圓錐曲線問題解題技巧

圓錐曲線的綜合問題包括 解析法的應用，與圓錐曲線有關的定值問題、最值問題、參數問題、應用題和探索性問題，圓錐曲線知識的縱向聯系，圓錐曲線知識和三角、復數等代數知識的橫向聯系，解答這部分試題，需要較強的代數運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數與形的語言轉換和運算，推理轉換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結果的完整。

重難點歸納

解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、拋物線）的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯系及其規律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的

（1）對于求曲線方程中參數的取值范圍問題，需構造參數滿足的不等式，通過求不等式（組）求得參數的取值范圍；或建立關于參數的目標函數，轉化為函數的值域。

（2）對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種 當題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，可考慮利用數形結合法解；當題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值。

典型題例示范講解

如圖，已知橢■+■=1（2≤m≤5），過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設f（m）=||AB|-|CD||

（1）求f（m）的解析式；

（2）求f（m）的最值.

解 （1）設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m，b2=m-1，c2=a2-b2=1

∴橢圓的焦點為F1（-1，0），F2（1，0）

故直線的方程為y=x+1，又橢圓的準線方程為x=±■，即x=±m。

∴A（-m，-m+1），D（m，m+1）

考慮方程組y=x+1■+■=1，消去y得：（m-1）x2+m（x+1）2=m（m-1）

整理得：（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0

Δ=4m2-4（2m-1）（2m-m2）=8m（m-1）2

∵2≤m≤5，∴Δ>0恒成立，xB+xC=■.

又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上

∴|AB|=|xB-xA|=■=（xB-xA）·■，|CD|=（xD-xC）

∴||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=■|（xB+xC）-（xA+xD）|

又∵xA=-m，xD=m，∴xA+xD=0

∴||AB|-|CD||=|xB+xC|·■=|■|·■=（2≤m≤5）

故f（m）=■，m∈[2，5]

（2）由f（m）=■，可知f（m）=■

又2-■≤2-■≤2-■，∴f（m）∈■，■

故f（m）的最大值為■，此時m=2；f（m）的最小值為■，此時m=5

本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數關系式，并求其最值，體現了圓錐曲線與代數間的密切關系 主要應用直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調性求函數的最值等知識點一定要注意在第（1）問中，要注意驗證當2≤m≤5時，直線與橢圓恒有交點 第（1）問中，若注意到xA，xD為一對相反數，則可迅速將||AB|-|CD||化簡 第（2）問，利用函數的單調性求最值是常用方法。

（作者單位：山東省淄博市第四中學）