莫讓材料“暗示”僵化了學生的思維
——以《三角形的面積》教學為例

文| 許燕萍 俞 軍

在《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中明確指出：數學教學應讓學生經歷獨立的數學思維過程，理解數學基本概念和法則的發生和發展，探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規律，經歷數學“再發現”的過程，發展質疑問難的批判性思維，初步養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神。因此，在課堂教學中，我們必須合理選擇學習材料，充分暴露學生的原生態思維，激發他們的思維廣度，使其深入思考，集思廣益，提出解決問題的多種策略，深刻體驗知識產生的過程，讓學生的學習真正發生。帶著這種理念，筆者對《三角形的面積》一課教學進行了反復實踐，現將磨課中的一些思考與各位同仁分享。

環節一：精選探究材料，暴露學生思維

課堂上教師提供不同的學習材料，學生的思考就會有不同的方向。如果像教材那樣提供兩個完全一樣的三角形，學生可能就只會想到“倍拼法”，這樣的安排給學生過多的暗示，局限了學生的思維。如果僅提供一個三角形，學生想到的可能就是畫出示意圖，此時，相比教材呈現的方法就更為豐富多樣。

【教學片斷1】

教師多媒體出示三類不同的三角形（如圖1）。

圖1

師：如果讓你任選一類三角形來研究，你會選哪個？（學生齊答：直角三角形）

師：直角三角形的面積該怎么計算呢？把你的想法表示在圖上，然后再算一算，請完成《學習單》的第一題。

（學生獨立探究，教師關注學生探究的情況，了解學生的探究過程，并指導學生解釋計算背后的思考過程）

教師巡視中有意選取三種轉化方法投影反饋（如圖2）。

師：這是三位同學的作品，你看得懂嗎？請把你看懂的跟同桌交流一下。

師：我們一起來交流吧！誰先來說說？

生1：我看懂了第一種，他是用兩個一樣的直角三角形拼成長方形。

生2：三角形的面積是長方形面積的一半，所以可用16×10÷2來計算。

（教師根據學生的回答將這種方法貼到黑板上）

師：另外兩種呢？誰能指著說一說？

生：第二種是剪掉一個三角形，把它拼到下面來，拼成一個長方形。

師：這一刀能隨便剪嗎？

生：不能，要剪在高的中間，這樣才能拼成長方形。

師：現在誰會計算三角形的面積？

生：長方形的長是16，寬是10÷2，所以列式為10÷2×16。

師：一個三角形也能轉化成長方形，真了不起!老師也將這種方法展示到黑板上。

生1：第三種跟第二種一樣，都是剪掉三角形拼成長方形，只是第二種沿高的一半剪開，而這種是沿著底的一半剪開。

生2：我來補充算式：16÷2×10。

師：同學們真厲害！在研究直角三角形的時候都想到了轉化成已經學過的長方形來計算。

這一環節，教師只提供《學習單》上的一個三角形，變教材主導材料為教學需求材料，為學生創設了探究的時空，能充分暴露學生的原生態思維。由于學生已有的知識經驗和思考的角度不同，呈現的方法就多種多樣。

環節二：緊扣數學本質，完善學生思維

直角三角形雖然有它的特殊性，但它的研究方法跟銳角三角形、鈍角三角形乃至其他平面圖形面積的研究是一樣的，其數學本質都是轉化的思想方法。教學中，可以讓學生借鑒直角三角形的研究方法，自覺遷移到銳角三角形、鈍角三角形的研究中，實現轉化方法的多樣化。

【教學片斷2】

師：你們能帶著剛才的研究經驗再來探究探究銳角三角形和鈍角三角形嗎？

教師在巡視中有意識地選擇三種典型方法，投影：

1.展示圖3

圖3

師：這種方法你能看明白嗎？

生1：這兩個三角形都是補了一個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，也就是黑板上的第一種方法。

