數學解題之“完形構造”

彭亞 高明

【摘要】構造法內涵豐富且不局限于固定模式，就格式塔完形法則而言，構造法就是“完形”的過程，解題時，學生不能孤立地只反映題中的條件式與目標式，而應把它們組成某個整體或完形，建立起符合題意的格式塔圖形，從而達到化繁為簡、化難為易的目的.格式塔學派在心理學方面提出了三個主要理論觀點：“整體性”“異質同構”“完形法則”，文章以格式塔心理學中的完形法則為理論基礎，通過典例進行闡明有則組之、缺則補之、無則變之的三條數學解題構造法則，為中學數學教師的解題教學提供一些新的參考.

【關鍵詞】格式塔心理學；完形法則；構造法；數學解題

【基金項目】基于核心素養下的《初等代數研究》課程開發，西華師范大學2018年教學改革項目，項目編號403350.

引 言

在數學解題中，學生常會因為解題經驗不足而找不到題干中條件與問題的聯系，或是勉強有一點思路但在解題過程中又遇到新困難，導致解題失敗.因此，教師可引導學生在遇到一道無從下手的難題時嘗試用構造法重新審題.構造法解題可分為構造函數、方程、不等式、向量、復數等多種類別，在中國知網里收錄了許多相關文獻可供大家參考.皮亞杰的建構主義學習理論尤為關注認識結構在學生學習和發展中所起的作用，該理論的精粹就在于主體內部的邏輯構造.弗賴登塔爾的著名數學教育理論中提出了數學化，指人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究世界的種種想象并加以整理和組織的過程.由此為解決實際問題而構造數學模型的過程便是數學化的過程.在《怎樣解題表》中，波利亞認為在第二步擬定方案時，盡量回想起類似的題目，即重視輔助題目的應用.從他的敘述來看，輔助型題目所展現的就是數學構造的思想.大多學者均把以上三位數學教育家的理論看作構造法的理論依據.但筆者認為，構造的過程是一種心理認知過程，從格式塔心理學觀點來看，題干呈現的問題其實是缺失的或不完整的模型，構造法就是完形的過程，要想解決問題就需要構造出一個完整的模型，把問題化難為簡、化隱為顯.因此本文選擇從格式塔心理學觀點的角度出發，研究數學解題中的構造法，希望能為大家帶來一些新的思考.

二、構造法概述

（一）構造法內涵

構造法是指對于某些用常見方法或者按照定向思維難以直接正面求解的數學問題，可以根據題干條件和結論的特征，從另一種角度，用另一種觀點去觀察、分析對象，牢牢把握題干的條件與結論之間的內在聯系，利用問題的數據、圖形、坐標等特征，以題中的已知條件為原材料，運用已有的數學關系式或公理為工具，在大腦中構造出滿足條件或結論的數學模型或對象，從而使原問題中隱藏的關系和性質在新構造的數學對象或模型中顯現出來，并利用這個數學對象更容易地解決數學問題的一種數學方法.

從數學發展的歷史進程來看，許多經典數學問題按照思維定式或常規思維是無法解決的，最后都可以通過構造法得以破解.如拉格朗日中值定理、柯西中值定理、素數無限定理等.它在數學解題中是最有活力的化歸方法之一，它有利于發展學生的創造性思維和創新能力.可以說構造法在一定程度上促進了數學這一學科的發展，直至今日，構造法不僅是解決數學問題所采用的一種數學方法，更是一種極其重要的數學思想.

（二）構造法解題的優點

第一，優化解題途徑.有的問題雖然不使用構造法也可以求解，但是其求解過程復雜煩瑣，如果用構造法求解往往可把復雜的運算簡單化，把問題快速優化求解.

第二，揭露隱含條件.用構造思想分析題干中的數量關系或結構特征，有利于挖掘出隱含在題干背后的條件，達到“化隱為顯”的目的.

第三，關聯條件與結論.對于某些難以直接求解的問題，根據條件與結論之間的邏輯聯系，構造數學對象數、式、方程、函數等作為中介，從而去求解問題.

第四，促進數學知識遷移.可用構造思想解決某些綜合類型的題目，如構造圖形解代數問題、構造函數求圖形面積的最值、構造方程解幾何問題等，在這個構造過程中也進一步促進了數學知識的遷移.

三、格式塔的完形原理概述

格式塔心理學理論觀點主要包含以下三個觀點：

第一，整體性.整體性理論是指人們在看待和認識事物時應從整體來看，而不是僅從局部信息出發來判斷事物.對于人的感知覺而言事物的整體形象比部分形象更為明顯，即人們一開始感知到事物整體的幾率高于事物局部.

第二，異質同構.“異質”指人的心理認知與外在事物是兩種不同的介質，二者相互對立.“同構”指人類主體的各項感知和外在事物雖然處于互相對立的狀態，但是兩者的結構立場卻趨向一致.

第三，完形法則.格式塔心理學的研究出發點在于“形”，完形法則是格式塔心理學中一個應用廣泛，并且占有重要地位的理論.它是指，人類在視知覺的體驗過程中往往會追求事物的完形性以及整體性，當我們看到了部分不符合自身習慣的圖形或事物時，心里常常會產生排斥感，所以人們會依據自己的視覺經驗和喜好把不完整、未閉合的圖形進行處理、加工，從而得到完整的“形”.因此，“完形”不僅僅是視覺上的補全，也是思維上的整體化感知.

