基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動參數(shù)辨識方法

付軍泉，鐘伯文，*，鐘運(yùn)琴，劉 赟

(1.南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063；2.江西省飛行器設(shè)計與氣動仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330063；3.中國科學(xué)院大學(xué) 中國科學(xué)院大數(shù)據(jù)挖掘與知識管理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190)

0 引言

在飛機(jī)設(shè)計與研制過程中，建立精確的飛行動力學(xué)模型是飛行控制系統(tǒng)設(shè)計、飛行品質(zhì)評估、實(shí)物及半實(shí)物飛行仿真的基礎(chǔ)與前提。飛機(jī)氣動參數(shù)一般可通過計算流體力學(xué)[1]、風(fēng)洞試驗(yàn)[2]、參數(shù)辨識[3]等方法獲得。計算流體力學(xué)方法由于存在N-S 方程離散誤差、計算截斷誤差、湍流模型誤差等因素，導(dǎo)致精確的飛行流場很難求解。風(fēng)洞試驗(yàn)中由于存在洞壁效應(yīng)、相似性效應(yīng)、傳感器測量誤差等因素，也使得精確的氣動參數(shù)獲取存在困難。隨著傳感器技術(shù)與飛行試驗(yàn)技術(shù)迅速發(fā)展，通過飛機(jī)氣動參數(shù)辨識方法、基于飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)來獲取更高精度的氣動參數(shù)成為一種可行的、必要的手段。飛機(jī)氣動參數(shù)辨識是一個系統(tǒng)工程，主要包括飛行試驗(yàn)設(shè)計、飛行動力學(xué)模型結(jié)構(gòu)假設(shè)、飛機(jī)氣動參數(shù)辨識、模型辨識結(jié)果驗(yàn)證四個步驟。

1920 年，Waener 和Norton 對飛行器的氣動參數(shù)辨識方法進(jìn)行了早期研究[4]。1951 年，Harry[5]提出了一種以飛機(jī)小擾動線性化模型為基礎(chǔ)，基于最小二乘法辨識飛機(jī)穩(wěn)定導(dǎo)數(shù)與操縱導(dǎo)數(shù)的方法。目前，應(yīng)用最廣泛的飛機(jī)氣動參數(shù)辨識方法是極大似然法與牛頓拉夫遜迭代的組合方法?；跇O大似然估計的模型參數(shù)辨識問題本質(zhì)上是參數(shù)優(yōu)化問題，但該方法是一種收斂緩慢的算法。Lin 等[6]通過改進(jìn)極大似然估計方法的參數(shù)化梯度的遞推中間計算過程，提高了極大似然方法的收斂速度。Kalman 濾波算法能將參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)估計問題，依據(jù)飛行器的實(shí)際飛行情況，采用連續(xù)估計模型，并通過離散時間測量與離散濾波算法達(dá)到實(shí)時估計，其中應(yīng)用最廣泛的非線性氣動參數(shù)辨識方法是擴(kuò)展Kalman 濾波（extended Kalman filter,EKF）方法。此外，無跡卡爾曼濾波（unscented Kalman filter,UKF）方法能降低模型線性化所帶來的誤差，因此在辨識非線性氣動模型時有較明顯的優(yōu)勢[7]。極大似然法是目前應(yīng)用于飛機(jī)氣動參數(shù)辨識的主要算法。極大似然法辨識需要給出合理的飛行動力學(xué)模型結(jié)構(gòu)以及待辨識參數(shù)初始值，不準(zhǔn)確的動力學(xué)模型會導(dǎo)致氣動數(shù)據(jù)擬合結(jié)果不理想，不合理的待辨識參數(shù)初始值則容易導(dǎo)致優(yōu)化陷入局部最小值，甚至導(dǎo)致辨識過程發(fā)散[8]。

