五模點陣材料靜態力學性能研究?

韓邦熠 張振華

（海軍工程大學艦船與海洋學院 武漢 430033）

1 引言

五模材料作為一種超材料，其特殊的力學性能使其在聲學隱身以及抗沖擊防護等領域具有廣闊的應用潛力。而這些都是基于坐標變換理論，即通過合理排布五模材料胞元，使結構中的模量呈規律性變化，從而彎曲波在五模材料中的傳播軌跡，達到調控波的目的。因此，研究五模材料的等效力學參數十分重要。

五模材料由Milton 和Cherkaev［1］于1995 年首次提出，其彈性剛度矩陣的6 個特征值僅有1 個不為零，是一種具有“流體”性質的超材料。Milton［2］等研究了彈性動力學方程的空間坐標變換，理論上通過設計結構的模量變化，可以實現彈性波的隱身。此后，Norris［3］在Milton的基礎上針對性研究了聲學坐標變換，并提出了聲學斗篷的概念，研究發現要想實現聲隱身，隱身斗篷的密度和剛度二者或之一必須是強各向異性的，因此僅依靠常規材料想要實現聲隱身幾乎不可能，但五模材料可以很好的解決這個問題，讓聲學斗篷的實現成為可能。受加工工藝的限制，早期對五模材料的研究工作主要集中于理論和仿真階段，直到2012 年，Kadic［4］等通過光刻技術首次制作出了有一定承載能力的三維五模材料模型。Schittny［5］等通過3D 打印技術制作了實體三維五模材料，通過對比不同的胞元結構及連接形式，發現最佳聲學性能對應的品質因子在1000左右。Hedayati［6］等利用金屬粉末熔融制造技術制作了三維雙錐型胞元五模材料，發現金屬五模超材料的機械性能與它們的相對密度無關，這意味著金屬五模超材料的機械和質量傳輸性能可以相互解耦。Layman［7］等提出了一種由傾斜蜂窩晶格組成的二維五模結構，通過仿真發現具有良好的應力波調控能力，將五模材料從三維結構簡化為二維結構，極大地降低了制作難度。Cai［8］等研究了二維五模材料的等效力學性能和聲學性能，發現等效力學性能不能簡單地轉化為聲學性能，胞元結構參數對力學性能和聲學性能的影響有很大不同。張晗［9］和樊昕沂［10］等研究了二維五模材料胞元結構、尺寸對五模材料力學性能的影響，發現胞元結構和尺寸會對頻散曲線產生顯著影響，從而影響五模材料的力學性能。Zhang［11］研究了二維五模結構的薄壁厚度和結構層數對五模結構的力學性能的影響，結果表明，隨著薄壁厚度從0.15 mm 增加到0.45 mm，五模結構的壓縮模量增大，泊松比減小，隨著層數的增加，五模結構的泊松比迅速增大，最終達到0.50～0.55 的穩定值，研究結果為同時具有承載能力和五模性能的復合材料結構設計和開發提供了依據。

本論文為研究五模材料力學性能，制作了4 個五模點陣結構試驗模型，并進行了靜態力學試驗及仿真，相關結論對五模材料靜態力學試驗有一定指導意義。

2 五模胞元等效力學參數公式

對于周期性結構，通常需要獲取其等效密度和等效彈性矩陣。對于如圖1 所示的蜂窩結構五模胞元，其結構十分規則，并且對稱度高，可以通過解析均質化求解等效力學參數，即通過解析式求解獲取等效力學參數。在長波條件下微結構胞元一般不存在共振現象，因此蜂窩結構五模胞元的等效密度可表示為

圖1 蜂窩結構五模胞元示意圖

式中，mcell為胞元總質量；Vcell為胞元所占空間體積。等效彈性矩陣主要受豎桿長度h、斜桿長度l、壁厚t和拓撲角度θ的影響。基于線彈性理論和應變能等效原理，對蜂窩結構五模胞元進行均質化處理，其等效彈性矩陣如下［12］：

式中，為x 軸方向剛度；為y 軸方向剛度；為兩個主方向間的耦合剛度；為等效剪切剛度；ES為基材彈性模量；ξ為桿件長度比，ξ=；δ為桿件長細比，δ=。二維空間中，彈性介質的本構關系可以表示為

式中，σii、εii為主方向的應力、應變分量；τ、γ為剪切應力、應變，需要注意的是，此處的γ為張量剪切應變，其大小為工程剪切應變的一半。由式（7）推導可得

求解方程組（8）可得

式中，Ex、Ey為主方向彈性模量；G為剪切模量。

3 五模點陣材料靜態力學試驗

3.1 模型設計制作

為研究五模點陣材料的力學性能，共設計制作了4 個試驗模型，如圖2 所示。靜態力學試驗模型的具體設計制作過程為，第一步利用AutoCAD軟件繪制試驗模型的二維平面圖，再通過三維繪圖功拉伸成三維結構，并輸出為stl 格式文件。第二步通過ideaMaker 切片軟件打開stl 文件，對模型進行切片處理，并輸出3D 打印文件。第三步將3D 打印文件輸入至3D打印機，制作實物模型。

