初中數學一元一次方程之行程問題教學例談

余臻秀（福建省寧德市壽寧縣鰲陽中學）

一元一次方程是七年級數學教學的重難點之一。解一元一次方程是在有理數和整式計算的基礎上進行的。一元一次方程的引入是為了方便人們去解決多種復雜的實際問題。例如，行程問題、年齡問題、配套問題、工程問題、銷售問題、積分問題和分段計費問題等。行程問題是實際問題與一元一次方程中最經典的問題。

一、一元一次方程之行程問題的教學目標及重難點

（一）三維目標

一元一次方程是小學數學教學活動中的重點知識，其承擔著幫助學生掌握方程概念、了解基本算法的重要任務。在小學數學教學中，一元一次方程之行程問題的三維教學目標分別是：能夠運用一元一次方程解決行程問題，應用一元一次方程知識、利用數量關系來推導數學算法；通過現實問題情景引導學生積極探索，經歷抽象為數學模型的過程。在數學解題中，通過數量關系來掌握方程的算法、核心計算要求；通過探究活動培養學生與他人交流的能力，激發學習興趣，體會一元一次方程的應用價值，驅動小學生數學學習能力的深度發展。

（二）教學重難點

一元一次方程中的行程問題包含了速度、時間與路程三大要素。通過深度解讀數學知識，驅動學生進行數學分析，從而整合數學概念。本節內容的學習重點是：列方程解決行程問題，難點是尋找等量關系，建立數學模型。通過對基礎數學知識的認知、分析、應用來驅動學生掌握數字與數學算法之間的關系，促使學生形成分析問題、應用數學知識的基本能力。

教師需要分析一元一次方程的基本結構、數學應用價值。通過對一元一次方程結構的挖掘，引導學生掌握相關數學算法；借助對數學運算關系的推導，驅動學生主動應用數學知識。在一元一次方程行程問題上，教學難點表現在“如何應用方程”這一關鍵角度上，強調學生對于方程知識的獨立整合、開發，以此來驅動學生形成良好的自主學習興趣。從數字關系角度掌握一元一次方程的特點，運算方法角度幫助學生整合數學學習經驗，進而逐步創新一元一次方程教學模式，加深學生對于數學知識的理解，掌握行程問題的解題策略。

二、列方程解決實際問題的一般過程

一元一次方程教學中，基于行程問題的教學與方程解答之間存在著密切的聯系性關系。通過對方程問題的分析、解讀，驅動學生主動應用方程知識。在教學過程中，教學活動包含了設計方程、解決問題、檢驗結果等多個環節，列方程解決實際問題的一般過程如下：

審題：分析題意，找出圖中的數量及其關系。根據問題中給出的數字與數學關系展開數學教學工作，促使學生主動對數學知識進行應用。

設元：選擇一個適當的未知數用字母表示，依靠未知數與已知數字之間的數量關系，幫助學生掌握相關數學概念。

列方程：根據找出的相等關系列出方程，分析一元一次方程中的數量關系，形成明確的數學解題任務。

解方程：求出未知數的值。檢驗：檢查求得的值是否正確和符合實際情形。答：寫出答案。在能夠熟練解一元一次方程的基礎上，解題過程中對于學生難度最大的是如何找等量關系和設未知量。

三、一元一次方程之行程問題的教學過程設計

行程問題中涉及到航行問題，相遇追擊問題，過橋梁（隧道）問題，環形跑道問題等內容。這里主要研究行程問題中的航行問題。航行問題的本質是順風（水）逆風（水）速度的表達，順風時速度=無風時速度＋風速，逆風時速度=無風時速度－風速。該類型題目常根據路程=速度×時間公式找到等量關系。

教師可以嘗試利用互動情境創設數學問題，如以情境模擬交通工具的運動過程，對關鍵性影響的因素進行分析。展示問題當中的數量關系與數學概念，提升學生的數學學習能力。在一元一次方程教學中，需要結合的行程問題中所包含的數學信息、數學概念設計對應的解題方案，培養學生的數學解題思路。下面通過三個循序漸進的行程問題，展開說明如何找等量關系，設未知數以及列方程。

（一）自主合作探究及解決問題

基于一元一次方程的構成設計行程問題并引導學生進行解題，要對方程中的關鍵信息、數學概念進行整合，培養學生自主學習、自主探究的基本技能。從教學現狀進行分析，部分學生已經在對方程概念進行分析、解讀的過程中掌握了一元一次方程的基本特點，期望獨立開展數學解題實踐活動。引導學生主動對一元一次方程的解題方法進行應用，在糾錯、分析的過程中主動應用數學知識，可以幫助學生夯實基礎，提升小學生的學習能力。

例1：一架飛機在兩城市之間飛行，風速為24km/h，順風飛行需要2h50min，逆風飛行需要3h。求無風時飛機的飛行速度和兩城市間航程。

解析：該題目是行程問題中的基礎問題。設無風時飛機的飛行速度為xkm/h，兩城市之間路程相等即題目中的等量關系。用兩種不同的形式來表達路程，順風時路程和逆風時路程。利用速度時間=路程的公式求得往返路程。通過觀察題目發現，順風的飛行時間2h50min 需要先轉換為以小時為單位。