近年來，人工智能技術(shù)的日益成熟為飛機(jī)氣動參數(shù)辨識提供了一種新方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任何非線性輸入輸出系統(tǒng)，是一種系統(tǒng)辨識建模的有效工具[9]?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)辨識可以避免飛行動力學(xué)建模過程，并且在氣動參數(shù)辨識過程中不需要給出待辨識參數(shù)的初始值估計。21 世紀(jì)初期開始，國內(nèi)外學(xué)者均開展了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在飛機(jī)氣動參數(shù)辨識的應(yīng)用研究，這類方法用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬飛行動力學(xué)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并利用增量法、導(dǎo)數(shù)法從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)間接地提取氣動參數(shù)，是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的辨識建模方法。Ghosh 等[10]基于真實(shí)飛行數(shù)據(jù)建立舵面控制輸入與氣動力、力矩之間的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并研究舵面控制輸入疊加微小增量后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出變化，通過增量法提取氣動參數(shù)。Kuttieri 等[11]研究了基于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的彈性體飛機(jī)的氣動參數(shù)辨識，在建立升降舵、飛行狀態(tài)輸入與升力、俯仰力矩輸出之間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，利用深度學(xué)習(xí)框架自帶的微分求導(dǎo)功能，直接求解升力、俯仰力矩輸出相對于升降舵、飛行狀態(tài)輸入的導(dǎo)數(shù)，得到氣動參數(shù)。2020 年，Verma 等[12]基于極限學(xué)習(xí)機(jī)器（extreme learning machine,ELM），一種改進(jìn)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并利用導(dǎo)數(shù)法辨識基于真實(shí)飛行數(shù)據(jù)的飛機(jī)氣動參數(shù)，結(jié)果顯示，該方法能顯著加速氣動力、力矩的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練過程。

隨著深度學(xué)習(xí)理論與技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，2017 年美國布朗大學(xué)Raissi 等[13]綜合并改進(jìn)了前人在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解微分方程方面的技術(shù)方法，正式提出了基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（physics informed neural network,PINN）算法框架，并首次提出PINN 方法不僅可以求解微分方程正問題（即建模問題），也可用于求解微分方程逆問題（即參數(shù)辨識問題）。PINN 是一種數(shù)據(jù)與物理雙驅(qū)動的建模框架，可以將物理約束作為正則項加入到傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過程中，從而減少對建模數(shù)據(jù)的需求。同時，PINN 相對于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也具有更高的辨識精度[14]。PINN 被正式提出后，引發(fā)了流體力學(xué)、熱力學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、材料力學(xué)等領(lǐng)域大量的相關(guān)應(yīng)用研究[15]。比較典型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有應(yīng)用于不可壓N-S 方程的分?jǐn)?shù)階fPINNs 網(wǎng)絡(luò)[16]，應(yīng)用于心房顫動診斷分布型DPINNs 網(wǎng)絡(luò)[17]，應(yīng)用于新材料設(shè)計的貝葉斯型B-PINNs 網(wǎng)絡(luò)[18]等?；赑INN 網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)辨識方法應(yīng)用研究目前尚不多見。本文研究的重點(diǎn)是根據(jù)待辨識動力學(xué)系統(tǒng)的特征，設(shè)置PINN網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和損失函數(shù)。

文章首先給出通用PINN 網(wǎng)絡(luò)的基本結(jié)構(gòu)以及工作原理，然后給出基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)縱向狀態(tài)空間模型的氣動參數(shù)辨識建模方法，最后利用基于JSBSim 的飛行仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證上述建模方法的正確性與有效性。

1 PINN

設(shè)含參數(shù)的偏微分方程的通用形式為：

方程的初始條件和邊界條件定義為：

其中：空間變量x∈Rd；t為時間變量；Ω為 歐式空間Rd的子集；?Ω 為 Ω 的邊界；微分方程f包含微分算子?xu、?tu；λ=[λ1,λ2,...]為 微分方程f的參數(shù)；u(x,t)為偏微分方程f的理論解；g(x)為f的 初始條件；h(x)為f的狄利克雷邊界條件、黎曼邊界條件或混合邊界條件。

PINN 用一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近偏微分方程的解。不妨定義PINN 網(wǎng) 絡(luò)(x,t)逼近微分方程f的解u(x,t)，該P(yáng)INN 網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)L定義為：

其中：LPDE為 損失函數(shù)中模型驅(qū)動的部分；LIC為損失函數(shù)中初始條件驅(qū)動的部分；LBC為損失函數(shù)中邊界條件驅(qū)動的部分；LData為損失函數(shù)中其他數(shù)據(jù)驅(qū)動的部分。損失函數(shù)各部分定義如下：

在損失函數(shù)（4）的約束下，在盡可能滿足偏微分方程的條件下，使PINN 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)的誤差盡量小。含參數(shù)的偏微分方程（1）對應(yīng)的PINN 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1 所示，在輸入時間t和 空間x數(shù)據(jù)后，首先用全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(x,t)逼 近函數(shù)u(x,t)，然后利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自動微分技術(shù)[19]，求出偏微分方程殘差、初值、邊值殘差，并將其作為正則項加入損失函數(shù)中，最后利用梯度下降法更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重參數(shù)和偏微分方程物理參數(shù)。需要說明的是，PINN 廣義上是一種基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的框架，主要用于求解偏微分方程，但也適用于常微分方程的求解。

