保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值

趙前進，胡云飛

（安徽理工大學數學與大數據學院，安徽淮南 232001）

連分式是一個十分古老的數學分支學科，但是連分式插值與逼近[1]卻是一種新的非線性數值計算工具，它提供了一種新的非線性數值計算方法。連分式在工程技術領域[2-4]得到了廣泛應用。近年來連分式應用于計算機輔助幾何設計和數字圖像處理等領域。[5-6]Thiele型連分式插值是一種有理插值方法，為函數的連分式展開提供了強有力的工具。[1,7,8]在工程技術中經常遇到一些具有水平漸近線和極點的函數，采用多項式或者傳統的Thiele型連分式作為逼近工具是不合適的，在逼近函數時無法保持被插值函數的水平漸近線[9]，也無法區分極點以及極點的重數，逼近效果不一定達到理想。

本文通過研究連分式插值有理分式最高次項系數與函數極限之間的關系，構建保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值算法，證明新算法的存在唯一性[10],給出誤差分析。[11，12]數值例子證明新算法的有效性。

1 Thiele連分式插值

設被插值函數y=f(x)，x0,x1,…,xn是被插值函數y=f(x)的n+1個互異的插值節點，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)是插值函數y=f(x)在插值節點處的函數值。

稱

為Thiele型連分式，其中Pn(x)，Qn(x)為有理分式的分子分母。

式（1）中

令

稱由式（2）～（5）確定的φ[x0,x1,…,xl]為函數f(x)在點x0,x1,…,xl處的l階逆差商，且滿足下列條件

設P-1=1,P0=b0,Q-1=0,Q0=1，則對n≥1有連分式的三項遞推關系[13]

由連分式三項遞推關系可知多項式Pn(x)和Qn(x)的最高次項系數具有以下系數關系[14]

當n為奇數時

當n為偶數時

其中：L(Pn(x))表示多項式Pn(x)的最高次項系數。

被插值函數y=f(x)，x0,x1,…,xn是被插值函數y=f(x)的n+1個互異的插值節點，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)是插值函數y=f(x)在插值節點處的函數值。……