解：設無風時飛機的飛行速度為xkm/h，則順風時的飛行速度為（x+24）km/h，逆風時的飛行速度為（x-24）km/h。已知2h50min 為h，根據題意得（x+24）=3（x-24）

解得x=840

則3（x-24）=2448km。

答：無風時飛機的飛行速度為840km/h，兩城市之間的航程為2448km。

例2：某船從A 地順流而下到達B 地，然后逆流返回，到達A，B 兩地之間的C 地，一共航行了7h。已知此船在靜水中的速度為8km/h，水流速度為2km/h，A，C 兩地之間的距離為10km，求A，B 兩地之間的距離。

解析：在7h 的航程中，有順流速度和逆流速度兩種速度。設A，B 兩地之間的距離為xkm。順流路程為xkm，速度為（8+2）km/h。逆流的路程為B，C兩點間的距離，即（x-10）km，逆流速度為（8-2）km/h。根據時間=路程÷速度公式，求得往返路程花費的時間，得到一元一次方程。

解：設A，B 兩地之間的距離為xkm，則B，C兩地之間的距離為（x-10）km。由題意，得

解得x=32.5

答：A，B 兩地之間的距離為32.5km/h。

例3：某船從A 地順流而下到達B 地，然后逆流返回，到達C 地，一共航行了7h。已知此船在靜水中的速度為8km/h，水流速度為2km/h，A，C 兩地之間的距離為10km，求A，B 兩地之間的距離。

解析：在7h 的航程中，有順流速度和逆流速度兩種速度。設A，B 兩地之間的距離為xkm。順流路程為xkm，速度為（8+2）km/h。逆流的路程為B，C兩點間的距離，即（x-10）km，逆流速度為（8-2）km/h。由于學生的思維定式，會認為C 點介于A 點和B 點之間，但題目中并沒有對C 點有限制。所以逆流的路程有第二種，即逆流返回時已經超過A 點，逆流行駛路程為（x+10）km。再根據時間=路程速度公式，求得往返路程花費時間，得到一元一次方程。

解：設A，B 兩地之間的距離為xkm，則當B，C 兩地之間的距離為（x-10）km 時。由題意，得

解得x=32.5

當B，C 兩地之間的距離為（x+10）km 時。由題意，得

解得x=2

答：A，B 兩地之間的距離為32.5km/h 或2km/h。

（二）小結

不難發現，在行程問題中順風（水）逆風（水）問題，學生掌握的根本是理解順風（水）逆風（水）時的速度，對問題當中的數量關系進行分析，從而找到等量關系。根據速度時間=路程公式列一元一次方程，可以引導學生主動應用數學知識。在這類問題教學中，我們應該按照從易到難，由簡到繁，循序漸進的原則進行，讓學生踮起腳尖摘蘋果。題目的設置上有拓展，有難度，有跨度。在解決一個個問題的過程中，收獲解題的成就感。

（三）教學反思

教學過程是建模的過程，將實際問題抽象為模型的過程。一元一次方程中的行程問題，是對一元一次方程的實際運用。讓學生經歷審題，列方程，解方程，求出未知數的值，檢驗，答，這些解題步驟，在學習的過程中感受到成就感，激發學生學習的興趣，促使學生主動接納數學教學活動。

經過本節課的學習培養學生嚴謹的數學思維，但從小學數學教學經驗來看，關于一元一次方程中的行程問題，學生還存在著一定的學習盲區。首先，基礎差的問題沒有得到有效解決，學生只能通過對教材內容的模仿、分析來掌握數學學習方向，在一元一次方程問題中缺乏獨立的思考。針對學生身上存在的這一問題，必須對行程的概念、行程問題的特點進行講解；其次，一元一次方程中的行程問題以抽象化、生活化為特點，無論是“順風”還是“逆水”等表述，學生并不陌生。但由于速度上產生了變化，必須要對學生的解題思路進行優化。由此，可以考慮應用數學模型引導學生進行解題，通過直觀運動速度的變化，引導學生探究速度與行程、距離之間的關系。消除教學盲區，才能提升學生的學習效率。

一元一次方程式體現著計算方法的進步，但學生卻不能直觀地感受到這類算法帶來的便利性。這是需要引起教師重視且一定要解決的教學難點。一元一次方程能解決絕大多數的問題，例如形成、分配、計費、數學問題等等，能為學生的學習與未來發展帶來不可替代的積極影響與作用。

在本次教學設計中，教師將學生作為課堂中的主體，從學生的角度分析、制定教學方法，幫助學生完成數學思維的過渡和轉換。教師借助自主探究教學法展開教學，將教學內容的難度控制在學生的數學認知能力范圍內，學生借助難度遞增的數學題目，一點點感受到一元一次方程解題法在數學計算過程中的便捷性與高效性，學會尋找等量關系，設未知數以及列方程式。