圖1 PINN 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of PINN

2 PINN 氣動參數(shù)辨識方法

以飛機(jī)縱向運(yùn)動為例，研究基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動參數(shù)辨識方法。假設(shè)飛機(jī)在定常平飛狀態(tài)只受到升降舵激勵輸入擾動，飛機(jī)的縱向運(yùn)動與橫航向運(yùn)動在該小擾動作用下可以完全解耦，則典型的飛機(jī)縱向運(yùn)動小擾動線性化狀態(tài)方程可表示為[20]：

其中：u為 流向速度；w為垂向速度；q為俯仰角速率；θ為俯仰角；δe為升降舵偏轉(zhuǎn)角。如無特殊說明，文中所有與飛機(jī)飛行狀態(tài)相關(guān)的參數(shù)，如u、w、q、θ、δe等，均為擾動增量。進(jìn)一步假設(shè)在上述飛機(jī)縱向激勵輸入下，觀測變量與狀態(tài)變量完全一致，則此處觀測方程可略去。

本文飛機(jī)氣動參數(shù)辨識方法研究采用離散型PINN 網(wǎng)絡(luò)。參考Raissi 等[14]提出的PINN 求解離散型偏微分方程逆問題的方法，構(gòu)造離散型PINN 系統(tǒng)辨識網(wǎng)絡(luò)一般需要采用高階Runge-Kutta 算法離散偏微分方程。本文采用三階Runge-Kutta 公式離散飛機(jī)縱向小擾動線性化狀態(tài)方程模型。記一階微分方程通用形式為=f(t,y)，其三階Runge-Kutta 公式為：

為后文表述方便，將飛機(jī)縱向運(yùn)動小擾動線性化狀態(tài)方程（9）中與速度u、速度w、俯仰角速率q相關(guān)的微分方程分別記為fu、fw、fq：

按式（10）三階Runge-Kutta 公式將微分方程fu、fw、fq依 次離散化，得到關(guān)于u、w、q的遞推公式：

由飛機(jī)縱向小擾動線性化狀態(tài)方程的離散化公式（17～19），需要構(gòu)造PINN 網(wǎng)絡(luò)，其輸入為uk、wk、qk、θk、δek，輸出為uk+1、wk+1、qk+1?；赑INN 的飛機(jī)氣動參數(shù)辨識全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)共有9 層，激活函數(shù)均采用Relu。

表1 PINN 氣動參數(shù)辨識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structure parameters of PINN for aerodynamic parameter identification

PINN 氣動參數(shù)辨識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2 所示。輸入uk、wk、qk、θk、δek后，首先用PINN 全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出，預(yù)測輸出與真實(shí)輸出的殘差LData構(gòu)成數(shù)據(jù)驅(qū)動的損失函數(shù)，然后將飛機(jī)縱向小擾動線性化狀態(tài)方程的離散化公式（17～19）中計算輸出與預(yù)測輸出的殘差LODE-u、LODE-w、LODE-q作為模型驅(qū)動的部分加入損失函數(shù)中，最后利用梯度下降法更新PINN 全連接網(wǎng)絡(luò)權(quán)重參數(shù)和狀態(tài)方程中的待辨識氣動參數(shù)。

圖2 PINN 氣動參數(shù)辨識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic of PINN for aerodynamic parameter identification

3 飛行仿真

研究采用的飛行仿真數(shù)據(jù)基于JSBSim 求解器產(chǎn)生。JSBSim 是一個可在多種操作系統(tǒng)下編譯和運(yùn)行的開源飛行動力學(xué)模型庫。JSBSim 既可以作為一個獨(dú)立的程序運(yùn)行，從xml 格式的腳本文件和配置文件中獲取輸入，也可以集成到一個支持交互輸入的飛行模擬平臺中[21]，如FlightGear 和OpenEaagles。

飛機(jī)氣動參數(shù)辨識需要在飛機(jī)配平狀態(tài)下施加合理的舵面控制輸入，以充分激勵出飛行動力學(xué)響應(yīng)過程。目前基于時域的氣動參數(shù)辨識常用的激勵輸入信號為倍脈沖信號與3211 信號[22]。圖3 所示為采用的PINN 網(wǎng)絡(luò)縱向氣動參數(shù)辨識升降舵含噪聲倍脈沖激勵信號與3211 激勵信號。倍脈沖激勵信號可近似為單位周期內(nèi)的正弦信號，通過對倍脈沖激勵信號寬度的選擇，可以將激勵所覆蓋的頻段移至飛行仿真所需要激發(fā)的模態(tài)頻段。同理，在3211 激勵信號中，通常將脈沖“2”的寬度設(shè)為飛機(jī)固有模態(tài)頻率一半所對應(yīng)的時間，脈沖“3”與“1”分別設(shè)置在飛機(jī)固有模態(tài)頻率的兩側(cè)，以形成頻帶更寬的激勵輸入。