圖2 靜態力學試驗模型結構圖

試驗模型結構參數取值為t1=1mm，l1=10mm，t2=0.5mm，l2=5mm，θ=120°，a1=50mm，b1=52mm，a2=25mm，b2=26mm，模型厚度為30mm。制作試驗模型所選用的基材為PC 材料，材料參數為彈性模量Es=2000MPa，密度ρs=1200kg/m3，泊松比ν=0.4。模型1 為壓縮試驗模型，模型2、模型3、模型4 為壓縮及剪切試驗模型。沿x 方向對模型1、模型2、模型3、模型4 進行靜態加載，試驗模型將受到壓縮力，通過計算應力應變可以獲取五模點陣材料的彈性模量，沿y 方向對模型2、模型3、模型4 進行靜態加載，試驗模型將受到剪切力，通過計算應力應變可以獲取五模點陣材料的剪切模量。其中需要注意的是，模型1 和模型2 的五模點陣胞元結構完全一致，模型1 靜態力學試驗所獲取的彈性模量為模型1 在x 方向的彈性模量，模型2 靜態力學試驗所獲取的彈性模量實際為模型1 在y 方向的彈性模量。

3.2 試驗實施

靜態力學試驗開始前，將試驗模型置于東華萬能試驗機下壓縮頭的中心位置，通過傳感裝置將萬能試驗機與電腦相連接，利用靜態壓縮控制軟件調節上壓縮頭位置，使試驗模型受到一定的壓力作用，然后將力、位移數值清零，如圖3 所示。設置加載方式為恒速壓縮，加載速度為2mm/min，采樣頻率為20Hz。通過對4 個試驗模型進行靜態力學試驗，獲取了力和位移數據，并繪制力-位移曲線，在此過程中發現，測量彈性模量試驗的力-位移曲線十分平滑，無需擬合處理，測量剪切模量試驗的力-位移曲線呈鋸齒狀，需進行擬合處理，擬合處理前和擬合處理后的力-位移曲線如圖4所示。

圖3 靜態力學試驗圖

圖4 力-位移曲線

取位移為1mm 時，讀取壓縮力和剪切力的大小，計算4 個模型所受的應力及應變。彈性模量試驗中，即沿x 方向靜態加載，模型1 所受應力為1.6712×105Pa，應變為0.02；模型2 所受應力為1.7932×105Pa，應變為0.0192；模型3 所受應力為1.7064×106Pa，應變為0.04；模型4 所受應力為3.397×105Pa，應變為0.04。剪切模量試驗中，即沿y方向靜態加載，模型2所受應力為1.0282×104Pa，應變為0.0192；模型3 所受應力為1.8764×105Pa，應變為0.04；模型4 所受應力為2.4897×104Pa，應變為0.04。在此基礎上可以計算4個試驗模型的試驗彈性模量與剪切模量，如表1所示。

表1 彈性模量與剪切模量

通過第2 節中的蜂窩結構五模胞元等效力學參數公式可以計算4 個模型的理論彈性模量與剪切模量，E1、E2和G2分別對應為模型1 胞元的Ey、Ex和G，E3和G3分別對應為模型3 胞元的Ey和G，E4和G4分別對應為模型4胞元的Ey和G，具體數值見表1。分析蜂窩結構五模胞元等效力學參數公式不難發現，等效彈性矩陣僅與基材彈性模量ES、桿件長度比ξ、桿件長細比δ和拓撲角度θ相關，當這幾個變量相同時，五模材料有相同的等效彈性矩陣、彈性模量和剪切模量，如：E1=E4，G2=G4。此外，對比模型3 和模型4 發現，隨著桿件長細比δ的增大，彈性模量和剪切模量均隨之增大，模型3相較于模型4，彈性模量增大了184.4%，而剪切模量增大了693.9%。因此，較大的桿件長細比會使五模材料的剪切模量快速增加，降低材料的五模特性。

表中，Ei為模型i的彈性模量，單位為MPa；Gi為模型i 的剪切模量，單位為MPa。對比試驗結果與理論結果發現，除了模型3 的彈性模量E3，其他彈性模量和剪切模量的試驗結果同理論結果均十分吻合，誤差在20%以內。對于模型3，共計進行了3 次x 方向壓縮試驗，3 次試驗的力-位移曲線如圖5 所示。3 次試驗的數據誤差均在合理范圍，最后計算得出彈性模量E3的試驗結果也均在40MPa 以上，因此，模型3 試驗彈性模量同理論彈性模量誤差過大的原因并非是試驗中的偶然誤差，而可能是由于試驗模型在制作過程中或結構形式上存在一定缺陷所致。

