經歷一般化表達過程 驅動代數思維生長
——《用字母表示數》教學（一）

文| 芮金芳

【教學內容】

蘇教版五年級上冊第99、100 頁。

【教學過程】

一、激活經驗，問題驅動

1.談話引入

師：大家玩過撲克牌嗎？這里J、Q、K 三張撲克牌分別表示什么？

生：J 表示11，Q 表示12，K表示13。

師：是的，撲克牌中的J、Q、K字母表示的都是確定的數。

2.生發問題

師：那字母還可以表示什么數？這節課我們一起來學習“用字母表示數”（板書課題），看到今天的課題你有什么問題嗎？

生：為什么要用字母表示數？

生：怎樣用字母表示數？

生：用字母表示什么數？

……

二、經歷過程，感受一般化

1.操作思考

師：（邊擺邊提問）擺1 個三角形，要用幾根小棒？

生：3 根小棒。

師：為了方便研究，我們可以用1×3 這樣的式子表示。擺2 個三角形呢？

生：用6 根小棒，就是2×3 根。

師：如果繼續擺下去，擺3 個、4 個，甚至更多三角形要用幾根小棒？想一想，可以怎樣表示三角形個數與小棒根數之間的關系呢？

2.方法交流

（教師收集、展示典型資源）

師：對這種表示有什么想說的？

生：我不贊同，它只表示擺1000 個三角形時的小棒根數，只能表示一種情況，沒有把所有擺的情況都表示出來。

師：看來作品1 表示得不夠全面，沒有概括出所有的情況。

師：比較作品2 和作品3，它們有什么相同和不同的地方？

生：都用了“無數”這個詞表示三角形個數。作品2 前后都用“無數”表示，看不出三角形個數和小棒根數之間的關系，而作品3用“無數×3”可以清楚地看出它們之間的關系。

師：這里的三角形個數和小棒根數之間究竟有怎樣的關系？

生：小棒的根數等于三角形個數的3 倍。

師：你覺得用“無數×3”表示小棒根數有什么好處？

生：這樣既能表示所用的小棒根數，還能表示擺的三角形個數和小棒根數之間的關系。

師：作品4 和作品5 都用字母來表示，作品4 你覺得可以用上面哪一種來解釋？

生：它和作品2 的記錄方式其實是一樣的，一個用“無數”來表示，一個用字母來表示。

師：作品5 可以用上面哪一種來解釋？

生：它和作品3 的記錄方式是一樣的，但比作品3 更簡潔。

師：這兩種都是用字母表示，你覺得哪一種更好？

生：作品5“n×3”表示得更好，不僅表示出小棒根數，還清楚看出它們之間的3 倍關系。

3.比較提升

師：回顧大家剛才表示的方法，有的用具體的數表示，有的用文字記錄，有的用字母表示，你更欣賞哪一種？為什么？

生：我更喜歡n×3，既清楚又簡潔，把所有情況都總結在里面了，很全面。

生：我認為作品3、作品5 是一樣的，都概括出了三角形個數和小棒根數之間的關系，只是作品5 更簡潔些。

師：說得真好！用簡潔的n×3這個式子，既能表示小棒根數，又能表示三角形個數和小棒根數之間的數量關系，其中字母起了重要的作用。

4.建構意義

師：像這樣含有字母、符號、數字的式子數學上稱為 “含有字母的式子”。剛才小棒根數用“n×3”表示，這里的3 為什么不能用字母表示？

生：3 表示小棒根數總是三角形個數的3 倍，這個關系始終不變。

師：是的，擺的三角形個數不斷變化，是不確定的，可以用字母來表示。而擺一個三角形要用3根小棒，這個量是固定不變的。

師：你覺得這里的n 可以表示哪些數？

生：n 可以表示1、2、3、4……這樣任意的自然數。

師：那“n×3”可以表示什么？

生：n×3 可以表示1×3、2×3、3×3、4×3……所有情況。

師：像這樣用字母或含有字母的式子表示，你覺得有什么好處？

生：用字母表示不僅簡潔，還可以概括出所有的情況。

生：不僅能表示結果，還能清楚地表示數量之間的關系。

5.回顧反思

師：一起回顧剛才的學習過程，我們從用小棒擺三角形問題開始研究，為了清楚地表示三角形個數和小棒根數之間的關系，我們發現用字母表示數的方法能清楚簡潔地概括出所有情況和它們之間的關系。一個神奇的字母幫助我們解決了一類問題。