圖3 升降舵倍脈沖信號與3211 激勵信號Fig.3 Doublet and 3211 activation signal of the elevator

在默認(rèn)設(shè)置下，JSBSim 輸出的飛行動力學(xué)響應(yīng)數(shù)據(jù)是無噪聲的，因?yàn)镴SBSim 會將激勵輸入信號送入一個低通濾波器濾波，再迭代求解飛行動力學(xué)方程。本文主要研究基于無噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)的PINN網(wǎng)絡(luò)縱向氣動參數(shù)方法，同時為了研究該P(yáng)INN 網(wǎng)絡(luò)辨識方法的泛化性，也研究了該方法在含噪聲的飛行仿真數(shù)據(jù)上的辨識效果。含噪聲的飛行仿真數(shù)據(jù)u′(t)定義如下：

其中：u(t) 為原始信號；β ∈(0,1)表 示噪聲水平；σ為原始信號u(t) 的標(biāo)準(zhǔn)差；標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)噪聲 rand(t)～N(0,1)。

飛行仿真所采用機(jī)型為“DELTA”[23]，與縱向運(yùn)動相關(guān)的定常平飛配平狀態(tài)為：u0=75 m/s，w0=0 m/s，q0=0 rad/s，θ0=0.047 rad。飛機(jī)縱向小擾動狀態(tài)方程（9）中，“DELTA”飛機(jī)的Mu值相對于其他氣動參數(shù)為小量，在飛行仿真中將該值設(shè)為0。其他待辨識縱向氣動參數(shù)的真實(shí)值為：Xu=-0.02，Xw=0.1，=0.14，Zu=-0.23，Zw=-0.634，=-2.9，Mw=-0.005，Mq=-0.61，=-0.44。在JSBSim 飛機(jī)氣動力配置文件中設(shè)置上述飛行動力學(xué)氣動參數(shù)，在JSBSim 初始化配置文件中設(shè)置上述定常平飛配平狀態(tài)為仿真初始狀態(tài)，在JSBSim 腳本設(shè)置文件中設(shè)置飛行狀態(tài)參數(shù)的輸出頻率為64 Hz。分別以10 個幅值與周期不同的升降舵含噪聲倍脈沖信號和10 個幅值與周期不同的升降舵含噪聲3211 信號激勵作為輸入，通過JSBSim 求解器得到無噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)。含噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)通過在無噪聲數(shù)據(jù)中添加噪聲水平2%的隨機(jī)噪聲獲得。圖4 為升降舵含噪聲3211激勵輸入下的縱向飛行參數(shù)隨時間變化圖。

圖4 升降舵3211 激勵下縱向飛行參數(shù)隨時間變化圖Fig.4 Time history of longitudinal flight parameters under 3211 activation of the elevator

4 模型驗(yàn)證

氣動參數(shù)辨識算法模型基于PyTorch 開源機(jī)器學(xué)習(xí)框架實(shí)現(xiàn)。隨機(jī)從JSBSim 飛行仿真數(shù)據(jù)中選擇5 000 組數(shù)據(jù)作為PINN 網(wǎng)絡(luò)氣動參數(shù)辨識方法研究的數(shù)據(jù)集，并將該數(shù)據(jù)集以80%和20%的比例隨機(jī)劃分為訓(xùn)練集與測試集。PINN 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中主要超參數(shù)設(shè)置為：訓(xùn)練數(shù)據(jù)批量大小為512，學(xué)習(xí)率為0.001，所有訓(xùn)練集數(shù)據(jù)迭代訓(xùn)練次數(shù)為10 000。

基于無噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)的PINN 網(wǎng)絡(luò)飛機(jī)縱向氣動參數(shù)辨識結(jié)果及對應(yīng)誤差如表2 所示，基于含噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)的氣動參數(shù)辨識結(jié)果及對應(yīng)誤差如表3 所示。無噪聲時，9 個辨識參數(shù)中辨識誤差最大的是Mw，其相對真值的誤差為1.80%，這主要是因?yàn)镸w相對于其他待辨識氣動參數(shù)小一個數(shù)量級，在PINN 網(wǎng)絡(luò)誤差反向傳播、梯度下降及參數(shù)更新過程中相對更容易產(chǎn)生累積誤差。含噪聲時，待辨識參數(shù)中辨識結(jié)果誤差最大的是Xδe，其相對真值的誤差為4.64%。同時，含噪聲時的待辨識參數(shù)的相對誤差比無噪聲時的結(jié)果整體上略微偏大。