圖5 模型3在x方向壓縮試驗力-位移曲線

4 五模點陣材料靜態力學仿真

4.1 有限元模型的建立

在COMSOL 有限元仿真軟件中，對4 個試驗模型進行仿真建模，如圖6 所示。4 個有限元模型均與實物模型尺寸完全一致，空間維度設置為二維，并將有限元模型厚度設置為30mm，物理場選用固體力學模塊，研究選用穩態研究。有限元模型材料選用PC 材料，材料參數設置為彈性模量Es=2000MPa，密度ρs=1200kg/m3，泊松比ν=0.4。荷載采用均布荷載，加載邊的對邊設置為固定約束，對有限元模型采用自由三角形網格劃分，x 方向和y方向的靜態力學加載分別單獨進行。

圖6 有限元模型圖

4.2 仿真結果分析

從仿真結果中可以輸出應力和位移數值以及放大變形后的位移云圖，如圖7 所示。x 方向加載仿真中，即彈性模量仿真，模型1 所受應力為1000Pa，應變為1.138×10-4；模型2 所受應力為1000Pa，應變為1.015×10-4；模型3 所受應力為1000Pa，應變為1.868×10-5；模型4 所受應力為1000Pa，應變為1.124×10-4。y 方向加載仿真中，即剪切模量仿真，模型2 所受應力為1000Pa，應變為1.635×10-3；模型3 所受應力為1000Pa，應變為2.464×10-4；模型4 所受應力為1000Pa，應變為1.526×10-3。在此基礎上可以計算4 個有限元模型的仿真彈性模量與剪切模量，如表1所示。

圖7 仿真位移云圖

仿真結果計算得出的彈性模量與剪切模量同試驗結果計算得出的彈性模量與剪切模量誤差均在20%以內，試驗結果與仿真結果相互驗證。這說明了模型3 在3D 打印制作過程中未出現明顯缺陷，導致模型3 的理論彈性模量明顯低于試驗值和仿真值的原因應該是結構形式的缺陷。通過理論公式計算得出的五模點陣材料彈性模量，其前提條件是材料無窮大，沒有邊界約束，而試驗和仿真中的模型3 存在邊界約束，這在一定程度上降低了模型3 的應變大小。為削弱邊界條件的影響，在COMSOL有限元仿真軟件中，重新建立一個胞元結構同模型3 完全一致的模型5，模型5 在x方向的胞元數量為模型3 的3 倍，在y 方向的胞元數量與模型3相等，其他條件設置均同模型3完全一致，如圖8所示。仿真結果中，模型5所受應力為1000Pa，應變為3.4×10-4，計算得出的彈性模量為29.412MPa，與理論值相接近，誤差在20%以內。因此，靜態力學試驗中，模型3 是由于邊界約束的存在，抑制了其y 方向的變形，從而增強了模型3 在x 方向的彈性模量。試驗結果、仿真結果充分驗證了五模點陣胞元等效力學參數公式的準確性，對于蜂窩結構五模胞元，可以直接采用理論公式計算其等效力學參數。

圖8 模型5位移云圖

4 個試驗模型中，只有模型3 受到了明顯的邊界約束影響。模型1、2、4 都具有相同的桿件長細比δ，而模型3 的桿件長細比為其他模型的兩倍，因此，模型3 中，與邊界連接的桿件部分可以更加有效地傳遞邊界約束的影響，從而造成了模型3 的試驗彈性模量相較于理論彈性模量出現了明顯的升高。在對五模點陣材料進行靜態力學試驗時，對胞元桿件長細比較大的構件，應注意削弱邊界約束對變形的影響，以免造成較大的誤差。

5 結語

本文進行了五模點陣材料靜態力學試驗及仿真，獲取了對應的彈性模量和剪切模量，相關結論如下：

1）通過靜態力學試驗及仿真分別獲得了五模點陣材料的彈性模量和剪切模量，試驗值與仿真值吻合較好。通過五模胞元等效力學參數公式可以計算得出理論彈性模量和理論剪切模量，除去邊界因素影響后，理論值與試驗值和仿真值吻合較好。通過試驗和仿真驗證了五模胞元等效力學參數公式的準確性。此外，對于基材彈性模量ES、桿件長度比ξ、桿件長細比δ和拓撲角度θ 相同的五模材料，其等效彈性矩陣、彈性模量和剪切模量均相同。較大的桿件長細比會使五模材料的剪切模量快速增加，降低材料的五模特性。

2）處理試驗結果時，發現模型3 試驗彈性模量與理論值有較大誤差，且并非試驗中的偶然誤差所致。仿真研究發現，造成模型3 彈性模量有較大誤差的原因是模型3 受邊界約束的影響。通過仿真削弱邊界約束的影響后發現，仿真結果同理論結果的誤差在合理范圍內。因此，在對五模點陣材料進行靜態力學試驗時，對胞元桿件長細比較大的構件，應注意削弱邊界約束對變形的影響，以免造成較大的誤差。