三、變式拓展，豐富意義

1.情境啟思

播放喬治喝牛奶動畫視頻。

師：喬治的一杯牛奶有250毫升，你知道喬治第一次喝掉多少毫升牛奶，還剩多少毫升嗎？

生：不知道。

師：喝掉的和剩下的牛奶之間有什么關系？可以怎樣表示呢？

（學生思考記錄想法）

2.理解關系

作品：

師：觀察這兩位同學的表示方法，你更欣賞哪一種？為什么？

生：我贊同用“250－x”表示，它既可以表示剩下的結果，還能清楚地反映出喝掉的和剩下的牛奶之間的數量關系。

師：那喝掉的和剩下的牛奶之間有怎樣的關系呢？

生：一共的毫升數－喝掉的毫升數=剩下的毫升數。

師：這里的x 可以表示哪些數？

生1：可以表示任意數。

生2：我覺得不能超過250，喝掉的不可能比總數還要多。

生3：x 表示0 和250 之間的任何數。

師：如果x=30，還剩多少毫升？

生：250－30，還剩220 毫升。

師：如果x=0，你想到什么？

生：表示喬治沒有喝牛奶。

師：如果x=250 呢？

生：表示喬治把它喝完了。

師：看來用字母表示數，有時還有一定的范圍。仔細觀察，這里什么在變，什么不變？

生：喝掉的毫升數和剩下的毫升數都在變，但總量始終不變。

師：是的，這里喝掉的和剩下的兩個量都在變，但它們數量之間的關系始終不變。只要確定了喝掉的x，那么剩下的250－x 也就確定了。

3.拓展延伸

師：喬治第二次喝了一大口，這次喝掉的可以怎樣表示？

生：我用y 表示。這次喝掉的也不知道，所以用另一個字母表示。

師：分析得很有道理。在同一個問題中，出現兩次不確定的量，應該用不同的字母來表示。

出示：250 毫升牛奶，喬治第一次喝掉x 毫升，第二次喝掉y毫升。一共喝掉（ ）毫升。還剩（ ）毫升。第一次比第二次少喝（ ）毫升。

師：你能解決這些問題嗎？

生：一共喝掉x+y 毫升。還剩250－x－y 毫升。第一次比第二次少喝y－x 毫升。

師：為什么思考得這么快？

生：只要根據數量關系，用字母代替其中的數就能很快解決問題。

四、簡化寫法，深化理解

1.用字母表示計算公式

師：在以前的學習中，我們哪里用到過字母表示數的情況？

生：學習運算律時。

生：學習長正方形的周長、面積時用過。

師：填一填、想一想可以怎樣表示正方形周長和面積的計算方法？

正方形邊長/cm 1 2 3 4 5 ……正方形周長/cm正方形面積/cm2

師：用a 表示正方形的邊長，C 表示周長，S 表示面積。你會用含有字母的式子表示正方形的周長和面積計算公式嗎？

生：C=a×4，S=a×a。

師：與原來的文字公式相比，你有什么感受？

生：用字母公式表示更簡潔。

2.自主學習簡寫規則

出示簡寫規則，學生自主閱讀學習，并嘗試化簡。

簡寫規則 我會化簡字母和字母相乘時乘號可以寫作“·”，或者省略不寫。如a×b=a·b=ab。兩個相同字母相乘，比如a×a，可以寫成a·a，也可寫成a2，讀作“a 的平方”。字母和數相乘時乘號可以寫作“·”或者省略不寫。在省略乘號的時候，數要寫在字母的前面。如a×3=3·a=3a，4×x=4·x=4x。字母和1 相乘，1 可以省略，如：a×1=a。4×b（）x×5（）a×c（）1×x（）x×x（）x+x（）

師：根據這些簡寫規則，你是怎樣化簡的？它們分別符合哪條簡寫規則？

（學生交流辨析）

師：比較x2和2x 有什么不同？

生：x2表示兩個x 相乘，而2x表示兩個x 相加，它們表示的意義不同。

師：有了這些簡寫規則，回顧剛才我們發現的一些含有字母的式子，可以化簡嗎？

生：小棒的根數a×3 可以化簡為3a。

生：正方形周長公式表示為C=4a，正方形面積公式表示為S=a2。

3.用字母表示運算律

師：說一說我們學過哪些運算律？再用含有字母的式子表示出來。

（學生獨立思考嘗試表示，集體交流）

師：這里的字母能表示哪些數？

生：可以表示整數、小數、分數。

師：你覺得用字母表示計算公式和運算律有什么好處？

生：更方便簡潔，便于記憶。

五、拓展應用，完善結構

1.回顧提升

師：回顧整節課學習你有什么收獲體會？

生：用字母表示數它不僅能表達數量，還能表達它們之間的數量關系。

生：用字母表示數可以把一類問題概括表示出來，很簡潔。

……

2.建構模型

師：帶著今天的學習收獲，看這里的a 表示什么意思？5a 呢？

生：a 表示一本字典的價格，5a 表示5 本字典的總價。

師：現在的a 可以表示什么？5a 呢？

生：a 可以表示一本字典的頁數，5a 就表示5 本字典的總頁數。

生：a 可以表示一本字典的厚度，5a 就表示5 本字典的總厚度。

生：a 可以表示一本字典的重量，5a 就表示5 本字典的總重量。

……

師：現在你覺得a 可以表示什么？5a 呢？

（學生舉例略）

師：根據大家剛才的介紹，你有什么發現？

生：只要這兩個量之間有這樣5 倍的關系，都可以用5a 來表示。

師：是的，以前我們研究的都是一個算式對應著一個具體的問題，而今天我們用含有字母的式子可以表示一組具有相同數量關系結構的一類問題，這是很大的變化，也給我們的數學學習帶來了很大的便捷。

六、課外鏈接，文化浸潤

師：今天我們共同學習了“用字母表示數”，用數學的眼光看這個課題，還能更簡潔地概括嗎？

生：字母換數。

生：字母代數。

師：概括得真好！從今天起我們開啟了數學學習的一個全新領域——“代數”。我們一起來了解一下“代數”的歷史發展歷程。

（視頻介紹，略）

師：聽完這則資料介紹，你有什么感受？

生：代數的研究經歷了漫長的歷史過程。

生：數學家們真了不起！

……

師：最后把德國著名天文學家、物理學家、數學家開普勒的一句話送給大家：“數學是研究千變萬化中不變的關系。”希望大家帶著這樣的數學眼光繼續打開 “代數”學習的這扇知識大門。