表2 無噪聲時PINN 氣動參數(shù)辨識結(jié)果及對應(yīng)誤差Table 2 Results and errors of aerodynamic parameter identification by PINN without noise

表3 含噪聲時PINN 氣動參數(shù)辨識結(jié)果及對應(yīng)誤差Table 3 Results and errors of aerodynamic parameter identification by PINN with noise

為進(jìn)一步驗(yàn)證基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動參數(shù)辨識方法的效果，分別選取一組不在訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的完整升降舵激勵信號，測試無噪聲、含噪聲PINN 網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出速度u、速度w、俯仰角速率q。圖5、圖6 分別為無噪聲時一組升降舵倍脈沖激勵、含噪聲時一組升降舵3211 激勵輸入下，PINN 網(wǎng)絡(luò)u、w、q的預(yù)測輸出與真實(shí)值對比圖。為了更清晰地展示對比情況，無噪聲時選取t=0.5～1.0 s 時間范圍，含噪聲時選取t=2.0～2.5 s 時間范圍。由圖可見，無論縱向動力學(xué)飛行仿真數(shù)據(jù)中是否含有噪聲，相對速度u、速度w、俯仰角速率q的預(yù)測誤差總是偏大，這也與表2、表3 中氣動參數(shù)辨識相對誤差的分布表現(xiàn)一致。無噪聲時，與u、w、q相關(guān)的氣動參數(shù)辨識的最大相對誤差分別為0.15%、0.14%、1.80%；含噪聲時，與u、w、q相關(guān)的氣動參數(shù)辨識的最大相對誤差分別為4.64%、1.39%、2.60%；無論是否含有噪聲，與w相關(guān)的氣動參數(shù)的最大相對誤差總是小于與u、q相關(guān)的氣動參數(shù)的最大相對誤差。

圖5 無噪聲時PINN 網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出與真實(shí)值對比圖Fig.5 Comparison between the PINN prediction and the real value without noise

圖6 含噪聲時PINN 網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出與真實(shí)值對比圖Fig.6 Comparison between the PINN prediction and the real value with noise

由于本文采用梯度下降法訓(xùn)練PINN 網(wǎng)絡(luò)，其中與u、w、q相關(guān)的物理方程正則項約束在加入損失函數(shù)時權(quán)重均設(shè)為1，而與w相關(guān)的物理方程正則項以更大的梯度更新相關(guān)氣動參數(shù)，所以導(dǎo)致與w相關(guān)的氣動參數(shù)的相對誤差較小。Wang 等[24]指出，在PINN 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中，可以通過調(diào)整損失函數(shù)中不同組成成分之間的權(quán)重，使得其梯度值大小趨于一致，來改善PINN 網(wǎng)絡(luò)的收斂情況。

一般來說，在飛機(jī)氣動參數(shù)辨識工程應(yīng)用領(lǐng)域，氣動參數(shù)辨識結(jié)果的相對誤差不大于10%就可采納[25]。綜上所述，基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動參數(shù)辨識方法可行且有效，并對含噪聲飛行數(shù)據(jù)的氣動參數(shù)辨識具有一定的泛化能力。

5 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動參數(shù)辨識方法基礎(chǔ)上，提出了一種基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動參數(shù)辨識方法。該方法可以將含待辨識參數(shù)的飛機(jī)飛行動力學(xué)方程作為正則項加入到損失函數(shù)，通過PINN 網(wǎng)絡(luò)梯度下降與參數(shù)更新，直接辨識得到氣動參數(shù)。與極大似然法等工程辨識算法相比，該方法不需要給出待辨識參數(shù)的初始估計。與基于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動參數(shù)辨識方法相比，基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的辨識建模方法可以顯著減少建模數(shù)據(jù)需求，也能提高建模精度。同時，針對縱向飛行狀態(tài)空間模型辨識，通過JSBSim 飛行仿真驗(yàn)證，獲得了在無噪聲和含2%噪聲仿真數(shù)據(jù)時9 個待辨識參數(shù)中辨識結(jié)果的最大相對誤差（分別為1.80%、4.64%）。研究結(jié)果表明，基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動參數(shù)辨識方法具有可行性，并對含噪聲飛行數(shù)據(jù)的氣動參數(shù)辨識具有一定的泛化能力。

后期，針對基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的非線性飛行動力學(xué)系統(tǒng)（特別是含有時間延遲、過程噪聲等復(fù)雜場景）的氣動參數(shù)辨識，需要結(jié)合真實(shí)飛行數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。