水下運動參數評定指標，包括橫、縱、垂向加速度，橫、縱搖角，橫、縱搖角加速度，偏航角，偏航角加速度等。由于慣導系統只能提供北向速度、東向速度、升沉速度、縱搖角、橫搖角等信息，需要對慣導數據進行預處理［10］，以獲得指標評定所需參數。處理方法如下。

縱向速度為

縱向加速度為

橫向速度為

橫向加速度為

垂向速度為

垂向加速度為

偏航角為

橫傾角估算為

速度單位轉換：

其中，V北(nT)、V東(nT)、V升沉(nT)分別為慣導輸出的北向速度、東向速度、升沉速度；f、T 分別為數據輸出頻率和周期；Aj(nT)、Aj、Azh和θ(nT)分別為實際航向角、目標航向角、前進航向角和橫搖角；n=0,1,…N。

3.2 插值方法的應用

運動參數指標中，姿態信息即橫搖角、縱搖角、航向角為快變信息；速度、位置信息即東向速度、北向速度、升沉速度、經度、緯度為慢變信息，由于時戳不一致，需進行插值處理。以橫搖角θ為例，進行推導計算。

3.2.1 Lagrange插值法

已知ti和ti+1時刻的橫搖角分別為θi和θi+1，ti

3.2.2 三次樣條插值法

設t 時刻橫搖角θ(t)在(ti,ti+1)區間上的三次樣條函數S(t)的二階導數S＇＇(t)=Mi，由于S(t)在(ti,ti+1)區間上三次多項式，則S＇＇(t)在(ti,ti+1)區間上為線性函數［11］，可表示為

對S＇＇(t)進行兩次積分可得：

由已知條件S(ti)=θi、S(ti+1)=θi+1確定積分常數c1、c2：

將c1、c2帶入S(t)后求導可得：

同理，對于t∈(ti-1,ti)有：

然后利用一階導數連續條件S＇(ti-0)=S＇(ti+0)可得：

整理可得：

此方程為含有n+1 個未知量、n-1 個方程的線性方程，再結合插值區間兩個端點處的邊界條件（I 型邊界條件或II 型邊界條件）［12］，即可得出Mi，進而得到橫搖角θ在(ti,ti+1)區間上的三次樣條函數S(t)。

3.3 結果分析

基于不同使命任務、海域環境和工作流程下獲取的大量測試數據，以橫搖角θ為例，選取4 類典型工作狀態的運動參數數據作為真值，通過Matlab軟件，分別使用進行Lagrange 插值、三次Hermite 插值和三次樣條插值進行仿真實驗，對比各方法插值數據的擬合程度。

由圖1 可知，1）三種插值方法相比，三次樣條插值的擬合度、平滑度最好，三次Hermite 插值次之，Lagrange插值較差；2）橫搖角θ變化較大時，Lagrange 插值容易出現較大的失真現象，而三次樣條插值能夠更好地反映載體水下姿態變化真實情況。

4 結語

針對潛航器運動參數指標評定需求，分析了Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值、三次樣條插值四種插值方法，并以橫搖角θ為例，推導了插值處理公式，對測試數據進行處理，通過仿真計算，對比分析了Lagrange 插值、三次Hermite 插值和三次樣條插值方法的優劣，證明了三次樣條插值方法在潛航器慣導數據處理中的優勢，為姿態指標評定提供支撐。