雨傘的功用

☉〔法〕米卡埃爾·洛奈

◎歐 瑜譯

幾年前，一位經常與我合作的數學家朋友，說過一句令我印象深刻的話。當時我們倆正要道別，我們決定在兩周后的同一天、同一時間再見。在她掏出記事本以便記下見面的時間時，我聽到她悄聲低語了一句：“今天是4 月20 日，那么14 天之后就是34 日，那就是34 減30——5月4日。”

這個算法讓我會心一笑。她發明了一個不存在的日期：4 月34 日。這種思維方式對一個受過數學訓練的人來說既自然又典型！從4 月到5 月的過渡打破了算術的規則，因為30 的后面是1，這一過渡把人們限制在一個加法之外的步驟上，去進行月份轉換。

但是，我的那位數學家朋友并沒有在這些太過實際的障礙上停滯不前。4 月的最后一個日期沒有對她的加法形成任何妨礙。因為20 加14 等于34，所以日期就會是4 月34 日，而4 月34 日就等于5 月4 日，僅此而已。她發明了一個不存在的日期，以便讓自己的推導直達目標，而這絲毫沒有妨礙她得出正確的結果！

這是數學思維的優點之一：可以用不存在的東西輔助自己做恰當的思考。實際上，思考不存在的東西甚至可以說是數學的特性。不存在的東西也就是抽象的東西。

數字顯然是最引人注目的例子之一。一旦脫離了被它們模型化的現實，數字就成了純抽象的概念。它們是想法，是我們用作思維中間環節的想象之物。就像發明4 月34 日來推導日期會是方便之法一樣，發明新的數字對思考新的問題也會有所幫助。

比如，負數就是這樣不期而至的。沒有任何一段距離會是-11 千米。無論從哪種邏輯上來講，距離都應該用一個正數來表示。但是，在測量地球上各點之于海平面的海拔時，把位于海平面之下的海淵的海拔看作負數會很實用。

研究數學，就是創造想象的世界，在這些世界中，我們的思維可以自由漫步，不必擔心現實的妨礙。當你碰到一個科學問題時，下面這種解決方法往往會很有用：

1.創造一個數學世界，你可以在這個世界里把問題模型化；

2.在這個數學世界里解決問題；

3.把結果轉回到現實世界中。

比如說，這種方法就被天文學家用來了解行星的軌跡和預測日食。

這種解決問題的模式叫作“雨傘定理”。如果你在雨天想在不被淋濕的情況下從一個地方前往另一個地方，請按照以下步驟操作：

1.撐開你的雨傘；

2.開始你的行程；

3.收起你的雨傘。

步驟1和步驟3的操作是相反的，如果你能夠在雨傘為你打開的特定世界中達成預期的目標，那么你在操作結束時就可以恢復到開始時的狀態。負數的雨傘為地理學家測量海拔提供了研究上的便利，對數的雨傘讓淹沒在乘法中的天文學家得以進入加法的世界，而更廣泛地說，抽象的雨傘為所有科學家進入數學世界提供了可能。

雨傘，帶來觀點的改變，代表著差異，是從另一個角度看待事物的藝術——一種更適合、更有效的角度。

走得更遠，并不總是意味著長久而乏味的努力，而是要先找到解決所面臨問題的正確方法。如果我們以正確的方式看待問題，那么再錯綜復雜的問題也會在一瞬間變得簡單明了。偉大的智者能盡顯其才，首先是因為他們擁有在正確的時間發明正確的雨傘的能力。

在18 世紀，古怪的作家、旅行家喬納斯·漢韋是第一個使用雨傘的倫敦人。這是一把真的雨傘——擋雨的傘。他為此遭受了很多白眼和倫敦馬車夫赤裸裸的惡意，因為在當時的倫敦，搭乘馬車一直是在糟糕天氣出行而不會被淋濕的唯一方法。毫不畏懼旁人眼光的漢韋繼續自豪地使用了30 多年雨傘，并慢慢看到他的同胞也開始使用雨傘。在他去世后不久，商業化雨傘在英國出現。

不要懼怕與眾不同，這就是雨傘所代表的智慧。一旦接受在頭頂撐起抽象的雨傘并進入數學的世界，我們就不會再全然依賴現實。不必讓自己陷在無用的限制或既有觀念之中。你想要一個4月34日嗎？拿去吧！你想要負數嗎？拿去吧！你想要無窮嗎？拿去吧！如果所有這些想法都不會干擾你組織思維，甚至還有所幫助，那為什么要排斥它們呢？你是自由的。

在享受自由的同時，你還應該懂得如何在數學世界里自我駕馭，這是一種需要大量實踐才能培養出的能力。

為此，數學家制造出很多導航工具，其中有兩個指南針：一個名叫“實用”，一個名叫“優雅”。“實用”引導我們創造出最貼近現實的抽象世界，在這些抽象世界中進行的研究能夠輕松地轉化為關于宇宙的知識。“優雅”告訴我們要完全拋開現實，并沉醉在抽象世界的奇觀中，那里有許許多多美麗的事情要做——如果一件事是無用的，那它就更美了。

每個人都能以自己的方式使用這兩個指南針。有些人偏愛其中的某一個，有些人則兩個一起用，并不斷在兩個指南針指示的方向之間尋找完美的平衡。世界充滿奧秘，因此，探索實用之人和探索優雅之人常常會在走過不同的道路之后，在同一個地方不期而遇。看到大自然如此喜愛按照優雅的數學原理運轉，真是既讓人目瞪口呆，又讓人不知所措。