生2：三角形的面積都是拼完后平行四邊形面積的一半。

2.展示圖4

圖4

師：這又是怎么想的？

生1：他是將上面的三角形旋轉拼到下面，變成一個平行四邊形。

生2：也就是黑板上第二種方法，沿著高的一半剪開。

師：算式中12÷2 是什么意思呢？

生1：是平行四邊形的高，也就是原來三角形高的一半。

生2：我覺得還可以沿著底的一半剪開。

師：真會思考！底的一半剪開，拼成的是怎樣的一個圖形？在腦海中想想看。

3.展示圖5

圖5

師：有同學是這么想的，跟你想的一樣嗎？這種方法你有什么疑問嗎？

生1：底的一半怎么找？

生2：對折。

生3：應該是左邊底的一半剪開，右邊底的一半也剪開，分別拼到上面。（請學生指一指）

師：你們真了不起！現在我們一起以動態的方式來回顧剛才的這幾種轉化過程。

（教師課件動態演示轉化過程，圖略）

師：你們很厲害！想到了這么多種轉化方法。那么，現在請你觀察黑板，你覺得三角形的面積可以怎么算？

生：（齊）底×高÷2。

教師根據學生回答，板書：三角形的面積＝底×高÷2，S＝ah÷2。

學生在已有的直角三角形的活動經驗上，能夠自主利用方法再次遷移，由特殊到一般，從而讓推理過程更嚴密。通過大量的對三角形面積轉化過程的體驗與感悟，使學生對三角形面積公式的理解更為清晰和深刻，真正構建起三角形面積計算的模型，學生的思維從模糊到清晰，從殘缺到完整，甚至從錯誤到正確，不斷完善自己的思維。

環節三：延長體驗過程，強化學生思維

公式推導完成后，接下去就是大量的公式應用，這樣的教學，學生又回到枯燥的公式套用上，之前的大量探究就顯得多此一舉。因此，可以通過練習讓學生的體驗延續，思維得到進一步強化。

【教學片斷3】

1.課件呈現基本練習

師：你們學得都很棒！現在老師要來考考你！請看屏幕（課件出現原始三角形，如圖6）。

圖6

師：如果讓你求出這個三角形的面積，你會想到哪些轉化方法？靜靜地想一想。（讓學生只在腦海中想，不作交流）

課件依次呈現圖7 中左側的四張圖。

圖7

師：這些轉化方法你想到了嗎？

接著同時出示圖7 中右側的3 個算式。

師：現在請你將轉化的方法和匹配的算式連一連。

師：（課件出示答案）請看大屏幕，和你連的一樣的請舉手。

2.呈現拓展練習

請你在圖8 中畫一個三角形，使它的面積與平行四邊形的面積相等。（每相鄰兩點之間的距離為1）

圖8

師：看來，這些數學問題都難不倒大家。下面我們繼續研究，請看大屏幕，自由地讀一讀要求。同學們，題目讀完了，會嗎？請在《學習單》上試一試。

（1）展示底是4，高是6 的作品（如圖9）。

圖9

師：我們先來看這兩位同學的作品，先請他們說說他們是怎么畫的？

生：沿著高的一半剪開就可以拼成前面的平行四邊形。

師：他很會思考！同學們，我們一起觀察，當三角形的面積和平行四邊形的面積相等，并且底也相等時，那么它們的高有什么關系？

生：三角形的高是平行四邊形的高的2 倍。

（2）展示底是8，高是3 的作品（如圖10）。

圖10

師：我們再來看這兩幅作品，誰能猜猜他們是怎么想的？

生：沿著底的一半剪開就可以拼成前面的平行四邊形。

師：你表達得很清晰！同學們，這時候兩個三角形的底、高、面積之間有什么關系嗎？

生：當三角形的面積和平行四邊形的面積相等，如果高也相等時，那么三角形的底是平行四邊形的底的2 倍。

（3）展示底×高＝24 的作品（如圖11）。

圖11

師：這兩位同學畫的三角形底和高都不相等，面積會相等嗎？

生：面積相等，因為底和高相乘都等于24，再除以2 就都等于12 了。

師：原來只要做到底×高等于24 就可以了。

兩個練習注重的依然是轉化的思想本質，利用想象、連線、畫圖等方法延長轉化過程的體驗，學生感悟到的是一種數學本質，而非一個冷冰冰的公式。同時，培養學生的空間觀念和逆向思考的能力，以及萬變不離其宗的哲學思維，尤其對三角形面積計算公式這一數學模型有了更為深刻的建構。

學習是自內而外的生長，在提倡“生本教育”的今天，數學課堂教學要時刻想著學生會怎么想，學生會怎么做，切勿給他們過多的材料“暗示”。只有基于“思維”而教、圍繞“思維”而學，才能將學生置于教學的核心地位, 順應學生主動探索，促進思維自然生長。