深化概念理解 促進(jìn)模型抽象
——《點(diǎn)到直線的距離》素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題展評與教學(xué)建議

文| 陳金波

一、習(xí)題展評

●習(xí)題一

1.習(xí)題內(nèi)容

（1）涂一涂：將表示點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線的“距離”的線段涂成紅色。

量一量：圖①AB 兩點(diǎn)的距離是（ ）毫米，圖②點(diǎn)O 到直線AD的距離是（ ）毫米，圖③兩條平行線之間的距離是（ ）毫米。

（2）下圖中線段OA 為4 厘米，線段OB 為3 厘米，線段OC為2 厘米，點(diǎn)O 到直線MN 的距離是（ ）。

A.小于2 厘米 B.2 厘米

C.大于2 厘米

2.能力指向

對“距離”的認(rèn)識。通過涂一涂活動(dòng)和判斷點(diǎn)O 到直線MN 的距離，考查學(xué)生對點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線的“距離”的認(rèn)識。

3.學(xué)情分析

對鄉(xiāng)鎮(zhèn)38 名學(xué)生進(jìn)行后測，第（1）小題三個(gè)涂色全部正確的人數(shù)為34 人（占89.5%），第（2）小題正確的人數(shù)為38 人（ 占100%）。大多數(shù)學(xué)生都能找到點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線的“距離”，說明當(dāng)線處于水平或垂直方向時(shí)，學(xué)生對距離有較好的認(rèn)識。

●習(xí)題二

1.習(xí)題內(nèi)容

人與高壓線的安全距離為50米，“安全距離”我們可看作（ ）之間的距離，并在圖中畫出表示安全距離的線段。

A.點(diǎn)與點(diǎn) B.點(diǎn)與線

C.線與線

2.能力指向

能根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題，抽象出點(diǎn)到直線的問題，并抽象出“點(diǎn)”和“直線”。通過尋找人與高壓線之間的“安全距離”，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)是點(diǎn)到直線的問題。

3.學(xué)情分析

從后測情況來看，31.6%的學(xué)生選擇了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，63.2%的學(xué)生選擇了點(diǎn)與線的距離。說明有部分學(xué)生無法在真實(shí)情境中抽象出點(diǎn)到直線的距離，無法利用點(diǎn)到直線的距離解決實(shí)際問題。

●習(xí)題三

1.習(xí)題內(nèi)容

小明在四邊形的游泳池里游泳，點(diǎn)O 是小明現(xiàn)在的位置。

（1）如果他想在AB 邊上岸，請你畫出他上岸的最短線路，并用OE 表示。

（2）如果他想在BC 邊上岸，請你畫出他上岸的最短線路，并用OF 表示。

（3）如果他想盡快上岸，請畫出他上岸的最短線路。

2.能力指向

根據(jù)已知的點(diǎn)和線段，尋找點(diǎn)到直線的距離。通過畫出點(diǎn)O到線段AB、線段BC、線段AD 的距離，考查學(xué)生對點(diǎn)到直線的距離的綜合應(yīng)用能力。

3.學(xué)情分析

從后測情況來看，點(diǎn)O 到線段AB、線段BC、線段AD 的距離都能正確畫出的人數(shù)占65.8%。學(xué)生的錯(cuò)誤集中在畫點(diǎn)O 到線段BC 和線段AD 的距離，學(xué)生畫的不是垂直線段，而是與AB 平行的線段。說明當(dāng)線不是處于水平或垂直狀態(tài)時(shí)，出錯(cuò)的學(xué)生明顯增加，得出學(xué)生對“距離”的理解還不夠。

二、教學(xué)建議

1.加強(qiáng)對“距離”的認(rèn)識

點(diǎn)到直線的距離實(shí)質(zhì)上是點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短，所以對“距離”的認(rèn)識可以從“最短”“唯一” 這兩個(gè)方面入手。從學(xué)生測試情況來看，當(dāng)線不是處于水平或垂直方向時(shí)，學(xué)生的出錯(cuò)率較高。為此，在教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)學(xué)生對“距離”的概念理解，也要設(shè)計(jì)相對應(yīng)的變式練習(xí)，提高學(xué)生的能力水平。

2.加強(qiáng)對現(xiàn)實(shí)問題的模型抽象

點(diǎn)到直線的距離在生活中應(yīng)用較為廣泛，也是后期學(xué)習(xí)圖形的高、軸對稱等相關(guān)知識的基礎(chǔ)。所以對點(diǎn)到直線的距離的認(rèn)識要加強(qiáng)模型的抽象，能在簡單的現(xiàn)實(shí)問題中或者在圖形中抽象出點(diǎn)到直線的模型。從學(xué)生的測試情況來看，學(xué)生的抽象能力較弱，對點(diǎn)和線的抽象能力不夠。為此，在教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)學(xué)生對點(diǎn)和線的認(rèn)識，提供豐富的素材，提升學(xué)生的抽象能力。