四、格式塔心理學視角下的構造策略

格式塔理論已經為美術書法雕塑與攝影、建筑科學與工程、計算機軟件、戲劇電影與電視藝術、中國文學、工業通用技術及設備等方面的研究提供了理論支撐.而以“中等教育”為主要主題做計量可視化分析，主要包括在閱讀教學、格式塔心理學等方面.在目前能查找到的78篇文獻中，有關數學學科的很少.

農江萍、姚源果和呂曉亞認為數學問題解決模式之一是基于格式塔理論；凌紀霞認為格式塔心理學對高中數學教學具有一定的啟示，教學設計要體現整體觀，教學方法可采取遷移教學法、頓悟教學法；劉曉燕提出基于格式塔理論在教學中培養學生的創造性思維；鄧安邦、馮德雄運用完形、組塊原理探討了幾何教學的改善方法.從以上學者的研究可以發現，格式塔理論的各個觀點都可以應用到數學教學的各個方面，只是有關這方面的研究暫時不多.

格式塔理論是認知心理學派的主流學派之一，它的觀點被應用于各個領域并且行之有效，所以筆者基于格式塔理論中的觀點，從認知心理的角度來研究數學解題中的構造法.數學解題中構造法的構造過程就是“完形”的過程，所謂的“形”指的是題目中的圖形、結構式、關系式、模型等，它們是不完整的、未閉合的格式塔圖形，要達到目標式，就要以完形法則為基礎，將不完整的格式塔圖形進行完形設計，從而使我們對格式塔圖形的視覺感受由陌生變為熟悉，數學題目就會由繁到簡，由隱到顯，由難到易.

筆者認為，基于“完形”的構造策略體現在三個方面：

第一，有則組之.某些數學題目的條件或問題中會給出一組結構趨于完整的式子或圖形，但當這類式子或圖形無法直接求解，或者直接求解的過程中又產生了新的難以解決的障礙時，就可以選取構造法，觀察已有的式子或圖形的特征，在其基礎上進行重組，建構成我們熟悉或容易處理的“形”，從而化解了難題.

第二，缺則補之.某些數學題目中出現的式或圖形可能會與我們熟悉的或常見的數學模型接近，但又缺少一部分，所以沒有辦法直接求解.這時選取構造法，將式或圖形殘缺的部分進行補全使其達到平衡完整，變成易處理的數學問題.

第三，無則變之.當問題難以直接求解或者題中的條件式與目標式看起來暫時沒有關聯時，選取構造法將條件或問題中的式或圖形進行變“形”，轉變為熟悉的模型進而求解.

構造法本身具有一定的特殊性和廣泛性，解題時要根據具體問題的特點選取不同的完形法則.下面給出六道例題來說明構造法中的三種完形法則.

（一）完形構造法則一：有則組之

結 語

在數學解題中遇到無法直接求解的難題，可優先考慮構造法.從格式塔的心理學的完形法則觀點來看，每一道數學題都不是完美的標準形，當我們遇到這類事物本身不太完整的題目時，會通過內在的心理活動對事物本身的不完整性進行修復，即“完形”的過程.通過對問題中數學對象特征的觀察，展開豐富的聯想，將題中的格式塔圖形通過重組、補形、變形而組織成具有規則性、對稱性、和諧性的圖形，完善其“形”，把復雜問題簡單化，問題解決自然水到渠成.在這個過程中學生為了進一步解決問題或學習知識，會充分調動自身的創造思維和創新能力，激發內心的創造心理機制，以達到“完形”而解決存在的數學問題，這對于學生的數學學習大有裨益.

在數學解題教學的過程中，教師應基于學生的實際認知水平，遵循心理發展的規律和課堂中教學的規律，培養學生的基本數學素養以及觀察能力，使其具備了良好的數學基礎，構造法的學習和應用方能事半功倍.

【參考文獻】

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]劉云章.波利亞數學教育思想簡介[J].湖南教育（數學教師），2007（04）：12-14.

[3]陳旗.構造法在高中數學中的應用探究[D].西北大學，2016.

[4]金殷梓楠，邱銘岳，傅程凌.格式塔完形法則在圖形設計中的應用[J].美術教育研究，2021（16）：86-87.

[5]農江萍，姚源果.數學問題解決研究述評[J].廣西民族學院學報（自然科學版），2002（02）：174-176.

[6]呂曉亞.數學問題解決研究綜述及其啟示[J].科技信息，2010（32）：514-515.

[7]凌紀霞.格式塔心理學理論對高中數學教學的啟示[J].黑龍江科技信息，2009（28）：186.

[8]劉曉燕.在數學教學中培養學生創造性思維的思考———兼談格式塔理論[J].陜西教育（高教版），2008（07）：85.

[9]鄧安邦，馮德雄.完形、組塊與平面幾何教學[J].數學教育學報，1992（01）：89-93.

[10]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2018.

[11]周龍英.格式塔心理學視角下高校茶文化英語教學策略探究[J].福建茶葉，2016，38（12）：221-222.

[12]張正華.構造法在中小學數學中的應用[J].數學學習與研究，2019（06）：152-153.

[13]張孟欣.構造的思想方法在數學教學中的實踐研究[D].江蘇師范大學，2019.