Python語言在高等數學積分教學中的應用探析

宋婷婷，王琳琳

（長春工程學院，吉林長春 130000)

0 引言

高等數學是理工科類院校的基礎課程之一，是學習其他專業課的基礎課[1]。高等數學對于很多理工科學生來說，那是一棵高高的“大樹”。一方面，教師講課形式比較單一，以講授法為主，一筆一板，學生被動學習，不能激起學生的學習興趣。另一方面，高等數學內容相對較多，主要包括微分學、積分學。對于學生而言，因為高中對微分學涉獵較多，所以學生易于理解，樂于學習。而高中數學雖對積分也有學習，但比較基礎。又由于積分學在高等數學整個教學的靠后部分，且內容較多，包括定積分、反常積分、重積分、曲線積分、曲面積分等，導致學生學習時，感覺很難理解，所以很多學生產生放棄學習該部分的想法。介于學生對積分學畏難的想法，教師講課形式單一等問題，教師需要調整教學思路、教學方法，使用多媒體手段輔助教學，借助Python 的可視化功能，可以把復雜抽象的積分變化過程以及計算結果準確地模擬出來，讓學生可以更直觀地理解積分過程，激發學生的學習興趣，提升課堂教學效果。

1 Python語言簡介

Python語言由荷蘭數學和計算機科學研究學會的吉多·范羅蘇姆于1990年代初設計。Python語言是一種面向對象、解釋型、動態型的編程語言。與其他語言相比較，Python語言具有如下特點：第一，簡單易學，是一種代表簡單思想的語言，優勢在于，使用時，專注于解決問題，而不必注重語言本身語法和結構。第二，面向對象，Python即支持面向過程編程，也支持面向對象編程。面向過程，是以過程為中心，思考出每一個步驟，用函數逐一實現。面向對象，是通過定義出函數與數據的名稱，把事物對象化，方便使用者再次調用。Python的簡潔性使其能夠非常方便快捷地實現面向對象和面向過程編程。第三，免費開源，學習者可以自由地發布軟件，下載、復制、閱讀、修改源代碼，抽取部分功能用于其他軟件中。第四，可移植性，Python語言編寫的程序可以不加修改地在任何平臺上運行，不受限制，即兼容眾多平臺。第五，類庫豐富，Python解釋器擁有豐富的內置類和函數庫，同時通過開源社區又可以找到覆蓋各個應用領域的第三方函數庫，使學習者能夠借助函數庫實現某些復雜的功能[2]。基于上述特點，優選Python作為輔助教學軟件。

2 Python語言在積分運算中的應用

對于積分的學習，其一，學生缺乏繪圖能力，空間想象力，不能繪制出函數圖像，導致學生在進行積分運算時，找不到積分區域，進而不能確定積分限。其二，學生對積分的計算方法，積分公式不熟悉，導致學生計算不出結果，認為積分運算太難。基于上述問題，借助Python的可視化功能，快速高效地計算出結果。

2.1 Python語言在定積分運算中的應用

定積分是后面計算其他積分的基礎，對于重積分，曲線積分，曲面積分，其計算最終都轉化為定積分的計算。定積分計算時，曲線的形成過程僅僅通過教師講解，板書繪制，學生不能很好理解，利用Python動態演示該過程。下面以心形線為例，利用定積分計算心形線的長度和所圍圖形的面積[3]。

例1 求心形線r=1+cosθ的全長及所圍圖形面積。

程序代碼如下：

程序執行結果：

圖1 心形線

根據心形線圖像，快速準確給出θ的取值范圍[0,2π ]。

程序執行結果：

程序執行結果：

2.2 Python語言在反常積分運算中的應用

反常積分通常包含兩大類型，第一類為積分區間為無窮的反常積分，第二類為無界函數的反常積分[4]。以積分區間為無窮的反常積分為例。

因為該反常積分的被積函數的原函數不能直接用初等函數表示，所以對該積分直接利用牛頓-萊布尼茨公式計算不出來，但可以考慮利用二重積分計算該反常積分。利用二重積分其中D是由圓心在原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區域，其計算結果求解反常積分

雖然通過二重積分可以計算出反常積分，但二重積分屬于高等數學下冊的內容，僅在學習反常積分時，該問題還不能夠被解決。利用Python編程語言的輔助，可以快速計算出結果，利用繪圖功能，畫出被積函數的圖像，幫助學生更好地理解反常積分。

程序代碼如下：

程序執行結果：

圖2 f(x)=e^(-x^2)圖像

積分結果：0.8862269254527579。

從圖像上看，該反常積分表示向右無限延伸的圖形面積，而積分結果是一有限值。

2.3 Python語言在重積分計算中的應用

重積分的計算對于學生而言，是積分中的難點之一。一方面，找積分區域困難，另一方面，積分的計算也是問題點，導致學生對該部分的學習失去興趣。通過Python語言繪制出積分區域的圖形，讓學生直觀看到圖形，快速找到積分區域，便于學生對二重積分、三重積分的理解。

程序代碼如下：

程序執行結果：

圖3 給出二重積分的積分區域，進而在計算二重積分時，快速給出積分變量的取值范圍，x的取值范圍[0，1]，y的取值范圍[ -x,x]。

圖3 積分區域

程序執行結果：

積分結果：0.5235987755983463

三重積分相較于二重積分，是學生更加難理解的知識點。一方面，需要繪制空間圖形，另一方面，需要將三重積分降重，轉化為二重積分或定積。教師可以利用Python 強大的繪圖功能，將圖形展示給學生，便于學生觀察，有利于找到積分區域。利用其計算功能，通過簡單的幾行代碼就可以計算出結果，雖然只有幾行代碼，但其中蘊含了三重積分的積分思路。讓學生意識到Python語言給數學學習帶來的方便，培養學生對編程語言的興趣。

程序代碼如下：

程序執行結果：

圖4 給出空間閉區域，同時給出在xoy平面上投影區域，即四分之一圓，圓的方程x2+y2≤1，進而確定積分變量的取值范圍，x的取值范圍[0，1]，y的取值范圍的取值范圍

圖4 空間閉區域

程序執行結果：

積分結果：0.19634954084936213

3 結論

Python 的可視化功能有助于學生對高等數學知識點的理解，它像調味劑一樣，給無聊乏味的數學課堂，增添一些趣味性，促進學生對積分知識的學習和理解。同時，讓學生體驗到編程語言給高等數學帶來的優勢，高等數學的思維也為程序的編寫提供了理論基礎。只會編程語言而沒有思維支撐，那么編程語言就無用武之地。